Плоские уравнения входа в атмосферу

Плоские уравнения входа в атмосферу — это уравнения движения, управляющие входом космического корабля в атмосферу без двигателя , основанные на предположениях о плоском движении и постоянной массе в фиксированной на Земле системе отсчета . ^{[ 1 ]}

${\begin{cases}{\frac {dV}{dt}}&=-{\frac {\rho V^{2}}{2\beta }}+g\sin \gamma \\{\frac {d\gamma }{dt}}&=-{\frac {V\cos \gamma }{r}}-{\frac {\rho V}{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma +{\frac {g\cos \gamma }{V}}\\{\frac {dh}{dt}}&=-V\sin \gamma \end{cases}}$

где величины в этих уравнениях равны:

$V$ это скорость
$\gamma >0$ угол траектории полета
$h$ это высота
$\rho$ плотность атмосферы
$\beta$ баллистический коэффициент
$g$ это гравитационное ускорение
$r=r_{e}+h$ это радиус от центра планеты с экваториальным радиусом $r_{e}$
$L/D$ это аэродинамическое качество
$\sigma$ – угол крена космического корабля.

Упрощения

Решение Аллена-Эггерса

Гарри Аллен и Альфред Эггерс , основываясь на своих исследованиях траекторий межконтинентальных баллистических ракет , смогли вывести аналитическое выражение для скорости как функции высоты. ^{[ 2 ]} Они сделали несколько предположений:

Вход космического корабля был чисто баллистическим. $(L=0)$ .
Эффект гравитации мал по сравнению с сопротивлением, и его можно игнорировать.
Угол траектории полета и баллистический коэффициент постоянны.
Экспоненциальная атмосфера , где $\rho (h)=\rho _{0}\exp(-h/H)$ , с $\rho _{0}$ плотность на поверхности планеты и $H$ это высота шкалы .

Эти предположения справедливы для гиперзвуковых скоростей , где число Маха больше 5. Тогда плоские уравнения входа космического корабля имеют вид:

{\begin{cases}{\frac {dV}{dt}}&=-{\frac {\rho _{0}}{2\beta }}V^{2}e^{-h/H}\\{\frac {dh}{dt}}&=-V\sin \gamma \end{cases}}\implies {\frac {dV}{dh}}={\frac {\rho _{0}}{2\beta \sin \gamma }}Ve^{-h/H}

Перестановка терминов и интеграция условий атмосферного интерфейса в начале входа в атмосферу. $(V_{\text{atm}},h_{\text{atm}})$ приводит к выражению:

{\frac {dV}{V}}={\frac {\rho _{0}}{2\beta \sin \gamma }}e^{-h/H}dh\implies \log \left({\frac {V}{V_{\text{atm}}}}\right)=-{\frac {\rho _{0}H}{2\beta \sin \gamma }}\left(e^{-h/H}-e^{-h_{\text{atm}}/H}\right)

Термин $\exp(-h_{\text{atm}}/H)$ мала и ею можно пренебречь, что приводит к скорости:

V(h)=V_{\text{atm}}\exp \left(-{\frac {\rho _{0}H}{2\beta \sin \gamma }}e^{-h/H}\right)

Аллен и Эггерс также смогли рассчитать замедление по траектории, исходя из перегрузок. количества испытываемых $n=g_{0}^{-1}(dV/dt)$ , где $g_{0}$ – гравитационное ускорение на поверхности планеты. Высота и скорость при максимальном замедлении равны:

h_{n_{\max }}=H\log \left({\frac {\rho _{0}H}{\beta \sin \gamma }}\right),\quad V_{n_{\max }}=V_{\text{atm}}e^{-1/2}\implies n_{\max }={\frac {V_{\text{atm}}^{2}\sin \gamma }{2g_{0}eH}}

Также возможно рассчитать максимальную температуру критической точки конвективную с помощью решения Аллена-Эггерса и корреляции теплопередачи; корреляция Саттона-Грейвса ^{[ 3 ]} обычно выбирают. Скорость нагрева ${\dot {q}}''$ в точке застоя, в единицах Ватт на квадратный метр, предполагается, что она имеет вид:

{\dot {q}}''=k\left({\frac {\rho }{r_{n}}}\right)^{1/2}V^{3}\sim {\text{W}}/{\text{m}}^{2}

где $r_{n}$ - эффективный радиус при вершине. Константа $k=1.74153\times 10^{-4}$ для Земли. Тогда можно найти высоту и величину пикового конвективного нагрева:

h_{{\dot {q}}_{\max }''}=-H\log \left({\frac {\beta \sin \gamma }{3H\rho _{0}}}\right)\implies {\dot {q}}_{\max }''=k{\sqrt {\frac {\beta \sin \gamma }{3Hr_{n}e}}}V_{\text{atm}}^{3}

Состояние равновесного скольжения

Еще одно часто встречающееся упрощение — подъемный вход с пологим, медленно меняющимся углом траектории полета. ^{[ 4 ]} Скорость как функцию высоты можно вывести из двух предположений:

Угол траектории полета небольшой, что означает, что: $\cos \gamma \approx 1,\sin \gamma \approx \gamma$ .
Угол траектории полета меняется очень медленно, так что $d\gamma /dt\approx 0$ .

Из этих двух предположений мы можем сделать вывод из второго уравнения движения, что:

$\left[{\frac {1}{r}}+{\frac {\rho }{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma \right]V^{2}=g\implies V(h)={\sqrt {\frac {gr}{1+{\frac {\rho r}{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma }}}$

См. также

Ссылки

^ Ван, Кеннет; Тин, Лу (1961). «Приблизительные решения для траекторий входа в атмосферу с аэродинамическими силами» (PDF) . Отчет PIBAL № 647 : 5–7.
^ Аллен, Х. Джулиан; Эггерс-младший, Эй-Джей (1958). «Исследование движения и аэродинамического нагрева баллистических ракет, входящих в атмосферу Земли на высоких сверхзвуковых скоростях» (PDF) . Технический отчет NACA 1381 . Национальный консультативный комитет по аэронавтике.
^ Саттон, К.; Грейвс, РА (1 ноября 1971 г.). «Общее уравнение конвективного нагревания в критической точке для произвольных газовых смесей» . Технический отчет НАСА R-376 .
^ Эггерс-младший, Эй-Джей; Аллен, HJ; Племянница, Ю.В. (1958). «Сравнительный анализ характеристик гиперскоростных аппаратов дальнего действия» (PDF) . Технический отчет NACA 1382 . Национальный консультативный комитет по аэронавтике.

Дальнейшее чтение

Риган, Ф.Дж.; Анандакришнан, С.М. (1993). Динамика возвращения в атмосферу . Образовательная серия AIAA. стр. 180-184.

[1] Ван, Кеннет; Тин, Лу (1961). «Приблизительные решения для траекторий входа в атмосферу с аэродинамическими силами» (PDF) . Отчет PIBAL № 647 : 5–7.

[2] Аллен, Х. Джулиан; Эггерс-младший, Эй-Джей (1958). «Исследование движения и аэродинамического нагрева баллистических ракет, входящих в атмосферу Земли на высоких сверхзвуковых скоростях» (PDF) . Технический отчет NACA 1381 . Национальный консультативный комитет по аэронавтике.

[3] Саттон, К.; Грейвс, РА (1 ноября 1971 г.). «Общее уравнение конвективного нагревания в критической точке для произвольных газовых смесей» . Технический отчет НАСА R-376 .

[4] Эггерс-младший, Эй-Джей; Аллен, HJ; Племянница, Ю.В. (1958). «Сравнительный анализ характеристик гиперскоростных аппаратов дальнего действия» (PDF) . Технический отчет NACA 1382 . Национальный консультативный комитет по аэронавтике.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]