Теорема Ловера о неподвижной точке

В математике . о неподвижной точке является важным результатом теории категорий теорема Ловера Это широкое абстрактное обобщение многих диагональных аргументов в математике и логике, таких как диагональный аргумент Кантора , парадокс Рассела , первая теорема Гёделя о неполноте и решение Тьюринга проблемы Entscheidungsproblem .

Впервые это было доказано Уильямом Ловером в 1969 году.

Заявление

Теорема Ловера утверждает, что для любой декартовой замкнутой категории $\mathbf {C}$ и дан объект $B$ в нем, если существует слабо точечно-сюръективный морфизм $f$ от какого-то объекта $A$ к экспоненциальному объекту $B^{A}$, то любой эндоморфизм $g:B\rightarrow B$ имеет фиксированную точку. То есть существует морфизм $b:1\rightarrow B$ (где $1$ является терминальным объектом в $\mathbf {C}$ ) такой, что $g\circ b=b$.

Приложения

теоремы Противоположность особенно полезна при доказательстве многих результатов. В нем говорится, что если существует объект $B$ в категории такой, что существует эндоморфизм $g:B\rightarrow B$ который не имеет неподвижных точек, то не существует объекта $A$ со слабо точечно-сюръективным отображением $f:A\rightarrow B^{A}$. Некоторые важные следствия из этого:

• Теорема Кантора
• Диагональный аргумент Кантора
• Диагональная лемма
• Парадокс Рассела
• Первая теорема Гёделя о неполноте
• Теорема Тарского о неопределимости
• Доказательство Тьюринга
• Парадокс Лёба
• Теорема Роджера о неподвижной точке
• Теорема Райса