Прямое моделирование Монте-Карло

Метод прямого моделирования Монте-Карло ( DSMC ) использует вероятностное Монте-Карло моделирование для решения уравнения Больцмана для с конечным числом Кнудсена потоков жидкости .

Метод DSMC был предложен Грэмом Бердом. ^[1]^[2]^[3] почетный профессор аэронавтики Сиднейского университета. DSMC — это численный метод моделирования потоков разреженного газа, в котором длина свободного пробега молекулы того же порядка (или больше), чем репрезентативный физический масштаб длины (т. е. число Кнудсена Kn больше 1). В сверхзвуковых и гиперзвуковых потоках разрежение характеризуется параметром Циена, который эквивалентен произведению числа Кнудсена на число Маха (КнМ) или М. $^{2}$ /Re, где Re — число Рейнольдса. ^[4]^[5] В этих разреженных потоках уравнения Навье-Стокса могут быть неточными. Метод DSMC был расширен для моделирования непрерывных потоков (Kn <1), и результаты можно сравнить с решениями Навье-Стокса.

Метод DSMC моделирует потоки жидкости, используя вероятностное моделирование молекул для решения уравнения Больцмана . Молекулы перемещаются через моделирование физического пространства реалистичным образом, который напрямую связан с физическим временем, так что можно моделировать характеристики нестационарного потока. Межмолекулярные столкновения и столкновения молекул с поверхностью рассчитываются с использованием вероятностных феноменологических моделей . Общие молекулярные модели включают модель твердой сферы, модель переменной твердой сферы (VHS) и модель переменной мягкой сферы (VSS). Различные модели столкновений представлены в. ^[6]

В настоящее время метод DSMC применяется для решения различных течений: от оценки аэродинамики спуска космического корабля "Шаттл" до моделирования микроэлектромеханических систем (МЭМС).

Алгоритм ДСМЦ

Алгоритм прямого моделирования Монте-Карло подобен молекулярной динамике в том смысле, что состояниесистема задается положениями и скоростямичастицы, $\{\mathbf {r} _{i},{\textbf {v}}_{i}\}$ , для $i=1,\ldots ,N$ . В отличие от молекулярной динамики, каждая частица в моделировании DSMC представляет собой $F_{N}$ молекулы вфизическая система, имеющая примерно одинаковое положение и скорость. Это позволяет DSMC масштабировать длину и время для моделирования макроскопических систем (например, входа в атмосферу ). В частности, системный том $V=(NF_{N})/n$ , где $n$ это числоплотность, и каждое столкновение между частицами моделирования представляет собой $F_{N}$ столкновениясреди молекул физической системы.Как правило, на одну кубическую длину свободного пробега должно приходиться 20 или более частиц.для точных результатов. ^{[ нужна ссылка ]}

Эволюция системы интегрирована во временные этапы, $\tau$ , которыеобычно порядка среднего времени столкновения частицы. На каждом временном шаге все частицы перемещаются, а затем сталкивается случайный набор пар.В отсутствие внешних полей (например, гравитации) частицы движутся баллистически по закону $\mathbf {r} _{i}(t+\tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau$ .Положение и скорость любой частицы, достигшей границы или поверхности, соответствующим образом сбрасываются.(например, периодические граничные условия ).После того, как все частицы переместились, они сортируются по ячейкам и некоторые случайным образом выбираются для столкновения.на основе вероятностей и частот столкновений, полученных из кинетической теории газов .После обнуления скоростей всех сталкивающихся частиц выполняется статистическая выборка, а затемпроцесс повторяется для следующего временного шага.

Столкновения

На каждом временном шаге частицы сортируются по пространственным ячейкам и только частицы в одной ячейкеразрешено сталкиваться. Обычно размер ячейки не превышает длину свободного пробега.Все пары частиц в ячейке являются кандидатами в партнеры по столкновению, независимо от их реальных траекторий.

Детали расчета столкновений в DSMC зависят от модели молекулярного взаимодействия;здесь мы берем модель твердых сфер , которая является самой простой.В модели твердых сфер вероятность столкновения пары частиц $i$ и $j$ , являетсяпропорциональна их относительной скорости, $P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \over {\sum _{m=1}^{N_{\mathrm {c} }}\sum _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}$ где $N_{\mathrm {c} }$ — количество частиц в ячейке, а суммирование ведется по частицам внутри ячейки.Из-за двойной суммы в знаменателе непосредственное использование этой вероятности столкновения может оказаться дорогостоящим в вычислительном отношении. следующую схему выборки отклонения Вместо этого для выбора пар коллизий можно использовать :

Пара частиц-кандидатов, $i$ и $j$ , выбирается случайным образом, а их относительная скорость, $v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|$ , вычисляется.
Пара принимается в качестве партнеров по столкновению, если $v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re$ , где $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ - максимальная относительная скорость в ячейке и $\Re$ является равномерным отклонением в [0, 1).
Если пара принята, коллизия обрабатывается; скорости частиц сбрасываются, но положения остаются неизменными.
После обработки коллизии или отклонения пары вернитесь к шагу 1.

Эта процедура правильна, даже если значениеиз $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ завышена, хотя и менее эффективнав том смысле, что отклоняется больше кандидатов.

После выбора пары столкновений их скорости после столкновения $\mathbf {v} _{i}^{*}$ и $\mathbf {v} _{j}^{*}$ , оцениваются.Записывая относительную скорость через сферические углы , $\theta$ и $\phi$ $\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]$ эти углы выбираются методом Монте-Карло с распределениями, заданными моделью столкновений.Для модели твердых сфер эти углы равномерно распределены по единичной сфере . Азимутальный угол равномерно распределен между 0 и $2\pi$ , поэтому он выбран как $\phi =2\pi \Re _{1}$ где $\Re _{1}$ является равномерным отклонением в [0, 1).Полярный угол распределяется согласно плотности вероятности: $P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta$ Используя замену переменной $q=-\cos \theta$ , у нас есть $P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq$ так $-\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1$ Скорости после столкновения задаются как $\mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}$ Обратите внимание, что в силу сохранения погонного импульса и энергии скорость центра масси относительная скорость при столкновении не меняются. То есть, $\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}$ и $v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}$ Этот процесс повторяется для каждой пары сталкивающихся частиц.

Судя по частоте столкновений, $f_{\mathrm {coll} }$ , учитывая кинетическую теорию, общееколичество столкновений твердых сфер в ячейке за время $\tau$ является $M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$ где $d$ - диаметр частиц и $V_{\mathrm {c} }$ это объём клетки. Поскольку кандидаты на столкновение проходят процедуру отбраковки отношение общего числа принятых к общему числу кандидатов на частицы твердых сфер равно ${{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}$ Количество кандидатов на столкновение, выбранных в ячейке за временной шаг $\tau$ является $M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$ Этот подход к определению количества коллизий известен как метод без счетчика времени (NTC).Если $v_{\mathrm {r} }^{\max }$ установлено слишком высокое значение, то алгоритм обрабатывает такое же количество коллизий (в среднем)но моделирование неэффективно, поскольку многие кандидаты отклоняются.

Ссылки

^ Берд, Джорджия (1963). «Подход к поступательному равновесию в твердом сферическом газе». Физика жидкостей . 6 (10): 1518–1519. Бибкод : 1963PhFl....6.1518B . дои : 10.1063/1.1710976 .
^ Г. А. Берд, Динамика молекулярного газа , Clarendon Press, Оксфорд (1976) ^{[ нужна страница ]}
^ Г. А. Берд, Молекулярная газовая динамика и прямое моделирование газовых потоков , Clarendon Press, Оксфорд (1994) ^{[ нужна страница ]}
^ Цянь, Сюэ-Шен (1946). «Супераэродинамика, механика разреженных газов». Журнал авиационных наук . 13 (12): 653–64. дои : 10.2514/8.11476 .
^ М. Н. Макроссан, «Параметры масштабирования гиперзвукового потока: корреляция данных о сопротивлении сферы» . В: М. С. Иванов и А. К. Ребров, 25-й Международный симпозиум по динамике разреженных газов , Сибирское отделение РАН, стр.759 (2007).
^ Рухи, Э.; Стефанов, С. (2016). «Схемы выбора партнера по столкновению в DSMC: от микро/нанопотоков к гиперзвуковым потокам». Отчеты по физике . 656 (1): 1–38. Бибкод : 2016ФР...656....1Р . дои : 10.1016/j.physrep.2016.08.002 .

Внешние ссылки

Метод прямого моделирования Монте-Карло: программы визуального моделирования, созданные Г. А. Бердом .
Демо-апплет DSMC, автор Грег Ханларов
Материал курса по DSMC (часть учебника по вычислительной физике Франца Й. Веселы, Венский университет)
Материал курса по DSMC и последним разработкам (представлен в IPAM UCLA Лоренцо Парески, Университет Феррары)

[1] Берд, Джорджия (1963). «Подход к поступательному равновесию в твердом сферическом газе». Физика жидкостей . 6 (10): 1518–1519. Бибкод : 1963PhFl....6.1518B . дои : 10.1063/1.1710976 .

[2] Г. А. Берд, Динамика молекулярного газа , Clarendon Press, Оксфорд (1976) ^{[ нужна страница ]}

[3] Г. А. Берд, Молекулярная газовая динамика и прямое моделирование газовых потоков , Clarendon Press, Оксфорд (1994) ^{[ нужна страница ]}

[4] Цянь, Сюэ-Шен (1946). «Супераэродинамика, механика разреженных газов». Журнал авиационных наук . 13 (12): 653–64. дои : 10.2514/8.11476 .

[5] М. Н. Макроссан, «Параметры масштабирования гиперзвукового потока: корреляция данных о сопротивлении сферы» . В: М. С. Иванов и А. К. Ребров, 25-й Международный симпозиум по динамике разреженных газов , Сибирское отделение РАН, стр.759 (2007).

[6] Рухи, Э.; Стефанов, С. (2016). «Схемы выбора партнера по столкновению в DSMC: от микро/нанопотоков к гиперзвуковым потокам». Отчеты по физике . 656 (1): 1–38. Бибкод : 2016ФР...656....1Р . дои : 10.1016/j.physrep.2016.08.002 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]