Теорема об исчезновении Ле Потье

В алгебраической геометрии теорема об исчезновении Ле Потье является расширением теоремы об исчезновении Кодайры на векторных расслоениях . Теорема утверждает следующее ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Ле Потье (1975) : Пусть X — n -мерное компактное комплексное многообразие , а E — голоморфное векторное расслоение ранга r над X, здесь $H^{p,q}(X,E)$ – группа когомологий Дольбо , где $\Omega _{X}^{p}$ обозначает пучок голоморфных p форм на X. - Если E — обильное , то
$H^{p,q}(X,E)=0$ для $p+q\geq n+r$ .

из теоремы Дольбо ,

$H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}\otimes E)=0$ для $p+q\geq n+r$ .

В силу двойственности Серра утверждения эквивалентны утверждениям:

$H^{i}(X,\Omega _{X}^{j}\otimes E^{*})=0$ для $j+i\leq n-r$ .

В случае r = 1 и пусть E — обильное (или положительное) линейное расслоение на X, эта теорема эквивалентна теореме об исчезновении Накано . Кроме того, Шнайдер (1974) нашел еще одно доказательство.

Соммесе (1978) обобщает теорему об исчезновении Ле Потье на k-объем и это утверждение следующим образом: ^{[ 2 ]}

Теорема Ле Потье – Соммеса об исчезновении: пусть X — n -мерное алгебраическое многообразие , а E — k-обильное голоморфное векторное расслоение ранга r над X, тогда
$H^{p,q}(X,E)=0$ для $p+q\geq n+r+k$ .

Демайи (1988) привел контрпример, который заключается в следующем: ^{[ 1 ]}^{[ 10 ]}

Гипотеза Соммесе (1978) : Пусть X — n -мерное компактное комплексное многообразие, а E — голоморфное векторное расслоение ранга r над X. Если E — обильное, то
$H^{p,q}(X,\Lambda ^{a}E)=0$ для $p+q\geq n+r-a+1$ неверно для $n=2r\geq 6.$

См. также

Примечание

^ Jump up to: ^а ^б ( Лазарсфельд 2004 )
^ Jump up to: ^а ^б ( Шиффман и Соммесе, 1985 )
^ ( Демайли 1988 )
^ ( Петернелл 1994 )
^ ( Лайтими и Нам 2004 )
^ ( Ценности 1974 г. )
^ ( Шнайдер 1974 )
^ ( Брат, 1997 )
^ ( Демалли 1996 , стр.30)
^ ( Манивель 1997 )

Ссылки

Демайи, Жан-Пьер (1988). «Теоремы об исчезновении тензорных степеней обильного векторного расслоения» (PDF ) изобретения Математические 91 : 203–220. Бибкод : 1988InMat..91..203D дои : 10.1007/BF01404918 . S2CID 18984867 .
Лайтими, Ф.; Нам, В. (2004). «Обобщение теоремы об исчезновении Ле Потье». Манускрипта Математика . 113 (2): 165–189. arXiv : математика/0210010 . дои : 10.1007/s00229-003-0432-y . S2CID 14203286 .
Лазарсфельд, Роберт (2004). Позитивность в алгебраической геометрии II . дои : 10.1007/978-3-642-18810-7 . ISBN 978-3-540-22531-7 .
Лайтими, Ф.; Нагарадж, Д.С. (2018). «Замечания о теореме об исчезновении Рамануджама-Каваматы-Вихвега». Индийский журнал чистой и прикладной математики . 49 (2): 257–263. arXiv : 1702.04476 . дои : 10.1007/s13226-018-0267-6 . S2CID 119147594 .
Петернелл, Т. (1994). «Псевдовыпуклость, проблема Леви и теоремы об исчезновении». Несколько комплексных переменных VII . Энциклопедия математических наук. Том. 74. С. 221–257. дои : 10.1007/978-3-662-09873-8_6 . ISBN 978-3-642-08150-7 .
Ле Потье, Ж. (1975). «Сокращение значных когомологий в положительном голоморфном векторном расслоении любого ранга» . Математический Аннален . 218 : 35–53. дои : 10.1007/BF01350066 . S2CID 122814022 .
Ле Потье, Ж. (1977). «Когомологии грассманиана со значениями во внешних и симметричных степенях универсального расслоения» . Математический Аннален . 226 (3): 257–270. дои : 10.1007/BF01362429 . S2CID 117285630 .
Шиффман, Бернард; Соммесе, Эндрю Джон (1985). «Векторные расслоения: Обширность» . Теоремы об исчезании на комплексных многообразиях . Прогресс в математике. Том. 56. стр. 89–116. дои : 10.1007/978-1-4899-6680-3_5 . ISBN 978-1-4899-6682-7 .
Вердье, Дж. Л. (1974). « «Теорема Ле Потье. Различные аспекты позитивности» (PDF) . Соц. Математика. Франция, Париж . 17 :68–78. МР 0367312 .
Манивел, Лоран (1997). «Теоремы об исчезании для обильных векторных расслоений». Математические изобретения . 127 (2): 401–416. arXiv : alg-geom/9603012 . Бибкод : 1997InMat.127..401M . дои : 10.1007/s002220050126 . S2CID 14052238 .
Петернелл, Т.; Ле Потье, Ж.; Шнайдер, М. (1987). «Теоремы об исчезании, линейная и квадратичная нормальность» . Математические изобретения . 87 (3): 573–586. Бибкод : 1987InMat..87..573P . дои : 10.1007/BF01389243 . S2CID 120949227 .
Соммесе, Эндрю Джон (1978). «Подмногообразия абелевых многообразий Ребекке» . Математические Аннален . 233 (3): 229–256. дои : 10.1007/BF01405353 . S2CID 120704169 .
Шнайдер, Майкл (1974). «Простое доказательство теоремы об исчезновении для расслоений положительных голоморфных векторных пространств» . Манускрипта Математика . 11 :95-101. дои : 10.1007/BF01189093 . S2CID 120722017 .
Маниве, Лоран (1992). «Теоремы сокращения для расслоений, связанных со свободным расслоением» . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . 19 (4): 515–565.
ГИРБАУ, Дж. (1976). «О теореме Ле Потье о сокращении когомологий» . ЧР акад. наук. Париж сер. К . 283 : 355–358.
Броер, Авраам (1997). «Теорема об исчезновении когомологий Дольбо однородных векторных расслоений» . Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 1997 (493): 153–170. дои : 10.1515/crll.1997.493.153 . S2CID 117547554 .
Демайи, Жан-Пьер (1996). «Теоремы об исчезновении L2 для положительных линейных расслоений и теории присоединения». Трансцендентные методы в алгебраической геометрии . Конспект лекций по математике. Том. 1646. стр. 1–97. arXiv : alg-geom/9410022 . дои : 10.1007/BFb0094302 . ISBN 978-3-540-62038-9 . S2CID 117583140 .
Литт, Дэниел (2018). «Неабелевы теоремы Лефшеца о гиперплоскости». Журнал алгебраической геометрии . 27 (4): 593–646. arXiv : 1601.07914 . дои : 10.1090/jag/704 . S2CID 16039153 .
Дебарр, Оливье (2005). «Разновидности с обильным котангенсом». Математическая композиция . 141 (6): 1445–1459. arXiv : math/0306066 . дои : 10.1112/S0010437X05001399 . S2CID 2644826 .

Дальнейшее чтение

Шнайдер, Майкл; Цинтл, Йорг (1993). «Теорема Барта-Лефшеца как следствие теоремы об исчезновении Ле Потье». Манускрипта Математика . 80 : 259–263. дои : 10.1007/BF03026551 . S2CID 119887533 .
Хуан, Чунлэ; Лю, Кэфэн; Ван, Сюэюань; Ян, Сяокуй (2022). «Теоремы об исчезании для пучков логарифмических дифференциальных форм на компактных кэлеровых многообразиях». Уведомления о международных математических исследованиях . дои : 10.1093/imrn/rnac204 .
Бэдеску, Лучиан; Репетто, Флавия (2009). «Теорема Барта – Лефшеца для подмногообразий произведения проективных пространств». Международный журнал математики . 20 : 77–96. arXiv : math/0701376 . дои : 10.1142/S0129167X09005182 . S2CID 10539504 .

Внешние ссылки

Демайи, Жан-Пьер, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия (PDF) (книга OpenContent)

[Lazarsfeld2004-1] Jump up to: ^а ^б ( Лазарсфельд 2004 )

[ShiffmanSommese1985-2] Jump up to: ^а ^б ( Шиффман и Соммесе, 1985 )

[3] ( Демайли 1988 )

[4] ( Петернелл 1994 )

[5] ( Лайтими и Нам 2004 )

[6] ( Ценности 1974 г. )

[7] ( Шнайдер 1974 )

[8] ( Брат, 1997 )

[9] ( Демалли 1996 , стр.30)

[10] ( Манивель 1997 )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]