Матрица Петерсена

Матрица Петерсена представляет собой комплексное описание систем биохимических реакций, используемых для моделирования реакторов для борьбы с загрязнением (инженерное разложение ), а также в экологических системах . Он имеет столько столбцов, сколько соответствующих задействованных компонентов ( химические вещества , загрязняющие вещества , биомассы , газы ), и столько строк, сколько задействованных процессов (биохимические реакции и физическое разложение). Добавляется еще один столбец для описания кинетики каждого превращения ( уравнение скорости ).

Матричная структура

Принцип сохранения массы для каждого процесса выражается в строках матрицы. Если включены все компоненты (ни один не опущен), то принцип сохранения массы гласит, что для каждого процесса:

${\text{for all process }}i:\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\dot {\rho _{j}}}=0\;,$

где ${\dot {\rho _{j}}}$ - плотность каждого компонента. процесса Это также можно рассматривать как стехиометрическое соотношение .

Причем скорость изменения каждого компонента при одновременном воздействии всех процессов можно легко оценить, суммируя столбцы:

${\text{for all component }}j:{\frac {\partial C_{j}}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}r_{i}\;,$

где $r_{i}$ – скорости реакций каждого процесса.

Пример

Система реакции третьего порядка с последующей ферментативной реакцией Михаэлиса-Ментен .

${\ce {{A}+ 2B -> S}}$

${\ce {{E}+S<=>[k_{f}][k_{r}]ES->[k_{\mathrm {cat} }]{E}+P}}$

где реагенты А и В объединяются, образуя субстрат S (S = AB ₂ ), который с помощью фермента Е превращается в продукт Р.Производительность по каждому веществу составляет:

${\begin{aligned}{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&=-k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}&=-2k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\frac {d[{\ce {S}}]}{dt}}&=k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}]}{dt}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}S]}{dt}}&=k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {P}}]}{dt}}&=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\end{aligned}}$

Следовательно, матрица Петерсена имеет вид

Компоненты (кмоль/м³) Процесс	А	Б	С	И	ЯВЛЯЕТСЯ	П	Скорость реакции
P1: образование S 2-го порядка из A и B.	−1	−2	+1	0	0	0	$k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}$
P2: Формирование ES из E и S	0	0	−1	−1	+1	0	$k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]$
P3: Обратное разложение ES на E и S	0	0	+1	+1	−1	0	$k_{r}[{\ce {ES}}]$
P4: Прямое разложение ES на E и P	0	0	0	+1	−1	+1	$k_{{\ce {cat}}}[{\ce {ES}}]$

Матрицу Петерсена можно использовать для записи уравнения скорости системы.

${\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}[{\ce {A}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {B}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {S}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {E}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {ES}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {P}}]\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\-2&0&0&0\\+1&-1&+1&0\\0&-1&+1&+1\\0&+1&-1&-1\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]\\k_{r}[{\ce {ES}}]\\k_{\ce {cat}}[{\ce {ES}}]\end{pmatrix}}$