Неравенство Ремеза

В математике неравенство Ремеза , открытое советским математиком Евгением Яковлевичем Ремесом ( Ремез, 1936 ), дает оценку суп-норм некоторых полиномов, причем эта граница достигается с помощью полиномов Чебышева .

Неравенство

Пусть σ — произвольное фиксированное положительное число. Определим класс многочленов π _n ( σ ) как те многочлены p - й n степени, для которых

$|p(x)|\leq 1$

на некотором множестве меры ≥ 2, содержащемся в отрезке [−1, 1+ σ ]. Тогда неравенство Ремеза утверждает, что

$\sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }$

где T _n ( x ) — полином Чебышева степени n , а верхняя норма берется на интервале [−1, 1+ σ ].

Заметим, что T _n возрастает $[1,+\infty ]$, следовательно

$\|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).$

Из Ri в сочетании с оценкой полиномов Чебышева следует следующее следствие: если J ⊂ R — конечный интервал, а E ⊂ J — произвольное измеримое множество, то

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq \left({\frac {4\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E}}\right)^{n}\sup _{x\in E}|p(x)|$ ( ⁎ )

для любого многочлена p степени n .

Расширения: лемма Назарова – Турана.

Неравенства, подобные ( ⁎ ), были доказаны для разных классов функций и известны как неравенства типа Ремеза. Одним из важных примеров является Назаров неравенство Назарова для экспоненциальных сумм ( 1993 ):

Nazarov's inequality . Let

$p(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k}x}$

— экспоненциальная сумма (с произвольным λk _J ∈ C ), и пусть ⊂ R — конечный интервал, E ⊂ J — произвольное измеримое множество. Затем

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,$

где C > 0 — числовая константа.

В частном случае, когда λ _k являются чисто мнимыми и целыми числами, а подмножество E само является интервалом, неравенство было доказано Палом Тураном и известно как лемма Турана.

Это неравенство распространяется и на $L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2$ следующим образом

$\|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1){\textrm {mes}}(\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}$

для некоторого A >0, независимого от p , E и n . Когда

$\mathrm {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}$

аналогичное неравенство справедливо и для p > 2. При p =∞ существует расширение до многомерных полиномов.

Proof: Applying Nazarov's lemma to $E=E_{\lambda }=\{x\,:\ |p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0$ приводит к

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda$

таким образом

${\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq C\,\,{\textrm {mes}}J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}$

Теперь исправим набор $E$ и выбери $\lambda$ такой, что ${\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}{\textrm {mes}}E$, то есть

$\lambda =\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|$

Обратите внимание, что это подразумевает:

1. ${\textrm {mes}}E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}{\textrm {mes}}E.$
2. $\forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .$

Сейчас

${\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}{\textrm {mes}}E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\textrm {mes}}E\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {{\textrm {mes}}E}{{\textrm {mes}}J}}\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}$

что завершает доказательство.

Неравенство пеленания

Одним из следствий Ri является неравенство Полиа , которое было доказано Джорджем Полиа ( Pólya 1928 ), и утверждает, что мера Лебега множества подуровней многочлена p степени n ограничена в терминах старшего коэффициента. LC( p ) следующим образом:

${\textrm {mes}}\left\{x\in \mathbb {R} :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.$

Ссылки

• Ремез, Э.Дж. (1936). «О свойстве полиномов Чебышева». Комм. Инст. наук. Харьков . 13 :93–95.
• Божанов, Б. (май 1993 г.). «Элементарное доказательство неравенства Ремеза». Американский математический ежемесячник . 100 (5). Математическая ассоциация Америки: 483–485. дои : 10.2307/2324304 . JSTOR   2324304 .
• Фонтес-Мерц, Н. (2006). «Многомерная версия леммы Турана» . Журнал теории приближения . 140 (1): 27–30. дои : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• Назаров, Ф. (1993). «Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности». Алгебра и анализ . 5 (4): 3–66.
• Назаров, Ф. (2000). «Полная версия леммы Турана для тригонометрических полиномов на единичной окружности». Комплексный анализ, операторы и смежные темы . 113 : 239–246. дои : 10.1007/978-3-0348-8378-8_20 . ISBN  978-3-0348-9541-5 .
• Полиа, Г. (1928). «Вклад в обобщение теоремы искажения на многосвязные области». Отчеты о совещании Акад. Берлин : 280–282.