Уравнение пористой среды

Уравнение пористой среды , также называемое нелинейным уравнением теплопроводности , представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, имеющее вид:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta \left(u^{m}\right),\quad m>1$

где $\Delta$ — оператор Лапласа . Его также можно представить в эквивалентной форме дивергенции: $${\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(u)\nabla u\right]$$где $D(u)=mu^{m-1}$ можно интерпретировать как коэффициент диффузии и $\nabla \cdot (\cdot )$ — оператор дивергенции .

Решения

Несмотря на то, что уравнение пористой среды является нелинейным, его можно точно решить, используя разделение переменных или решение по подобию . Однако известно, что решение разделения переменных стремится к бесконечности за конечное время.

Решение подобия Баренблатта-Компанеца-Зельдовича

Подход подобия к решению уравнения пористой среды был использован Баренблаттом. и Компанеец/ Зельдович , для чего $x\in \mathbb {R} ^{n}$ было найти решение, удовлетворяющее: $$u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}v\left({x \over {t^{\beta }}}\right),\quad t>0$$для какой-то неизвестной функции $v$ и неизвестные константы $\alpha ,\beta$. Окончательное решение уравнения пористой среды при таком масштабировании выглядит следующим образом: $$u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}\left(b-{m-1 \over {2m}}\beta {\|x\|^{2} \over {t^{2\beta }}}\right)_{+}^{1 \over {m-1}}$$где $\|\cdot \|^{2}$ это $\ell ^{2}$- норма , $(\cdot )_{+}$ – положительная часть , а коэффициенты определяются по формуле: $$\alpha ={n \over {n(m-1)+2}},\quad \beta ={1 \over {n(m-1)+2}}$$

Приложения

Было обнаружено, что уравнение пористой среды имеет ряд применений в потоке газа, теплопередаче и потоке грунтовых вод.

Поток газа

Название уравнения пористой среды происходит от его использования при описании течения идеального газа в однородной пористой среде. Нам нужны три уравнения, чтобы полностью определить плотность среды. $\rho$, поле скорости потока ${\bf {v}}$, и давление $p$: уравнение неразрывности сохранения массы ; закон Дарси для течения в пористой среде; идеального газа и уравнение состояния . Эти уравнения суммированы ниже: $${\begin{aligned}\varepsilon {\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})&({\text{Conservation of mass}})\\{\bf {v}}&=-{k \over {\mu }}\nabla p&({\text{Darcy's law}})\\p&=p_{0}\rho ^{\gamma }&({\text{Equation of state}})\end{aligned}}$$где $\varepsilon$ это пористость , $k$ - проницаемость среды, $\mu$ – динамическая вязкость , а $\gamma$ — показатель политропы (равный коэффициенту теплоемкости для изэнтропических процессов ). Предполагая постоянные пористость, проницаемость и динамическую вязкость, дифференциальное уравнение в частных производных для плотности имеет вид: $${\partial \rho \over {\partial t}}=c\Delta \left(\rho ^{m}\right)$$где $m=\gamma +1$ и $c=\gamma kp_{0}/(\gamma +1)\varepsilon \mu$.

Теплопередача

Используя закон теплопроводности Фурье , общее уравнение изменения температуры в среде за счет проводимости имеет вид: $$\rho c_{p}{\partial T \over {\partial t}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)$$где $\rho$ плотность среды, $c_{p}$ - теплоемкость при постоянном давлении , а $\kappa$ это теплопроводность . Если теплопроводность зависит от температуры по степенному закону: $$\kappa =\alpha T^{n}$$Тогда уравнение теплопередачи можно записать в виде уравнения пористой среды: $${\partial T \over {\partial t}}=\lambda \Delta \left(T^{m}\right)$$с $m=n+1$ и $\lambda =\alpha /\rho c_{p}m$. Теплопроводность высокотемпературной плазмы , по-видимому, подчиняется степенному закону.

См. также

• Уравнение диффузии
• Пористая среда

Внешние ссылки

• Уравнение пористой среды: математическая теория