Нулевой набор сильной меры
В анализе математическом набор нулей сильной меры [1] является подмножеством A вещественной линии со следующим свойством:
- для каждой последовательности (ε n ) положительных чисел существует последовательность ( I n ) интервалов такая, что | я н | < ε n для всех n и A содержится в объединении I n .
(Здесь | I n | обозначает длину интервала I n .)
Каждое счетное множество является множеством нулевой сильной меры, как и любое объединение счетного числа множеств нулевой сильной меры. Каждое множество нулевой меры сильной меры имеет меру Лебега 0. Множество Кантора является примером несчетного множества меры Лебега 0, которое не имеет сильной меры нуль. [2]
Бореля Гипотеза [1] утверждает, что каждое нулевое множество сильной меры счетно. Теперь известно, что это утверждение не зависит от ZFC (аксиомы Цермело – Френкеля теории множеств, которая является стандартной системой аксиом, принятой в математике). Это означает, что гипотеза Бореля не может быть ни доказана, ни опровергнута в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив ). Серпинский доказал в 1928 году, что гипотеза континуума (которая теперь также известна как независимая от ZFC) подразумевает существование несчетных множеств нулей сильной меры. [3] В 1976 году Лейвер использовал метод принуждения , чтобы построить модель ZFC, в которой верна гипотеза Бореля. [4] Эти два результата вместе доказывают независимость гипотезы Бореля.
В 1973 г. была доказана следующая характеризация множеств нулей сильной меры:
- Множество A ⊆ R имеет сильную меру нуль тогда и только тогда, когда A + M ≠ R для любого скудного множества M ⊆ R . [5]
Этот результат устанавливает связь с понятием сильно скудного множества , определяемым следующим образом:
- Множество M ⊆ R является сильно скудным тогда и только тогда, когда A + M ≠ R для любого множества A ⊆ R нулевой меры Лебега.
Двойственная гипотеза Бореля утверждает, что каждое сильно скудное множество счетно. Это утверждение также не зависит от ZFC. [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Борель, Эмиль (1919). «О классификации множеств меры нуль» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 47 : 97–125. дои : 10.24033/bsmf.996 .
- ^ Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Монографии Спрингера по математике (3-е изд.). Спрингер. п. 539. ИСБН 978-3540440857 .
- ^ Серпинский, В. (1928). «О несчетном множестве, каждый непрерывный образ которого имеет нулевую меру» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 11 (1): 302–4. дои : 10.4064/fm-11-1-302-303 .
- ^ Лейвер, Ричард (1976). «О непротиворечивости гипотезы Бореля» . Акта математика . 137 (1): 151–169. дои : 10.1007/BF02392416 .
- ^ Гэлвин, Ф.; Мисельски, Дж.; Соловей, Р.М. (1973). «Сильные меры нулевых множеств». Уведомления Американского математического общества . 26 .
- ^ Карлсон, Тимоти Дж. (1993). «Сильная мера нуль и сильно скудные множества» . Учеб. амер. Математика. Соц . 118 (2): 577–586. дои : 10.1090/s0002-9939-1993-1139474-6 . JSTOR 2160341 .