Теорема о левой матрице

В анализе матричном матричная теорема Крейсса связывает так называемую константу Крейсса матрицы со степенными итерациями этой матрицы. Первоначально он был введен Хайнцем-Отто Крейссом для анализа устойчивости методов конечных разностей для уравнений в частных разностях .

Константа Крейсса матрицы

Для матрицы A 𝒦 константа Крейсса ( A ) (относительно замкнутого единичного круга) матрицы A определяется как

${\mathcal {K}}(\mathbf {A} )=\sup _{|z|>1}(|z|-1)\left\|(z-\mathbf {A} )^{-1}\right\|,$

а константа Крейсса 𝒦 _lhp ( A ) относительно левой полуплоскости определяется выражением

${\mathcal {K}}_{\textrm {lhp}}(\mathbf {A} )=\sup _{\Re (z)>0}(\Re (z))\left\|(z-\mathbf {A} )^{-1}\right\|.$

Характеристики

• Для любой матрицы A имеем 𝒦( A ) ≥ 1 и 𝒦 _lhp ( A ) ≥ 1. В частности, 𝒦( A ) (соответственно 𝒦 _lhp ( A )) конечны, только если матрица A стабильна по Шуру ( соответственно конюшня Гурвица ).
• Константу Крейсса можно интерпретировать как меру нормальности матрицы. В частности, для нормальных матриц A со спектральным радиусом меньше 1 справедливо 𝒦( A ) = 1. Аналогично для нормальных матриц A, устойчивых по Гурвицу , 𝒦 _lhp ( A ) = 1.
• 𝒦( A ) и 𝒦 _lhp ( A ) имеют альтернативные определения через псевдоспектр Λ _ε (A):
  • ${\mathcal {K}}(A)=\sup _{\varepsilon >0}{\frac {\rho _{\varepsilon }(A)-1}{\varepsilon }}$ , где p _ε (A) = max{| л | : λ ∈ Λ _e ( A )},
  • ${\mathcal {K}}_{\textrm {lhp}}(A)=\sup _{\varepsilon >0}{\frac {\alpha _{\varepsilon }(A)}{\varepsilon }}$, где αε _{(A) =} max{Re| л | : λ ∈ Λ _e ( A )}.
• 𝒦 _lhp ( A ) можно вычислить с помощью робастных методов управления .

Формулировка матричной теоремы Крейсса

Пусть A — квадратная матрица порядка n , а e — число Эйлера . Современная и точная версия матричной теоремы Крейсса утверждает, что приведенное ниже неравенство является точным.

${\mathcal {K}}(\mathbf {A} )\leq \sup _{k\geq 0}\left\|\mathbf {A} ^{k}\right\|\leq e\,n\,{\mathcal {K}}(\mathbf {A} ),$

и это следует из применения леммы Спейкера .

Существует также аналогичный результат в терминах константы Крейсса относительно левой полуплоскости и матричной экспоненты:

${\mathcal {K}}_{\mathrm {lhp} }(\mathbf {A} )\leq \sup _{t\geq 0}\left\|\mathrm {e} ^{t\mathbf {A} }\right\|\leq e\,n\,{\mathcal {K}}_{\mathrm {lhp} }(\mathbf {A} )$

Последствия и применение

Значение $\sup _{k\geq 0}\left\|\mathbf {A} ^{k}\right\|$ (соответственно, $\sup _{t\geq 0}\left\|\mathrm {e} ^{t\mathbf {A} }\right\|$) можно интерпретировать как максимальный переходный рост системы дискретного времени $x_{k+1}=Ax_{k}$ (соответственно, непрерывная система ${\dot {x}}=Ax$).

Таким образом, матричная теорема Крейсса дает как верхние, так и нижние границы переходного поведения системы с динамикой, заданной матрицей A : большая (и конечная) константа Крейсса указывает на то, что система будет иметь подчеркнутую переходную фазу перед распадом до нуля.