Метод проекции (гидродинамика)

В вычислительной гидродинамике метод проекции , также называемый методом проекции Хорина , является эффективным средством численного решения зависящих от времени о движении несжимаемой жидкости задач . Первоначально он был представлен Александром Шореном в 1967 году. как эффективное средство решения уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости . Ключевое преимущество проекционного метода состоит в том, что вычисления полей скорости и давления разделены.

Алгоритм

Алгоритм проекционного метода основан на разложении Гельмгольца (иногда называемом разложением Гельмгольца-Ходжа) любого векторного поля на соленоидальную часть и безвихревую часть. Обычно алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе на каждом временном шаге вычисляется промежуточная скорость, не удовлетворяющая ограничению несжимаемости. Во втором случае давление используется для проецирования промежуточной скорости на пространство бездивергентного поля скоростей, чтобы получить следующее обновление скорости и давления.

Разложение Гельмгольца – Ходжа

Теоретической основой метода проекционного типа является теорема Ладыженской о разложении , которую иногда называют разложением Гельмгольца – Ходжа или просто разложением Ходжа. Он утверждает, что векторное поле $\mathbf {u}$ определенные на односвязной области, однозначно разлагаются на бездивергентную ( соленоидальную ) часть $\mathbf {u} _{\text{sol}}$ и безвихревая часть $\mathbf {u} _{\text{irrot}}$.

Таким образом,

$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{sol}}+\mathbf {u} _{\text{irrot}}=\mathbf {u} _{\text{sol}}+\nabla \phi$

с $\nabla \times \nabla \phi =0$ для некоторой скалярной функции $\,\phi$. Принимаярасхождение уравнений дает

$\nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla ^{2}\phi \qquad ({\text{since,}}\;\nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{sol}}=0)$

Это уравнение Пуассона для скалярной функции $\,\phi$. Если векторное поле $\mathbf {u}$ известно, приведенное выше уравнение можно решить относительно скалярной функции $\,\phi$ и бездивергентная часть $\mathbf {u}$ можно извлечь, используя соотношение

$\mathbf {u} _{\text{sol}}=\mathbf {u} -\nabla \phi$

В этом суть метода соленоидальной проекции для решения несжимаемой задачи.Уравнения Навье–Стокса.

Метод проекции Хорина

Уравнение Навье-Стокса несжимаемой жидкости (дифференциальная форма уравнения количества движения) можно записать как

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u}$

В , оригинальной версии метода проекции Хорина сначала вычисляется промежуточная скорость $\mathbf {u} ^{*}$, явно используя уравнение количества движения, игнорируя член градиента давления:

$\quad (1)\qquad {\frac {\mathbf {u} ^{*}-\mathbf {u} ^{n}}{\Delta t}}=-(\mathbf {u} ^{n}\cdot \nabla )\mathbf {u} ^{n}+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ^{n}$

где $\mathbf {u} ^{n}$ это скорость при $\,n$^й временной шаг. Во второй половине алгоритма, на этапе проекции , мы корректируем промежуточную скорость, чтобы получить окончательное решение временного шага. $\mathbf {u} ^{n+1}$:

$\quad (2)\qquad \mathbf {u} ^{n+1}=\mathbf {u} ^{*}-{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}$

Это уравнение можно переписать в виде шага по времени как

${\frac {\mathbf {u} ^{n+1}-\mathbf {u} ^{*}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}$

чтобы прояснить, что алгоритм на самом деле представляет собой просто подход к разделению операторов , при котором силы вязкости (на первом полушаге) и силы давления (на втором полушаге) рассматриваются отдельно.

Вычисление правой части второго полушага требует знания давления, $\,p$, в $\,(n+1)$ временной уровень. Это получается, если взять расхождение и потребовать, чтобы $\nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}=0$, что является условием дивергенции (непрерывности), тем самым выводя следующее уравнение Пуассона для $\,p^{n+1}$,

$\nabla ^{2}p^{n+1}={\frac {\rho }{\Delta t}}\,\nabla \cdot \mathbf {u} ^{*}$

Поучительно отметить, что уравнение, записанное в виде

$\mathbf {u} ^{*}=\mathbf {u} ^{n+1}+{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}$

– стандартное разложение Ходжа, если граничное условие для $\,p$ на границе домена, $\partial \Omega$ являются $\nabla p^{n+1}\cdot \mathbf {n} =0$. На практике это условие является причиной ошибок, которые этот метод показывает вблизи границы области, поскольку реальное давление (т.е. давление в точном решении уравнений Навье-Стокса) не удовлетворяет таким граничным условиям.

Для явного метода граничное условие для $\mathbf {u} ^{*}$ в уравнении (1) является естественным. Если $\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0$ на $\partial \Omega$, то пространство бездивергентных векторных полей будет ортогонально пространству безвихревых векторных полей, и из уравнения (2) имеем

${\frac {\partial p^{n+1}}{\partial n}}=0\qquad {\text{on}}\quad \partial \Omega$

Явную обработку граничных условий можно обойти, используя шахматную сетку и потребовав, чтобы $\nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}$ исчезают в узлах давления, прилегающих к границам.

Отличительной особенностью метода проекции Чорина является то, что поле скорости вынуждено удовлетворять дискретному ограничению непрерывности в конце каждого временного шага.

Общий метод

Обычно метод проекции работает как двухэтапная схема дробных шагов, метод, который использует несколько шагов расчета для каждого числового временного шага. Во многих алгоритмах проецирования этапы разделены следующим образом:

1. Сначала система перемещается во времени к положению среднего временного шага, решая приведенные выше уравнения переноса массы и импульса с использованием подходящего метода адвекции. Это называется шагом прогнозирования .
2. На этом этапе может быть реализована первоначальная проекция так, чтобы поле скоростей среднего временного шага считалось свободным от дивергенций.
3. Затем выполняется корректирующая часть алгоритма. Они используют центрированные по времени оценки скорости, плотности и т. д. для формирования окончательного состояния временного шага.
4. Затем применяется окончательная проекция, чтобы обеспечить ограничение дивергенции поля скорости. Сейчас система полностью обновлена ​​под новое время.