геометрия Зариского
В математике геометрия Зарисского состоит из абстрактной структуры, введенной Эхудом Грушовским и Борисом Зильбером , чтобы дать характеристику топологии Зарисского на алгебраической кривой и всех ее степеней. Топология Зариского на произведении алгебраических многообразий очень редко является топологией произведения , но более богата замкнутыми множествами, определяемыми уравнениями, смешивающими два набора переменных. Описанный результат придает этому вполне определенный смысл, применительно к проективным кривым и компактным римановым поверхностям в частности, .
Определение [ править ]
Геометрия Зариского состоит из множества X и топологической структуры на каждом из множеств.
- Х , Х 2 , ИКС 3 , ...
удовлетворяющие определенным аксиомам.
(N) Каждый из X н — нётерово топологическое пространство размерности не более n .
Теперь будет принята некоторая стандартная терминология для нётеровых пространств.
(А) В каждом X н , подмножества, определяемые равенством в n - кортеже , замкнуты. Отображения
- Икс м → Х н
определяемые путем проецирования одних координат и установки других в качестве констант, все они непрерывны.
(Б) Для проекции
- п : Х м → Х н
и неприводимое замкнутое подмножество Y в X м , p ( Y ) лежит между его замыканием Z и Z \ Z ′ где Z ′ — собственное замкнутое подмножество Z. , (Это устранение кванторов на абстрактном уровне.)
(C) X неприводим.
(D) Существует равномерная оценка числа элементов слоя в проекции любого замкнутого множества в X м , за исключением случаев, когда волокно X .
(E) Замкнутое неприводимое подмножество X м , размерности r при пересечении с диагональным подмножеством, в котором s координат заданы равными, имеет все компоненты размерности не менее r − s + 1.
Требуемое дальнейшее условие называется очень обильным (ср. очень обильное линейное расслоение ). Предполагается, что существует неприводимое замкнутое подмножество P некоторого X м и неприводимое замкнутое подмножество Q в P × X 2 , со следующими свойствами:
(I) Даны пары ( x , y ), ( x ′ , y ′ ) в X 2 , для некоторого t в P набор ( t , u , v ) в Q включает ( t , x , y ), но не ( t , x ′ , y ′ )
(J) Для t вне собственного замкнутого подмножества P множество ( x , y ) в X 2 , ( t , x , y ) в Q — неприводимое замкнутое множество размерности 1.
(K) Для всех пар ( x , y ), ( x ′ , y ′ ) в X 2 , выбранный вне собственного замкнутого подмножества, существует некоторый t в P такой, что набор ( t , u , v ) в Q включает ( t , x , y ) и ( t , x ' , y ' ).
Геометрически это говорит о том, что существует достаточно кривых, чтобы разделить точки (I) и соединить точки (K); и что такие кривые могут быть взяты из одного параметрического семейства .
Затем Грушовский и Зильбер доказывают, что при этих условиях существуют алгебраически замкнутое поле K и неособая алгебраическая кривая C такие, что ее геометрия степеней Зариского и их топология Зарисского изоморфны данной. Короче говоря, геометрию можно алгебраизировать.
Ссылки [ править ]
- Грушовский, Эхуд; Зильбер, Борис (1996). «Геометрии Зарисского» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 9 (1): 1–56. дои : 10.1090/S0894-0347-96-00180-4 .