Частота Бранта – Вяйсяля

Чтобы узнать о других значениях, см. Vaisala (значения) .

В атмосферной динамике , океанографии , астеросейсмологии и геофизике частота Бранта -Вяйсяля , или частота плавучести , является мерой устойчивости жидкости к вертикальным смещениям, например, вызванным конвекцией . Точнее, это частота, с которой вертикально смещенный участок будет колебаться в статически стабильной среде. Он назван в честь Давида Бранта и Вилхо Вяйсяля . Его можно использовать как меру стратификации атмосферы.

Вывод для общей жидкости

Рассмотрим объем воды или газа, плотность которого $\rho _{0}$. Этот пакет находится в среде других частиц воды или газа, где плотность среды является функцией высоты: $\rho =\rho (z)$. Если посылка смещена на небольшое вертикальное приращение $z'$, и он сохраняет свою первоначальную плотность, так что его объем не меняется, на него будет действовать дополнительная гравитационная сила, действующая на окружающую среду, составляющая:

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g\left[\rho (z)-\rho (z+z')\right]$

где $g$ - гравитационное ускорение, которое определяется как положительное. Сделаем линейное приближение к $\rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'$и двигаться $\rho _{0}$ в РГО:

${\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'$

Вышеупомянутое дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующее решение:

$z'=z'_{0}e^{iNt}\!$

где частота Брента–Вяйсяля $N$ является:

$N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}$

Для негатива ${\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}$, смещение $z'$ имеет осциллирующие решения (а N дает нашу угловую частоту). Если оно положительное, то имеет место убегающий рост – т.е. жидкость статически неустойчива.

В метеорологии и астрофизике

Для газового пакета плотность останется фиксированной, как предполагалось в предыдущем выводе, только если давление $P$, не зависит от высоты, что неверно в атмосфере, ограниченной силой тяжести. Вместо этого пакет будет адиабатически расширяться по мере снижения давления. Поэтому более общая формулировка, используемая в метеорологии, такова:

$N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}}$, где $\theta$ температура потенциальная , $g$ - местное ускорение силы тяжести , а $z$ это геометрическая высота .

С $\theta =T(P_{0}/P)^{R/c_{P}}$, где $P_{0}$ — постоянное эталонное давление, для идеального газа это выражение эквивалентно:

$N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {R}{c_{P}}}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}$,

где в последней форме $\gamma =c_{P}/c_{V}$, показатель адиабаты . Используя закон идеального газа , мы можем исключить температуру, чтобы выразить $N^{2}$ по давлению и плотности:

$N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d\ln P}{dz}}-{\frac {d\ln \rho }{dz}}\right\}$.

Эта версия на самом деле является более общей, чем первая, поскольку она применяется, когда химический состав газа меняется с высотой, а также для несовершенных газов с переменным показателем адиабаты, и в этом случае $\gamma \equiv \gamma _{01}=(\partial \ln P/\partial \ln \rho )_{S}$, то есть производная берется при постоянной энтропии , $S$.

Если посылку с газом подтолкнуть вверх и $N^{2}>0$, пакет воздуха будет двигаться вверх и вниз на высоту, на которой плотность пакета соответствует плотности окружающего воздуха. Если воздушная посылка поднята вверх и $N^{2}=0$, авиапосылка не будет двигаться дальше. Если воздушная посылка выдвинута вверх и $N^{2}<0$, (т.е. частота Бранта-Вяйсяля мнимая), то воздушный пакет будет подниматься и подниматься, если только $N^{2}$ Далее в атмосфере снова становится положительным или нулевым. На практике это приводит к конвекции, и, следовательно, критерий Шварцшильда устойчивости против конвекции (или критерий Леду, если имеется композиционная стратификация) эквивалентен утверждению, что $N^{2}$ должно быть положительным.

Частота Бранта-Вяйсяля обычно появляется в термодинамических уравнениях атмосферы и в структуре звезд.

Траектория смещенного на 1 м участка жидкости в неустойчиво стратифицированной жидкости с частотой Брунта-Вяйсяля N² = -1 /с²

Колебания пакета жидкости, первоначально смещенного на 1 м, в устойчиво стратифицированной жидкости с частотой Брента-Вяйсяля N=1/с.

В океанографии

В океане , где соленость , или в пресноводных озерах, близких к замерзанию, где плотность не является линейной функцией температуры: важна $$N\equiv {\sqrt {-{g \over {\rho }}{d\rho \over {dz}}}}$$где $\rho$, потенциальная плотность , зависит как от температуры, так и от солености. Пример колебаний Бранта-Вяйсяля в стратифицированной по плотности жидкости можно наблюдать в фильме «Волшебная пробка» здесь .

Контекст

Эта концепция вытекает из Второго закона Ньютона, когда он применяется к жидкому пакету при наличии фоновой стратификации (при которой плотность изменяется по вертикали - т.е. можно сказать, что плотность имеет несколько вертикальных слоев). Посылка, отклоненная вертикально от исходного положения, испытывает вертикальное ускорение. Если ускорение возвращается к исходному положению, говорят, что стратификация стабильна и посылка колеблется вертикально. В этом случае Н ² > 0 а угловая частота колебаний задана N. , Если ускорение отклоняется от исходного положения ( N ² < 0 ) стратификация неустойчива. В этом случае обычно происходит опрокидывание или конвекция.

Частота Бранта-Вяйсяля относится к внутренним гравитационным волнам : это частота, когда волны распространяются горизонтально; и это дает полезное описание стабильности атмосферы и океана.

См. также

• Плавучесть
• клетка Бенара