Метрическая проекция

В математике метрическая проекция — это функция, которая отображает каждый элемент метрического пространства в набор точек, ближайших к этому элементу, в некотором фиксированном подпространстве.

Формальное определение

Формально, пусть X — метрическое пространство с расстояния метрикой d , и пусть — фиксированное подмножество X. M Тогда метрическая проекция, связанная с M , обозначаемая p _M , представляет собой следующую многозначную функцию от X до M :

$p_{M}(x)=\arg \min _{y\in M}d(x,y)$

Эквивалентно:

$p_{M}(x)=\{y\in M:d(x,y)\leq d(x,y')\forall y'\in M\}=\{y\in M:d(x,y)=d(x,M)\}$

Элементы в наборе $\arg \min _{y\in M}d(x,y)$ называются также элементами наилучшего приближения . Этот термин происходит от ограниченной оптимизации : мы хотим найти элемент ближе к x что решение должно быть подмножеством M. , при условии , Функцию pM _еще называют оператором наилучшего приближения .

наборы Чебышева

В общем, p _M является многозначным, так как для каждого x может быть много элементов в M , которые имеют одинаковое ближайшее расстояние к x . В частном случае, когда p _M однозначно, множество M называется чебышевским множеством . Например, если ( X , d ) — евклидово пространство (R ^н с евклидовым расстоянием ), то множество M является чебышёвским тогда и только тогда, когда оно замкнуто и выпукло .

Непрерывность

Если M — непустой компакт , то метрическая проекция p _M полунепрерывна сверху , но может не быть полунепрерывной снизу. Но если X — нормированное пространство , а M — конечномерное чебышёвское множество, то p _M непрерывно.

Более того, если X — гильбертово пространство , а M замкнуто и выпукло, то p _M липшицево непрерывно с константой Липшица 1.

Приложения

Метрические проекции используются как для исследования теоретических вопросов функционального анализа , так и для практических методов аппроксимации. Они также используются в ограниченной оптимизации .