Формула Ландауэра

В мезоскопической физике используется формула Ландауэра — названная в честь Рольфа Ландауэра , впервые предложившего ее прототип в 1957 году. ^[1]— формула, связывающая электрическое сопротивление квантового проводника с рассеивающими свойствами проводника. ^[2] Это эквивалент закона Ома для мезоскопических цепей с пространственными размерами порядка или меньше длины фазовой когерентности носителей заряда ( электронов и дырок ). В металлах длина фазовой когерентности составляет порядка микрометра при температурах менее 1 К. ^[3]

Описание

В простейшем случае, когда система имеет только два вывода и матрица рассеяния проводника не зависит от энергии, формула имеет вид

G(\mu )=G_{0}\sum _{n}T_{n}(\mu )\ ,

где $G$ это электропроводность, $G_{0}=e^{2}/(\pi \hbar )\approx 7.75\times 10^{-5}\Omega ^{-1}$ – квант проводимости , $T_{n}$ — передачи собственные значения каналов , а сумма пробегает все транспортные каналы в проводнике. Эта формула очень проста и физически разумна: проводимость наноразмерного проводника определяется суммой всех возможностей передачи, которые имеет электрон при распространении с энергией, равной химическому потенциалу . $E=\mu$ . ^[4]

Несколько терминалов

Обобщением формулы Ландауэра для нескольких терминалов является формула Ландауэра – Бюттикера , ^[5]^[4] предложено Маркусом Бюттикером [ де ] . Если терминал $j$ имеет напряжение $V_{j}$ (то есть его химический потенциал равен $eV_{j}$ и отличается от терминала $i$ химический потенциал) и $T_{i,j}$ представляет собой сумму вероятностей передачи от терминала $i$ к терминалу $j$ (Обратите внимание, что $T_{i,j}$ может быть равным или не равным $T_{j,i}$ в зависимости от наличия магнитного поля), чистый ток на выходе из клеммы $i$ является

I_{i}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}\sum _{j}\left(T_{j,i}V_{i}-T_{i,j}V_{j}\right)

В случае системы с двумя терминалами симметрия контактного сопротивления дает

\sum _{i\neq j}T_{ij}=\sum _{i\neq j}T_{ji}

и обобщенную формулу можно переписать в виде

I_{i}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}\sum _{i\neq j}T_{ji}(V_{i}-V_{j})

что приводит нас к

I_{1}={\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}T_{12}(V_{1}-V_{2})=-I_{2}=-{\frac {e^{2}}{2\pi \hbar }}T_{21}(V_{2}-V_{1})

откуда следует, что матрица рассеяния системы с двумя терминалами всегда симметрична, даже при наличии магнитного поля. Изменение направления магнитного поля изменит только направление распространения краевых состояний, не влияя на вероятность передачи.

Пример

Трехконтактная система для транспорта электронов

Например, в трехконтактной системе чистый ток, выходящий из контакта 1, можно записать как

I_{1}=\left((T_{21}+T_{31})V_{1}-T_{12}V_{2}-T_{13}V_{3}\right)

Какие носители выходят из контакта 1 с потенциалом $V_{1}$ из чего вычитаем носители с контактов 2 и 3 с потенциалами $V_{2}$ и $V_{3}$ соответственно, вступая в контакт 1.

В отсутствие приложенного магнитного поля обобщенное уравнение было бы результатом применения закона Кирхгофа к системе проводимости. $G_{ij}=(e^{2})/(2\pi \hbar )T_{ij}$ . Однако в присутствии магнитного поля симметрия обращения времени будет нарушена и, следовательно, $T_{ij}\neq T_{ji}$ .

При наличии в системе более двух терминалов симметрия двух терминалов нарушается. В приведенном ранее примере $T_{21}\neq T_{32}+T_{13}$ . Это связано с тем, что терминалы «перерабатывают» поступающие электроны, для которых фазовая когерентность теряется, когда другой электрон испускается в сторону терминала 1. Однако, поскольку носители движутся через краевые состояния, можно видеть, что $T_{21}^{B}=T_{12}^{-B}$ даже при наличии третьего терминала. Это связано с тем, что при инверсии магнитного поля краевые состояния просто меняют ориентацию своего распространения. Это особенно верно, если клемму 3 использовать в качестве идеального потенциального зонда.

См. также

Ссылки

^ Ландауэр, Р. (1957). «Пространственное изменение токов и полей из-за локализованных рассеивателей в металлической проводимости». Журнал исследований и разработок IBM . 1 (3): 223–231. дои : 10.1147/рд.13.0223 .
^ Nazarov, Y. V.; Blanter, Ya. M. (2009). Quantum transport: Introduction to Nanoscience . Cambridge University Press. pp. 29–41. ISBN 978-0521832465 .
^ Аккерманс, Эрик; Монтамбо, Жиль, ред. (2007), «Введение: мезоскопическая физика» , Мезоскопическая физика электронов и фотонов , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 1–30, ISBN 978-0-521-85512-9 , получено 25 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Бюттикер, М. (1990). «Квантованная передача седлового сужения». Физический обзор B . 41 (11): 7906–7909. дои : 10.1103/PhysRevB.41.7906 .
^ Бествик, Эндрю Дж. (2015). Квантовый краевой транспорт в топологических изоляторах (Диссертация). Стэнфордский университет.

[1] Ландауэр, Р. (1957). «Пространственное изменение токов и полей из-за локализованных рассеивателей в металлической проводимости». Журнал исследований и разработок IBM . 1 (3): 223–231. дои : 10.1147/рд.13.0223 .

[2] Nazarov, Y. V.; Blanter, Ya. M. (2009). Quantum transport: Introduction to Nanoscience . Cambridge University Press. pp. 29–41. ISBN 978-0521832465 .

[3] Аккерманс, Эрик; Монтамбо, Жиль, ред. (2007), «Введение: мезоскопическая физика» , Мезоскопическая физика электронов и фотонов , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 1–30, ISBN 978-0-521-85512-9 , получено 25 апреля 2024 г.

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Бюттикер, М. (1990). «Квантованная передача седлового сужения». Физический обзор B . 41 (11): 7906–7909. дои : 10.1103/PhysRevB.41.7906 .

[5] Бествик, Эндрю Дж. (2015). Квантовый краевой транспорт в топологических изоляторах (Диссертация). Стэнфордский университет.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]