Метод конечной точки

Метод конечных точек ( FPM ) — это бессеточный метод решения уравнений в частных производных (ЧДУ) с разбросанными распределениями точек. FPM был предложен в середине девяностых годов в (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz & Taylor, 1996a), ^{[ 1 ]} (Оньяте, Идельсон, Зенкевич, Тейлор и Сакко, 1996b) ^{[ 2 ]} и (Оньяте и Идельсон, 1998a) ^{[ 3 ]} с целью облегчить решение задач, связанных со сложной геометрией, свободными поверхностями, движущимися границами и адаптивным уточнением . С тех пор FPM значительно изменился, продемонстрировав удовлетворительную точность и возможности решения различных задач механики жидкостей и твердых тел.

История

Подобно другим бессеточным методам для PDE, метод конечных точек (FPM) берет свое начало в методах, разработанных для подбора и интерполяции разбросанных данных, в основном в линейке взвешенных методов наименьших квадратов (WLSQ). Последний можно рассматривать как частные формы скользящего метода наименьших квадратов (MLS), предложенного Ланкастером и Салкаускасом. ^{[ 4 ]} Методы WLSQ широко используются в бессеточных методах, поскольку позволяют сохранить большую часть MLS, но они более эффективны и просты в реализации. Учитывая эти цели, в (Oñate, Idelsohn & Zienkiewicz, 1995a) началось выдающееся исследование, которое привело к разработке FPM. ^{[ 5 ]} и (Тейлор, Зенкевич, Оньяте и Идельсон, 1995). ^{[ 6 ]} Предложенная методика характеризовалась аппроксимацией WLSQ на локальных облаках точек и процедурой дискретизации уравнений, основанной на коллокации точек (по линии работ Батиной, 1989, ^{[ 7 ]} 1992 ^{[ 8 ]}). Первые применения FPM были сосредоточены на задачах адаптивного течения сжимаемой жидкости (Fischer, Onate & Idelsohn, 1995; ^{[ 9 ]} Оньяте, Идельсон и Зенкевич, 1995a; ^{[ 5 ]} Оньяте, Идельсон, Зенкевич и Фишер, 1995b. ^{[ 10 ]}). Влияние на аппроксимацию местных облаков и весовых функций также анализировалось с использованием базисов линейного и квадратичного полинома (Fischer, 1996). ^{[ 11 ]} Дополнительные исследования в контексте проблем конвекции-диффузии и несжимаемого течения дали FPM более прочную основу; ср. (Оньяте, Идельсон, Зенкевич и Тейлор, 1996a) ^{[ 1 ]} и (Оньяте, Идельсон, Зенкевич, Тейлор и Сакко, 1996b). ^{[ 2 ]} Эти работы и (Oñate & Idelsohn, 1998) ^{[ 3 ]} определил базовую технику FPM, используемую сегодня.

Численное приближение

Аппроксимацию в FPM можно резюмировать следующим образом. Для каждой точки $x_{i}$ в области анализа $\Omega$ ( звездная точка ) приближенное решение строится локально с использованием подмножества окружающих опорных точек. $x_{j}$ , принадлежащие области задачи ( локальное облако точек $\Omega _{i}$ ). Аппроксимация вычисляется как линейная комбинация неизвестных узловых значений (или параметров) облака и определенных метрических коэффициентов. Они получены путем решения задачи WLSQ на уровне облака, в которой расстояния между узловыми параметрами и аппроксимированным решением минимизированы в смысле LSQ. Как только коэффициенты метрики аппроксимации известны, задача, управляющая PDE, отбирается в каждой звездной точке с использованием метода коллокации . Непрерывные переменные (и их производные) заменяются в выборочных уравнениях дискретными аппроксимированными формами, и решение полученной системы позволяет вычислить неизвестные узловые значения. Следовательно, может быть получено приближенное решение, удовлетворяющее основным уравнениям задачи. Важно отметить, что высоколокальный характер FPM делает метод подходящим для реализации эффективных схем параллельного решения.

Построение типичного приближения FPM описано в (Oñate & Idelsohn, 1998). ^{[ 3 ]} Анализ параметров аппроксимации можно найти в (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007). ^{[ 12 ]} более комплексное исследование проведено в (Ortega, 2014). ^{[ 13 ]} Были предложены и другие подходы, см., например (Boroomand, Tabatabaei and Oñate, 2005). ^{[ 14 ]} Расширение приближения FPM представлено в (Boroomand, Najjar & Oñate, 2009). ^{[ 15 ]}

Приложения

Гидравлическая механика

Ранние направления исследований и применения FPM к проблемам потока жидкости обобщены в (Fischer, 1996). ^{[ 11 ]} Там конвективно-диффузионные задачи изучались с использованием полиномиальных приближений LSQ и WLSQ. Исследование было сосредоточено на влиянии облака точек и весовых функций на точность локальной аппроксимации, что помогло понять основное поведение FPM. Результаты показали, что одномерное приближение FPM приводит к дискретным производным формам, аналогичным тем, которые получены с помощью аппроксимаций центральной разности, которые имеют второй порядок точности. Однако для несимметричных облаков точность снижается до первого порядка в зависимости от весовой функции. Также были определены предварительные критерии выбора точек, соответствующих локальным облакам, с целью улучшить плохую обусловленность задачи минимизации. Решатель потока, использованный в этой работе, был основан на двухшаговой схеме Тейлора-Галеркина с явной искусственной диссипацией. Численные примеры включали невязкие дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые двумерные задачи, но также был предоставлен тестовый пример вязкости с низким числом Рейнольдса. В целом результаты, полученные в этой работе, были удовлетворительными и продемонстрировали, что введение взвешивания при минимизации LSQ приводит к превосходным результатам (использовался линейный базис).

В аналогичном направлении исследований используется метод стабилизации остатков, основанный на балансировке потоков в конечной области, известный как исчисление конечных приращений (FIC) (Oñate, 1996, ^{[ 16 ]} 1998 ^{[ 17 ]}), был представлен. Результаты были сопоставимы с результатами, полученными при явной искусственной диссипации, но с тем преимуществом, что стабилизация в FIC вводится последовательным образом, см. (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b). ^{[ 2 ]} и (Оньяте и Идельсон, 1998а). ^{[ 3 ]}

Среди этих разработок проблема генерации точек была впервые рассмотрена в (Löhner & Oñate, 1998). ^{[ 18 ]} Основываясь на методе передового фронта, авторы показали, что дискретизация точек, подходящая для бессеточных вычислений, может генерироваться более эффективно, избегая обычных проверок качества, необходимых при обычном построении сетки . Было достигнуто весьма конкурентоспособное время генерации по сравнению с традиционными сетками, что впервые показало, что бессеточные методы являются реальной альтернативой для облегчения проблем дискретизации.

Впервые несжимаемые двумерные течения были изучены в (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000). ^{[ 19 ]} с использованием метода проекции , стабилизированного с помощью техники FIC. Подробный анализ этого подхода был проведен в (Sacco, 2002). ^{[ 20 ]} Выдающиеся достижения в этой работе дали ФПМ более прочную основу; среди них определение локальных и нормализованных баз аппроксимации, процедура построения локальных облаков точек на основе локальной триангуляции Делоне и критерий оценки качества результирующей аппроксимации. Представленные численные приложения были сосредоточены в основном на двумерных (вязких и невязких) течениях несжимаемой жидкости, но также был представлен пример трехмерного приложения.

Предварительное применение FPM в лагранжевой системе, представленное в (Idelsohn, Storti & Oñate, 2001), ^{[ 21 ]} также стоит упомянуть. Несмотря на интересные результаты, полученные для течений несжимаемой свободной поверхности , это направление исследований не было продолжено в рамках ФПМ, и более поздние формулировки основывались исключительно на описаниях эйлеровых течений.

Первое применение FPM для решения трехмерных сжимаемых течений было представлено в пионерской работе (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002). ^{[ 22 ]} Там были разработаны надежная и общая процедура построения локальных облаков точек (на основе метода Делоне) и удобная схема решения уравнений течения. В предложенной схеме решения дискретные производные потока записаны вдоль ребер, соединяющих точки облака, как выражение, подобное центральной разности, плюс член, смещенный против ветра, который обеспечивает конвективную стабилизацию. приближенный решатель Римана Для этой цели использовался , основанный на расщеплении вектора потока Роу и Ван Леера. Предложенный подход является более точным (и более дорогим), чем методы искусственной диссипации, и, кроме того, не требует определения геометрических мер в локальном облаке и параметров, зависящих от задачи. Интегрирование уравнений по времени осуществлялось по многоэтапной явной схеме в духе методов Рунге-Кутты.

Несколько лет спустя дальнейшие исследования в отношении 3D-аппроксимации FPM были проведены в (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007). ^{[ 12 ]} Эта работа была сосредоточена на построении робастных аппроксимаций независимо от характеристик локальной опоры. Для этого была предложена локальная автоматическая настройка весовой функции и других параметров аппроксимации. Дальнейшие трехмерные применения метода включали сжимаемые аэродинамические потоки с адаптивным уточнением (Ортега, Оньяте и Идельсон, 2009). ^{[ 23 ]} и проблемы перемещения/деформации границ (Ортега, Оньяте и Идельсон, 2013). ^{[ 24 ]} В этих работах FPM показал удовлетворительную надежность и точность, а также возможности для практических вычислений. Среди других достижений было продемонстрировано, что полная регенерация дискретизации модели может быть доступной стратегией решения даже в больших задачах моделирования. Этот результат открывает новые возможности для бессеточного анализа проблем движущихся/деформируемых доменов. FPM также успешно применялся для решения проблем адаптивного мелководья в (Ortega, Oñate, Idelsohn & Buachart, 2011). ^{[ 25 ]} и (Буачарт, Канок-Нукулчай, Ортега и Оньяте, 2014). ^{[ 26 ]} Предложение по использованию бессеточных преимуществ в задачах вязкого течения с высоким Рейнольдсом представлено в (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014a). ^{[ 27 ]}

В той же области приложений было проведено крупное исследование точности, вычислительных затрат и параллельной производительности FPM (Ortega, Oñate, Idelsohn & Flores, 2014b). ^{[ 28 ]} Там FPM сравнивался с эквивалентным решателем на основе конечных элементов, который стал стандартом для оценки как характеристик бессеточного решателя, так и его пригодности для решения практических задач. В этой работе были предложены некоторые упрощения метода FPM для повышения эффективности и уменьшения разрыва в производительности с FEM. Затем были проведены исследования сходимости сетки с использованием конфигурации крыла-фюзеляжа. Результаты показали сопоставимую точность и производительность, что показало, что FPM конкурентоспособен по сравнению со своим аналогом FEM. Это важно, поскольку бессеточные методы часто считаются непрактичными из-за низкой эффективности первоначальных реализаций.

FPM также применялся в аэроакустике (Байко, Чермак и Джича, 2014). ^{[ 29 ]} Предлагаемая схема решения основана на линеаризованном решателе Римана и успешно использует преимущества аппроксимации FPM высокого порядка. Полученные результаты свидетельствуют о потенциале FPM для решения проблем распространения звука.

Твердая механика

Текущие направления расследования

Текущие усилия в основном направлены на использование возможностей FPM для работы в параллельных средах для решения крупномасштабных практических задач, особенно в областях, где бессеточные процедуры могут внести полезный вклад, например, проблемы, связанные со сложной геометрией, движущейся/деформируемой областью, адаптивным уточнением. и многомасштабные явления.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Тейлор, Р.Л. (1996). «Метод конечных точек для анализа задач механики жидкости. Приложения к конвективному переносу и потоку жидкости». Международный журнал численных методов в технике . 39 (2): 3839–3866. Бибкод : 1996IJNME..39.3839O . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(19961130)39:22<3839::AID-NME27>3.0.CO;2-R .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Тейлор, РЛ; Сакко, К. (1996). «Стабилизированный метод конечных точек для анализа задач механики жидкости» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 139 (1): 315–346. Бибкод : 1996CMAME.139..315O . дои : 10.1016/s0045-7825(96)01088-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1998). «Бессеточный метод конечных точек для решения задач адвективно-диффузионного переноса и течения жидкости» . Вычислительная механика . 24 (4–5): 283–292. Бибкод : 1998CompM..21..283O . дои : 10.1007/s004660050304 . S2CID 123527190 .
^ Ланкастер, П.; Салкаускас, К. (1981). «Поверхности, созданные методом перемещения наименьших квадратов» . Математика вычислений . 37 (155): 141–158. дои : 10.2307/2007507 . JSTOR 2007507 .
^ Jump up to: ^а ^б Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К. (1995). «Методы конечных точек в вычислительной механике». Публикация CIMNE № 74: Международный центр численных методов в технике .
^ Тейлор, РЛ; Зенкевич, О.К.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1995). «Приближения подвижного метода наименьших квадратов для решения дифференциальных уравнений». Публикация CIMNE № 74 (стр. 31): Международный центр численных методов в технике .
^ Батина, Дж.Т. (1989). «Нестационарный алгоритм Эйлера с неструктурированной динамической сеткой для аэроупругого анализа сложных самолетов». Бумага AIAA . 89 :1189.
^ Батина, Дж.Т. (1992). «Алгоритм решения Эйлера/Навье-Стокса без сетки для сложных двумерных приложений». НАСА-ТМ-107631 .
^ Фишер, Т.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1995). «Бессеточный метод компьютерного анализа высокоскоростных потоков». Доклад, представленный на симпозиуме AGARD по прогрессу и проблемам в методах и алгоритмах CFD, Севилья .
^ Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Фишер, Т. (1995). «Методы конечных точек в вычислительной механике». Конференция по методам конечных элементов в жидкостях, Венеция, Италия, 15-21 .
^ Jump up to: ^а ^б Фишер, Т. (1996). «Вклад в адаптивное численное решение задач сжимаемого течения». Кандидатская диссертация, Политехнический университет Каталонии .
^ Jump up to: ^а ^б Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2007). «Улучшенный метод конечных точек для трехмерных потенциальных потоков» . Вычислительная механика . 40 (6): 949–963. Бибкод : 2007CompM..40..949O . дои : 10.1007/s00466-006-0154-6 . S2CID 117928701 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2014). Разработка и применение метода конечных точек для решения задач аэродинамики сжимаемого материала (PDF) . Монография CIMNE M143. ISBN 978-84-941686-7-3 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 сентября 2016 г. Проверено 4 июля 2016 г.
^ Бороманд, Б.; Табатабаи, А.А.; Оньяте, Э. (2005). «Простые модификации для стабилизации метода конечных точек» . Международный журнал численных методов в технике . 63 (3): 351–379. Бибкод : 2005IJNME..63..351B . дои : 10.1002/nme.1278 . S2CID 121749475 .
^ Бороманд, Б.; Наджар, М.; Оньяте, Э. (2009). «Обобщенный метод конечных точек» . Вычислительная механика . 44 (2): 173–190. Бибкод : 2009CompM..44..173B . дои : 10.1007/s00466-009-0363-x . S2CID 120147281 .
^ Оньяте, Э. (1996). «О стабилизации численного решения задач конвективного переноса и течения жидкости». Отчет об исследовании № 81: Международный центр численных методов в технике .
^ Оньяте, Э. (1998). "Вывод стабилизированных уравнений для численного решения задач адвективно-диффузионного переноса и течения жидкости" . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 151 (1): 233–265. Бибкод : 1998CMAME.151..233O . дои : 10.1016/s0045-7825(97)00119-9 .
^ Лёнер, Р.; Оньяте, Э. (1998). «Прогрессивная методика генерации точек фронта» . Коммуникации в численных методах в технике . 14 (12): 1097–1108. doi : 10.1002/(sici)1099-0887(199812)14:12<1097::aid-cnm183>3.0.co;2-7 .
^ Оньяте, Э.; Сакко, К.; Идельсон, С. (2000). «Метод конечных точек для задач несжимаемого течения» . Вычисления и визуализация в науке . 3 (1–2): 67–75. дои : 10.1007/s007910050053 . S2CID 121836300 .
^ Сакко, К. (2002). «Развитие метода конечных точек в механике жидкости». Кандидатская диссертация, Политехнический университет Каталонии .
^ Идельсон, С.; Сторти, М.; Оньяте, Э. (2001). «Лагранжевы формулы для решения течений несжимаемой невязкой жидкости на свободной поверхности» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 191 (6): 583–593. Бибкод : 2001CMAME.191..583R . дои : 10.1016/s0045-7825(01)00303-6 .
^ Лёнер, Р.; Сакко, К.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2002). «Метод конечных точек для сжимаемого потока» . Международный журнал численных методов в технике . 53 (8): 1765–1779. Бибкод : 2002IJNME..53.1765L . дои : 10.1002/nme.334 . hdl : 2117/167123 . S2CID 122100757 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2009). «Метод конечных точек для адаптивных трехмерных расчетов течения сжимаемой жидкости» . Международный журнал численных методов в жидкостях . 60 (9): 937–971. Бибкод : 2009IJNMF..60..937O . дои : 10.1002/fld.1892 . hdl : 2117/24488 . S2CID 16484035 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2013). «Бессеточный метод конечных точек для трехмерного анализа задач сжимаемого потока, включающих движущиеся границы и адаптивность». Международный журнал численных методов в жидкостях . 73 (4): 323–343. Бибкод : 2013IJNMF..73..323O . дои : 10.1002/fld.3799 . hdl : 2117/86276 . S2CID 122812951 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Буачарт, К. (2011). «Адаптивный метод конечных точек для уравнений мелкой воды» . Международный журнал численных методов в технике . 88 (2): 180–204. Бибкод : 2011IJNME..88..180O . дои : 10.1002/nme.3171 . S2CID 122485902 .
^ Буачарт, К.; Канок-Нукульчай, В.; Ортега, Э.; Оньяте, Э. (2014). «Модель мелкой воды методом конечных точек». Международный журнал вычислительных методов . 11 (1): 1350047. doi : 10.1142/S0219876213500473 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2014). «Применение метода конечных точек к задачам сжимаемого потока с большим числом Рейнольдса». Международный журнал численных методов в жидкостях . 74 (10): 732. Бибкод : 2014IJNMF..74..732O . дои : 10.1002/fld.3871 . hdl : 2117/23168 . S2CID 122766345 .
^ Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2014). «Сравнительная точность и оценка эффективности метода конечных точек в задачах о течении сжимаемой жидкости». Компьютеры и жидкости . 89 : 53–65. doi : 10.1016/j.compfluid.2013.10.024 . hdl : 2117/21385 .
^ Байко Дж.; Чермак, Л.; Джича, М. (2014). «Метод конечных точек высокого порядка для решения задач распространения звука». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 280 : 157–175. Бибкод : 2014CMAME.280..157B . дои : 10.1016/j.cma.2014.07.022 .

[Onate1996a-1] Jump up to: ^а ^б Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Тейлор, Р.Л. (1996). «Метод конечных точек для анализа задач механики жидкости. Приложения к конвективному переносу и потоку жидкости». Международный журнал численных методов в технике . 39 (2): 3839–3866. Бибкод : 1996IJNME..39.3839O . doi : 10.1002/(SICI)1097-0207(19961130)39:22<3839::AID-NME27>3.0.CO;2-R .

[Onate1996b-2] Jump up to: ^а ^б ^с Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Тейлор, РЛ; Сакко, К. (1996). «Стабилизированный метод конечных точек для анализа задач механики жидкости» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 139 (1): 315–346. Бибкод : 1996CMAME.139..315O . дои : 10.1016/s0045-7825(96)01088-2 .

[Onate1998a-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1998). «Бессеточный метод конечных точек для решения задач адвективно-диффузионного переноса и течения жидкости» . Вычислительная механика . 24 (4–5): 283–292. Бибкод : 1998CompM..21..283O . дои : 10.1007/s004660050304 . S2CID 123527190 .

[Lancaster1981-4] Ланкастер, П.; Салкаускас, К. (1981). «Поверхности, созданные методом перемещения наименьших квадратов» . Математика вычислений . 37 (155): 141–158. дои : 10.2307/2007507 . JSTOR 2007507 .

[Onate1995a-5] Jump up to: ^а ^б Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К. (1995). «Методы конечных точек в вычислительной механике». Публикация CIMNE № 74: Международный центр численных методов в технике .

[Taylor1995-6] Тейлор, РЛ; Зенкевич, О.К.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1995). «Приближения подвижного метода наименьших квадратов для решения дифференциальных уравнений». Публикация CIMNE № 74 (стр. 31): Международный центр численных методов в технике .

[Batina1989-7] Батина, Дж.Т. (1989). «Нестационарный алгоритм Эйлера с неструктурированной динамической сеткой для аэроупругого анализа сложных самолетов». Бумага AIAA . 89 :1189.

[Batina1992-8] Батина, Дж.Т. (1992). «Алгоритм решения Эйлера/Навье-Стокса без сетки для сложных двумерных приложений». НАСА-ТМ-107631 .

[Fischer1995-9] Фишер, Т.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (1995). «Бессеточный метод компьютерного анализа высокоскоростных потоков». Доклад, представленный на симпозиуме AGARD по прогрессу и проблемам в методах и алгоритмах CFD, Севилья .

[Onate1995b-10] Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Зенкевич, О.К.; Фишер, Т. (1995). «Методы конечных точек в вычислительной механике». Конференция по методам конечных элементов в жидкостях, Венеция, Италия, 15-21 .

[Fischer1996-11] Jump up to: ^а ^б Фишер, Т. (1996). «Вклад в адаптивное численное решение задач сжимаемого течения». Кандидатская диссертация, Политехнический университет Каталонии .

[Ortega2007-12] Jump up to: ^а ^б Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2007). «Улучшенный метод конечных точек для трехмерных потенциальных потоков» . Вычислительная механика . 40 (6): 949–963. Бибкод : 2007CompM..40..949O . дои : 10.1007/s00466-006-0154-6 . S2CID 117928701 .

[Ortega2014-13] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2014). Разработка и применение метода конечных точек для решения задач аэродинамики сжимаемого материала (PDF) . Монография CIMNE M143. ISBN 978-84-941686-7-3 . Архивировано из оригинала (PDF) 14 сентября 2016 г. Проверено 4 июля 2016 г.

[Boroomand2005-14] Бороманд, Б.; Табатабаи, А.А.; Оньяте, Э. (2005). «Простые модификации для стабилизации метода конечных точек» . Международный журнал численных методов в технике . 63 (3): 351–379. Бибкод : 2005IJNME..63..351B . дои : 10.1002/nme.1278 . S2CID 121749475 .

[Boroomand2009-15] Бороманд, Б.; Наджар, М.; Оньяте, Э. (2009). «Обобщенный метод конечных точек» . Вычислительная механика . 44 (2): 173–190. Бибкод : 2009CompM..44..173B . дои : 10.1007/s00466-009-0363-x . S2CID 120147281 .

[Onate1996-16] Оньяте, Э. (1996). «О стабилизации численного решения задач конвективного переноса и течения жидкости». Отчет об исследовании № 81: Международный центр численных методов в технике .

[Onate1998b-17] Оньяте, Э. (1998). "Вывод стабилизированных уравнений для численного решения задач адвективно-диффузионного переноса и течения жидкости" . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 151 (1): 233–265. Бибкод : 1998CMAME.151..233O . дои : 10.1016/s0045-7825(97)00119-9 .

[Lohner1998-18] Лёнер, Р.; Оньяте, Э. (1998). «Прогрессивная методика генерации точек фронта» . Коммуникации в численных методах в технике . 14 (12): 1097–1108. doi : 10.1002/(sici)1099-0887(199812)14:12<1097::aid-cnm183>3.0.co;2-7 .

[Onate2000-19] Оньяте, Э.; Сакко, К.; Идельсон, С. (2000). «Метод конечных точек для задач несжимаемого течения» . Вычисления и визуализация в науке . 3 (1–2): 67–75. дои : 10.1007/s007910050053 . S2CID 121836300 .

[Sacco2002-20] Сакко, К. (2002). «Развитие метода конечных точек в механике жидкости». Кандидатская диссертация, Политехнический университет Каталонии .

[Idelsohn2001-21] Идельсон, С.; Сторти, М.; Оньяте, Э. (2001). «Лагранжевы формулы для решения течений несжимаемой невязкой жидкости на свободной поверхности» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 191 (6): 583–593. Бибкод : 2001CMAME.191..583R . дои : 10.1016/s0045-7825(01)00303-6 .

[Lohner2002-22] Лёнер, Р.; Сакко, К.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2002). «Метод конечных точек для сжимаемого потока» . Международный журнал численных методов в технике . 53 (8): 1765–1779. Бибкод : 2002IJNME..53.1765L . дои : 10.1002/nme.334 . hdl : 2117/167123 . S2CID 122100757 .

[Ortega2009-23] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С. (2009). «Метод конечных точек для адаптивных трехмерных расчетов течения сжимаемой жидкости» . Международный журнал численных методов в жидкостях . 60 (9): 937–971. Бибкод : 2009IJNMF..60..937O . дои : 10.1002/fld.1892 . hdl : 2117/24488 . S2CID 16484035 .

[Ortega2013-24] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2013). «Бессеточный метод конечных точек для трехмерного анализа задач сжимаемого потока, включающих движущиеся границы и адаптивность». Международный журнал численных методов в жидкостях . 73 (4): 323–343. Бибкод : 2013IJNMF..73..323O . дои : 10.1002/fld.3799 . hdl : 2117/86276 . S2CID 122812951 .

[Ortega2011-25] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Буачарт, К. (2011). «Адаптивный метод конечных точек для уравнений мелкой воды» . Международный журнал численных методов в технике . 88 (2): 180–204. Бибкод : 2011IJNME..88..180O . дои : 10.1002/nme.3171 . S2CID 122485902 .

[Buachart2014-26] Буачарт, К.; Канок-Нукульчай, В.; Ортега, Э.; Оньяте, Э. (2014). «Модель мелкой воды методом конечных точек». Международный журнал вычислительных методов . 11 (1): 1350047. doi : 10.1142/S0219876213500473 .

[Ortega2014a-27] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2014). «Применение метода конечных точек к задачам сжимаемого потока с большим числом Рейнольдса». Международный журнал численных методов в жидкостях . 74 (10): 732. Бибкод : 2014IJNMF..74..732O . дои : 10.1002/fld.3871 . hdl : 2117/23168 . S2CID 122766345 .

[Ortega2014b-28] Ортега, Э.; Оньяте, Э.; Идельсон, С.; Флорес, Р. (2014). «Сравнительная точность и оценка эффективности метода конечных точек в задачах о течении сжимаемой жидкости». Компьютеры и жидкости . 89 : 53–65. doi : 10.1016/j.compfluid.2013.10.024 . hdl : 2117/21385 .

[Bajko2014-29] Байко Дж.; Чермак, Л.; Джича, М. (2014). «Метод конечных точек высокого порядка для решения задач распространения звука». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 280 : 157–175. Бибкод : 2014CMAME.280..157B . дои : 10.1016/j.cma.2014.07.022 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]