Межвременная CAPM

В рамках математических финансов альтернативой является межвременная модель ценообразования капитальных активов , или ICAPM модели CAPM, предложенной Робертом Мертоном , . Это линейная факторная модель с богатством в качестве переменной состояния, которая прогнозирует изменения в распределении будущих доходов или доходов .

В ICAPM инвесторы принимают решения о потреблении на протяжении всей жизни, когда сталкиваются с более чем одной неопределенностью. Основное различие между ICAPM и стандартным CAPM заключается в дополнительных переменных состояния, которые подтверждают тот факт, что инвесторы страхуются от дефицита потребления или от изменений в наборе будущих инвестиционных возможностей.

Версия с непрерывным временем

Мертон рассматривает рынок с непрерывным временем, находящийся в равновесии.Переменная состояния (X) следует броуновскому движению :

$dX=\mu dt+sdZ$

Инвестор максимизирует свою полезность по фон Нейману-Моргенштерну :

$E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}$

где T — временной горизонт, а B[W(T),T] — полезность богатства (W).

Инвестор имеет следующее ограничение на богатство (W). Позволять $w_{i}$ быть весом, вложенным в актив i. Затем:

$W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]$

где $r_{i}$ это доходность актива i.Изменение богатства – это:

$dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)$

мы можем использовать динамическое программирование Для решения этой проблемы . Например, если мы рассмотрим серию задач с дискретным временем:

$\max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}$

Тогда расширение Тейлора дает:

$\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt$

где $t^{*}$ — значение между t и t+dt.

Предполагая, что доходы следуют броуновскому движению :

$r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}$

с:

$E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt$

Тогда сокращая члены второго и более высокого порядка:

$dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}$

Используя уравнение Беллмана , мы можем переформулировать проблему:

$J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}$

с учетом ранее упомянутого ограничения богатства.

Используя лемму Ито, мы можем переписать:

$dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW$

и ожидаемое значение:

$E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)$

После некоторой алгебры , имеем следующую целевую функцию:

$max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}$

где $r_{f}$ это безрисковая доходность.Условия первого порядка:

$J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n$

В матричной форме имеем:

$(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}$

где $\alpha$ – вектор ожидаемой доходности, $\Omega$ ковариационная матрица доходности, ${\mathbf {1} }$ вектор единицы $cov_{rX}$ ковариация между доходностью и переменной состояния. Оптимальные веса:

${\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}$

Обратите внимание, что межвременная модель обеспечивает те же веса, что и CAPM . Ожидаемую прибыль можно выразить следующим образом:

$\alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})$

где m — рыночный портфель, а портфель ha для хеджирования переменной состояния.

См. также

• Межвременной выбор портфеля

Ссылки

• Мертон, Р.К., (1973), Межвременная модель ценообразования капитальных активов. Эконометрика 41, Том. 41, № 5. (сентябрь 1973 г.), стр. 867–887.
• «Многофакторная эффективность портфеля и многофакторное ценообразование активов», Юджин Ф. Фама, ( Журнал финансового и количественного анализа ), Vol. 31, № 4, декабрь 1996 г.