Бесконечно близкая точка
В алгебраической геометрии бесконечно близкая точка алгебраической поверхности S — это точка на поверхности, полученная из S путем многократного раздутия точек. Бесконечно близкие точки алгебраических поверхностей были введены Максом Нётером ( 1876 ). [1]
Есть и другие значения слова «бесконечно близкая точка». Бесконечно близкие точки также могут быть определены для многообразий более высокой размерности: есть несколько неэквивалентных способов сделать это, в зависимости от того, что можно раздуть. Вейль дал определение бесконечно близких точек гладких многообразий: [2] хотя это не то же самое, что бесконечно близкие точки в алгебраической геометрии.В линии гипердействительных чисел , являющейся продолжением линии действительных чисел , две точки называются бесконечно близкими, если их разность бесконечно мала .
Определение [ править ]
Когда раздутие применяется к точке P на поверхности S , новая поверхность S * содержит целую кривую C там, где P. раньше была Точки C имеют геометрическую интерпретацию как касательные P к S. направления Их можно назвать бесконечно близкими к P как способ их визуализации на S , а не на S *. В более общем смысле эту конструкцию можно повторять, расширяя точку на новой кривой C и так далее.
Бесконечно близкая точка порядка n ) Pn таких поверхности S0 на задаётся последовательностью точек P0 , , P1 , ,... на ( поверхностях S0 , , S1 , ... Sn что Pn что Si в дается раздутием Si –1 , точке Pi –1 с а Pi – поверхности Si это изображением Pi –1 точка .
В частности, точки поверхности S являются бесконечно близкими точками на S порядка 0.
Бесконечно близкие точки соответствуют 1-мерным нормировкам функционального поля S с 0-мерным центром и, в частности, соответствуют некоторым точкам поверхности Зарисского–Римана . Одномерные оценки с одномерным центром соответствуют неприводимым кривым S. ) Также возможно повторять конструкцию бесконечно часто, создавая бесконечную последовательность , ( P1 , P0 ... бесконечно близких точек. Эти бесконечные последовательности соответствуют 0-мерным нормировкам функционального поля поверхности, которые соответствуют «0-мерным» точкам поверхности Зарисского–Римана .
Приложения [ править ]
Если C и D — различные неприводимые кривые на гладкой поверхности S, пересекающиеся в точке p , то кратность их пересечения в точке p определяется выражением
где m x ( C ) кратность C в точке x . В общем случае это больше, чем m p ( C ) m p ( D ), если C и D имеют общую касательную линию в точке x, так что они также пересекаются в бесконечно близких точках порядка больше 0, например, если C является линией y. = 0, а D — парабола y = x 2 и р = (0,0).
Род C определяется выражением
где N — нормализация C а m x — кратность бесконечно близкой точки x на C. ,
Ссылки [ править ]
- ^ Бесконечно близкие точки на алгебраических поверхностях , Джино Туррин, Американский журнал математики , Vol. 74, № 1 (январь 1952 г.), стр. 100–106.
- ^ [4] Вейль, А., Теория процессов точек сур les variétés Differentielles , Colloque de Topologie et Geometrie Diferentielle, Страсбург, 1953, 111–117; в его Сборнике статей II. В примечаниях к газете указывается, что этот проект был отвергнут группой Бурбаки . Вейль ссылается на подход Пьера де Ферма к исчислению, а также на струи Шарля Эресмана . Более подробное рассмотрение см. в О. О. Лучиано, Категории мультипликативных функторов и бесконечно близкие точки Вейля , Nagoya Math. J. 109 (1988), 69–89 (онлайн здесь ) для полного обсуждения.
- Нётер, М. (1876), «О системах сингулярных значений алгебраической функции и особых точках алгебраической кривой», Mathematical Annals , 9 (2): 166–182, doi : 10.1007/BF01443372 , S2CID 120376948