Интеграл Сельберга

В математике является интеграл Сельберга обобщением бета-функции Эйлера на n измерений, введенной Атле Сельбергом .

Интегральная формула Сельберга

Когда $Re(\alpha )>0,Re(\beta )>0,Re(\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {Re(\alpha )}{n-1}},{\frac {Re(\beta )}{n-1}}\right)$, у нас есть

${\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}\end{aligned}}$

Формула Сельберга подразумевает тождество Диксона для хорошо сбалансированных гипергеометрических рядов и некоторые частные случаи гипотезы Дайсона . Это следствие Аомото.

Интегральная формула Аомото

Аомото доказал несколько более общую интегральную формулу. При тех же условиях, что и формула Сельберга,

$\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}$

$=S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.$

Доказательство можно найти в главе 8 книги Эндрюса, Аски и Роя (1999) .

Интеграл Мехты

Когда $Re(\gamma )>-1/n$,

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.$

Это следствие Сельберга, установившего $\alpha =\beta$и замена переменных с $t_{i}={\frac {1+t'_{i}/{\sqrt {2\alpha }}}{2}}$, затем берём $\alpha \to \infty$.

Это предположение было высказано Мехтой и Дайсоном (1963) , которые не знали о более ранних работах Сельберга.

Это статистическая сумма для газа точечных зарядов, движущихся по прямой, притягивающихся к началу координат.

Интеграл Макдональда

Макдональд (1982) выдвинул гипотезу о следующем расширении интеграла Мехты на все системы корней , исходный случай Мехты соответствует системе корней An _{конечные -1} .

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}$

Произведение находится по корням r системы корней, а числа d _j являются степенями образующих кольца инвариантов группы отражений. Опдам (1989) дал единое доказательство для всех кристаллографических групп отражений. Несколько лет спустя он доказал это в полной мере, используя компьютерные расчеты Гарвана.