Состояние Слейтера

Не путать с определителем Слейтера .

В математике ( условие Слейтера или условие Слейтера ) является достаточным условием выполнения сильной двойственности для задачи выпуклой оптимизации , названной в честь Мортона Л. Слейтера. Неформально условие Слейтера гласит, что допустимая область должна иметь внутреннюю точку (см. технические подробности ниже).

Условие Слейтера является конкретным примером квалификации ограничения . выполняется условие Слейтера В частности, если для основной задачи , то разрыв двойственности равен 0, а если двойственное значение конечно, то оно достигается.

Формулировка

Позволять $f_{1},\ldots ,f_{m}$ быть действительными функциями на некотором подмножестве $D$ из $\mathbb {R} ^{n}$. Будем говорить, что функции удовлетворяют условию Слейтера, если существует некоторое $x$ в относительной внутренней части $D$, для чего $f_{i}(x)<0$ для всех $i$ в $1,\ldots ,m$. Мы говорим, что функции удовлетворяют смягченному условию Слейтера, если:

• Некоторый $k$ функции (скажем $f_{1},\ldots ,f_{k}$) аффинны ;
• Существует $x\in \operatorname {relint} D$ такой, что $f_{i}(x)\leq 0$ для всех $i=1,\ldots ,k$, и $f_{i}(x)<0$ для всех $i=k+1,\ldots ,m$.

Приложение к выпуклой оптимизации

Рассмотрим задачу оптимизации

${\text{Minimize }}\;f_{0}(x)$

${\text{subject to: }}\$

$f_{i}(x)\leq 0,i=1,\ldots ,m$

$Ax=b$

где $f_{0},\ldots ,f_{m}$ являются выпуклыми функциями . Это пример выпуклого программирования . Условие Слейтера для выпуклого программирования гласит, что существует $x^{*}$ это строго осуществимо , то есть все m ограничений выполняются, а нелинейные ограничения удовлетворяются строгими неравенствами.

Если выпуклая программа удовлетворяет условию Слейтера (или ослабленному условию) и ограничена снизу, то имеет место сильная двойственность . Математически это означает, что сильная двойственность имеет место, если существует $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$ (где relint обозначает относительную внутренность выпуклого множества $D:=\cap _{i=0}^{m}\operatorname {dom} (f_{i})$) такой, что

$f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots ,m,$ (выпуклые нелинейные ограничения)

$Ax^{*}=b.\,$

Обобщенные неравенства

Учитывая проблему

${\text{Minimize }}\;f_{0}(x)$

${\text{subject to: }}\$

$f_{i}(x)\leq _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m$

$Ax=b$

где $f_{0}$ является выпуклым и $f_{i}$ является $K_{i}$-выпуклая для каждого $i$. Тогда условие Слейтера гласит, что если существует $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$ такой, что

$f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m$ и

$Ax^{*}=b$

тогда сохраняется сильная двойственность.

См. также

• Двойственность
• Условия Каруша – Куна – Такера
• Множитель Лагранжа