Доказательства, которые действительно имеют значение

«Доказательства, которые действительно важны: искусство комбинаторного доказательства» — это книга по математике для студентов бакалавриата, посвященная комбинаторным доказательствам математических тождеств . То есть речь идет об уравнениях между двумя целочисленными формулами, равенство которых показано либо путем демонстрации того, что обе части уравнения учитывают один и тот же тип математических объектов, либо путем нахождения взаимно однозначного соответствия между различными типами объектов. что они рассчитывают. Он был написан Артуром Т. Бенджамином и Дженнифер Куинн и опубликован в 2003 году Математической ассоциацией Америки как 27-й том серии математических изложений Дольчиани. Книга получила Книжную премию Беккенбаха Американской математической ассоциации.

Темы

В книге представлены комбинаторные доказательства тринадцати теорем комбинаторики и 246 нумерованных тождеств (сопоставленные в приложении). ^[1] Также включены несколько дополнительных «неучтенных личностей». ^[2] Многие доказательства основаны на методе визуального рассуждения, который авторы называют «тайлингом». ^[1]^[3] а в предисловии авторы описывают свою работу как продолжение задач по счету из «Доказательство без слов» . книг Роджера Б. Нельсона ^[3]

Первые три главы книги начинаются с целочисленных последовательностей, определяемых линейными рекуррентными отношениями , типичным примером которых является последовательность чисел Фибоначчи . Этим числам можно дать комбинаторную интерпретацию как количество способов замощения мозаики. $1\times n$ полоса квадратов с плитками двух типов, одиночными квадратами и домино; эта интерпретация может быть использована для доказательства многих фундаментальных тождеств, включающих числа Фибоначчи, и обобщена на аналогичные отношения относительно других последовательностей, определенных аналогичным образом: ^[4] например числа Лукаса , ^[5] использование «круглых и цветных мозаик». ^[6] Например, для чисел Фибоначчи, учитывая, соединяет ли мозаика позиции или нет. $a-1$ и $a$ полоски длиной $a+b-1$ сразу приводит к тождеству

F_{a+b}=F_{a-1}F_{b}+F_{a}F_{b+1}.

Главы с четвертой по седьмую книги посвящены тождествам, включающим непрерывные дроби , биномиальные коэффициенты , гармонические числа , числа Стирлинга и факториалы . Восьмая глава переходит от комбинаторики к теории чисел и абстрактной алгебре , а последняя глава возвращается к числам Фибоначчи с более детальным материалом об их тождествах. ^[4]

Аудитория и прием

Книга предназначена для студентов-математиков, но материал в основном самостоятелен, и его также могут прочитать учащиеся старших классов средней школы. ^[4]^[6] Кроме того, многие главы книги сами по себе являются самостоятельными, что позволяет задавать произвольный порядок чтения или использовать отрывки из этого материала на занятиях. ^[2] Хотя он структурирован как учебник с упражнениями в каждой главе, ^[4] обозреватель Роберт Бизер пишет, что он «не задуман как учебник», а скорее как «ресурс» для учителей и исследователей. ^[2] Вторя этому, рецензент Джо Робертс пишет, что, несмотря на свою элементарность, эта книга должна быть «ценным справочником... для всех, кто работает с такими личностями». ^[1]

В первоначальном обзоре Даррен Гласс жаловался, что многие результаты представлены в виде сухих формул без какого-либо контекста или объяснения того, почему они должны быть интересными или полезными, и что отсутствие контекста будет препятствием для использования его в качестве основного текста класса. ^[4] Тем не менее, во второй рецензии после года владения книгой он написал, что «дает ее взаймы человеку за человеком». ^[7]Рецензент Питер Г. Андерсон хвалит книгу за «прекрасный способ увидеть старую, знакомую математику, а также некоторую новую математику», называя ее «сокровищем». ^[5] Рецензент Джеральд Л. Александерсон описывает гранки книги как «гениальные, конкретные и запоминающиеся». ^[3] В награде за книгу на Книжной премии Беккенбаха 2006 года говорится, что она «волшебным образом иллюстрирует распространенность и силу методов счета в математике. Это одна из тех редких книг, которые понравятся профессионалам-математикам и соблазнят неофитов». ^[8]

На одну из открытых задач из книги, поиск биективного доказательства тождества, объединяющего биномиальные коэффициенты с числами Фибоначчи, впоследствии дал положительный ответ Дорон Зейлбергер . На веб-сайте, где он дает ссылку на препринт своей статьи, Зейлбергер пишет:

«Когда я был молод и красив, я не мог увидеть свою личность, не пытаясь доказать ее двусмысленно. Каким-то образом я отучился от этой зависимости. Но это желание возобновилось, когда я прочитал шедевр Артура Бенджамина и Дженнифер Куинн « Доказательства, которые действительно имеют значение». ." ^[9]

Признание

Книга «Доказательства, которые действительно имеют значение» получила в 2006 году книжную премию Бекенбаха Американской математической ассоциации. ^[8] и награда CHOICE 2010 года за выдающееся академическое звание Американской библиотечной ассоциации . ^[10] Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации включил ее в список необходимых для включения в любую математическую библиотеку для студентов. ^[4]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Робертс, Джо (2004), «Обзор действительно важных доказательств », Mathematical Reviews , MR 1997773
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бизер, Роберт А. (сентябрь 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », SIAM Review , 46 (3): 562–563, JSTOR 20453541
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Александерсон, Г.Л. , «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », zbMATH , Zbl 1044.11001
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Гласс, Даррен (октябрь 2003 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки , заархивировано из оригинала 7 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Андерсон, Питер Г. (ноябрь 2005 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение » (PDF) , Fibonacci Quarterly , 43 (4): 326–327
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Рейберн, Нелл (май 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », The Mathematics Teacher , 97 (5): 382, JSTOR 20871635 (ошибочно приписано Ларри Хоэну; см. в JSTOR 27971634 ) исправление авторства
^ Гласс, Д. (ноябрь 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », The American Statistician , 58 (4): 360, doi : 10.1198/tas.2004.s27 , JSTOR 27643599 , S2CID 118397498
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Премия Беккенбаха» , премии и награды на совместных математических собраниях в Сан-Антонио , Математическая ассоциация Америки, 18 января 2006 г.
^ Зейлбергер, Дорон (2009), «Доказательство подсчета Фибоначчи, предложенное Бенджамином и Куинном» , Труды одиннадцатой Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям, Congressus Numerantium , 194 : 263–264, MR 2463545
^ Доказательства, которые действительно имеют значение: искусство комбинаторного доказательства , Американская библиотечная ассоциация , получено 7 февраля 2018 г.

Внешние ссылки

Доказательства, которые действительно имеют значение в Интернет-архиве

[roberts-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Робертс, Джо (2004), «Обзор действительно важных доказательств », Mathematical Reviews , MR 1997773

[beezer-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бизер, Роберт А. (сентябрь 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », SIAM Review , 46 (3): 562–563, JSTOR 20453541

[alexanderson-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Александерсон, Г.Л. , «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », zbMATH , Zbl 1044.11001

[glass-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Гласс, Даррен (октябрь 2003 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки , заархивировано из оригинала 7 декабря 2023 г.

[anderson-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Андерсон, Питер Г. (ноябрь 2005 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение » (PDF) , Fibonacci Quarterly , 43 (4): 326–327

[rayburn-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Рейберн, Нелл (май 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », The Mathematics Teacher , 97 (5): 382, JSTOR 20871635 (ошибочно приписано Ларри Хоэну; см. в JSTOR 27971634 ) исправление авторства

[glass2-7] Гласс, Д. (ноябрь 2004 г.), «Обзор доказательств, которые действительно имеют значение », The American Statistician , 58 (4): 360, doi : 10.1198/tas.2004.s27 , JSTOR 27643599 , S2CID 118397498

[beckenbach-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Премия Беккенбаха» , премии и награды на совместных математических собраниях в Сан-Антонио , Математическая ассоциация Америки, 18 января 2006 г.

[zeilberger-9] Зейлбергер, Дорон (2009), «Доказательство подсчета Фибоначчи, предложенное Бенджамином и Куинном» , Труды одиннадцатой Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям, Congressus Numerantium , 194 : 263–264, MR 2463545

[ala-10] Доказательства, которые действительно имеют значение: искусство комбинаторного доказательства , Американская библиотечная ассоциация , получено 7 февраля 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]