оператор Данкла

В математике , особенно при изучении групп Ли , оператор Данкла — это определенный вид математического оператора , включающий в себя дифференциальные операторы , а также отражения в базовом пространстве.

Формально, пусть G — группа Кокстера с приведенной системой корней R и k _v — произвольная функция «кратности» на R (так что k _u = k _v, если отражения σ _u и σ _v, соответствующие корням u и v, сопряжены в G ). Тогда оператор Данкла определяется следующим образом:

$T_{i}f(x)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f(x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}$

где $v_{i}$ — i -й компонент v , 1 ≤ i ≤ N , x в R ^Н , а f — гладкая функция на R ^Н .

Операторы Данкла были введены Чарльзом Данклом ( 1989 ). Одним из главных результатов Данкла было то, что операторы Данкла «коммутируют», то есть удовлетворяют $T_{i}(T_{j}f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))$ точно так же, как это делают частные производные. Таким образом, операторы Данкла представляют собой значимое обобщение частных производных.

Ссылки

• Данкл, Чарльз Ф. (1989), «Дифференциально-разностные операторы, связанные с группами отражения», Transactions of the American Mathematical Society , 311 (1): 167–183, doi : 10.2307/2001022 , ISSN   0002-9947 , MR   0951883