Богемский комплекс

Построение комплекса Чеха из набора точек, выбранных из круга.

В алгебраической топологии и анализе топологических данных комплекс Чеха представляет собой абстрактный симплициальный комплекс, построенный из облака точек в любом метрическом пространстве и предназначенный для сбора топологической информации об облаке точек или распределении, из которого оно получено. По конечному облаку точек X и ε > 0 построим комплекс Чеха ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)$ следующим образом: возьмите элементы X в качестве множества вершин ${\check {C}}_{\varepsilon }(X)$. Тогда для каждого $\sigma \subset X$, позволять $\sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)$ если множество ε -шаров с центрами в точках σ имеет непустое пересечение . Другими словами, комплекс Чеха — это множества ε - шаров с центрами в точках X. нерв По лемме о нерве комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров, также известному как фильтрация смещения .

Связь с комплексом Виеториса-Рипса

Комплекс Чех является подкомплексом комплекса Виеторис-Рипс . Хотя комплекс Чеха требует больше вычислительных затрат, чем комплекс Виеториса-Рипса, поскольку мы должны проверять пересечения шаров более высокого порядка в комплексе, теорема о нерве обеспечивает гарантию того, что комплекс Чеха гомотопически эквивалентен объединению шаров в комплексе. сложный. Комплекса Виеторис-Рипс может и не быть.

См. также

• Комплекс Виеторис-Рипс
• Топологический анализ данных
• Чешские когомологии
• Вычислительная геометрия
• Абстрактный симплициальный комплекс
• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология