Выборочная энтропия

Выборочная энтропия (SampEn) — это модификация приблизительной энтропии (ApEn), используемая для оценки сложности физиологических сигналов временного ряда , диагностики болезненных состояний. SampEn имеет два преимущества перед ApEn: независимость от длины данных и относительно беспроблемную реализацию. Кроме того, есть небольшая вычислительная разница: в ApEn сравнение вектора шаблона (см. ниже) с остальными векторами также включает сравнение с самим собой. Это гарантирует, что вероятности $C_{i}'^{m}(r)$ никогда не равны нулю. Следовательно, всегда можно логарифмировать вероятности. Поскольку сравнение шаблонов с самим собой снижает значения ApEn, сигналы интерпретируются как более регулярные, чем они есть на самом деле. Эти совпадения не включены в SampEn. Однако, поскольку SampEn напрямую использует корреляционные интегралы, это не реальная мера информации, а приближение. Основы и различия с ApEn, а также пошаговое руководство по его применению доступны по адресу.

Существует также многомасштабная версия SampEn, предложенная Костой и другими. SampEn можно использовать в биомедицинских и биомеханических исследованиях, например, для оценки постурального контроля.

Определение

Как и приблизительная энтропия (ApEn), выборочная энтропия ( SampEn ) является мерой сложности . Но он не включает в себя самоподобные шаблоны, как это делает ApEn. Для заданного встраивания размера $m$, толерантность $r$ и количество точек данных $N$, SampEn — это отрицательный натуральный логарифм вероятности того , что если два набора одновременных точек данных длиной $m$ иметь дистанцию $<r$ затем два набора одновременных точек данных длиной $m+1$ также есть расстояние $<r$. И мы представляем это $SampEn(m,r,N)$ (или через $SampEn(m,r,\tau ,N)$ включая время выборки $\tau$).

Теперь предположим, что у нас есть набор данных временных рядов длиной $N={\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{N}\}}$ с постоянным интервалом времени $\tau$. Определим шаблонный вектор длины $m$, такой, что $X_{m}(i)={\{x_{i},x_{i+1},x_{i+2},...,x_{i+m-1}\}}$ и функция расстояния $d[X_{m}(i),X_{m}(j)]$ (i≠j) должно быть расстоянием Чебышева (но это может быть любая функция расстояния, включая евклидово расстояние). Мы определяем выборочную энтропию как

$SampEn=-\ln {A \over B}$

Где

$A$ = количество пар векторов шаблона, имеющих $d[X_{m+1}(i),X_{m+1}(j)]<r$

$B$ = количество пар векторов шаблона, имеющих $d[X_{m}(i),X_{m}(j)]<r$

Из определения ясно, что $A$ всегда будет иметь значение меньшее или равное $B$. Поэтому, $SampEn(m,r,\tau )$ всегда будет либо нулевым, либо положительным значением. Меньшее значение $SampEn$ также указывает на большее самоподобие набора данных или меньший шум.

Обычно мы принимаем значение $m$ быть $2$ и ценность $r$ быть $0.2\times std$. Где std означает стандартное отклонение , которое следует учитывать для очень большого набора данных. Например, значение r, равное 6 мс, подходит для расчета выборочной энтропии интервалов сердечного ритма, поскольку это соответствует $0.2\times std$ для очень большого населения.

Многомасштабная выборка

Упомянутое выше определение представляет собой частный случай многомасштабной выборки с $\delta =1$, где $\delta$ называется пропуском параметра. В мультимасштабном шаблоне SampEn векторы шаблонов определяются с определенным интервалом между его элементами, заданным значением $\delta$. И модифицированный вектор шаблона определяется как $X_{m,\delta }(i)={x_{i},x_{i+\delta },x_{i+2\times \delta },...,x_{i+(m-1)\times \delta }}$ и sampEn можно записать как $SampEn\left(m,r,\delta \right)=-\ln {A_{\delta } \over B_{\delta }}$ И мы рассчитываем $A_{\delta }$ и $B_{\delta }$ как раньше.

Выполнение

Демонстрационная энтропия может быть легко реализована на многих различных языках программирования. Ниже приведен пример, написанный на Python.

from itertools import combinations
from math import log


def construct_templates(timeseries_data: list, m: int = 2):
    num_windows = len(timeseries_data) - m + 1
    return [timeseries_data[x : x + m] for x in range(0, num_windows)]


def get_matches(templates: list, r: float):
    return len(
        list(filter(lambda x: is_match(x[0], x[1], r), combinations(templates, 2)))
    )


def is_match(template_1: list, template_2: list, r: float):
    return all([abs(x - y) < r for (x, y) in zip(template_1, template_2)])


def sample_entropy(timeseries_data: list, window_size: int, r: float):
    B = get_matches(construct_templates(timeseries_data, window_size), r)
    A = get_matches(construct_templates(timeseries_data, window_size + 1), r)
    return -log(A / B)

Пример, написанный на других языках, можно найти:

• Матлаб
• Р. ​
• Ржавчина

См. также

• Колмогоровская сложность
• Приблизительная энтропия