Клоусон-Пойнт
В евклидовой геометрии точка Клоусона — это особая точка в треугольнике, определяемом трилинейными координатами tan α : tan β : tan γ , [1] где α, β, γ — внутренние углы при вершинах треугольника A, B, C. Она названа в честь Джона Вентворта Клоусона , опубликовавшего ее в 1925 году в American Mathematical Monthly . обозначен X (19) Кларка Кимберлинга он В Энциклопедии центров треугольников .
Геометрические конструкции
[ редактировать ]Существует как минимум два способа построения точки Клоусона, которые также можно использовать в качестве бескоординатного определения точки. В обоих случаях у вас есть два треугольника, в которых три линии, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона.
Строительство 1
[ редактировать ]
Для данного треугольника △ ABC , пусть △ H A H B H C — его прямоугольный треугольник , а △ T A T B T C — треугольник, образованный внешними касательными к трем его окружностям . Эти два треугольника подобны и точка Клоусона является их центром подобия , поэтому три прямые T A H A , T B H B , T CH C , соединяющие их вершины, встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона. [2] [3]
Строительство 2
[ редактировать ]
В треугольнике △ ABC описанная окружность пересекает каждую из трёх вписанных окружностей в двух точках. Три линии, проходящие через эти точки пересечения, образуют треугольник △ A'B'C'. Этот треугольник и △ ABC являются перспективными треугольниками, точка Клоусона является их центром перспективы . Следовательно, три линии AA', BB', CC' встречаются в точке Клоусона. [1]
История
[ редактировать ]Теперь точка названа в честь Дж. У. Клоусона, который опубликовал ее трехлинейные координаты в 1925 году в American Mathematical Monthly как задачу 3132, где он попросил геометрическое построение этой точки. [4] Однако французский математик Эмиль Лемуан уже исследовал этот вопрос в 1886 году. [5] Позже эта точка была независимо заново открыта Р. Лайнессом и Г. Р. Вельдкампом в 1983 году, которые назвали ее решающей точкой в честь канадского математического журнала Crux Mathematicorum, в котором она была опубликована как задача 682. [1]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Кларк Кимберлинг: КЛОСОН-ПОЙНТ . В: Энциклопедия центров треугольников (получено 30 ноября 2019 г.)
- ^ Кларк Кимберлинг : Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника. В: Журнал «Математика» , том 67, вып. 3, 1994, стр. 163–187, в частности 175. ( JSTOR ).
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Клоусон-Пойнт» . Математический мир . (получено 30 ноября 2019 г.)
- ^ Дж. В. Клоусон, Майкл Голдберг: задача 3132. В: The American Mathematical Monthly , Том 33, вып. 5, 1926, стр. 285–285. ( ДЖСТОР )
- ^ Кларк Кимберлинг: X(19)=КЛОСОН-ПОЙНТ . В: Энциклопедия центров треугольников (получено 30 ноября 2019 г.)