Функционал Мамфорда – Шаха

Функционал Мамфорда -Шаха — это функционал , который используется для установления критерия оптимальности сегментации изображения на подобласти. Изображение моделируется как кусочно-гладкая функция. Функционал штрафует расстояние между моделью и входным изображением, отсутствие плавности модели внутри субрегионов и длину границ субрегионов. Минимизируя функционал, можно вычислить наилучшую сегментацию изображения. Функционал был предложен математиками Дэвидом Мамфордом и Джаянтом Шахом в 1989 году.

Определение функционала Мамфорда–Шаха

Рассмотрим изображение I с областью определения D , назовем J моделью изображения и назовем B границами, связанными с моделью: функционал Мамфорда-Шаха E [ J , B ] определяется как

$E[J,B]=\alpha \int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\beta \int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int _{B}ds$

Оптимизация функционала может быть достигнута путем его аппроксимации другим функционалом, как это предложили Амбросио и Торторелли.

Минимизация функционала

Предел Амбросио – Торторелли

Амбросио и Торторелли показал, что функционал Мамфорда-Шаха E [ J , B ] может быть получен как предел семейства функционалов энергии E [ J , z ,ε ], где граница B заменяется непрерывной функцией z , величина которой указывает на наличие границы . Их анализ показывает, что функционал Мамфорда – Шаха имеет четко определенный минимум. Это также дает алгоритм оценки минимума.

Определяемые ими функционалы имеют следующий вид:

$E[J,z;\varepsilon ]=\alpha \int (I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\beta \int z({\vec {x}})|{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})|^{2}\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int \{\varepsilon |{\vec {\nabla }}z({\vec {x}})|^{2}+\varepsilon ^{-1}\phi ^{2}(z({\vec {x}}))\}\,\mathrm {d} {\vec {x}}$

где ε > 0 — (малый) параметр, а φ ( z ) — потенциальная функция. Два типичных выбора для φ ( z ):

• $\phi _{1}(z)=(1-z^{2})/2\quad z\in [-1,1].$ Этот выбор связывает множество ребер B с набором точек z таких, что φ ₁ ( z ) ≈ 0
• $\phi _{2}(z)=z(1-z)\quad z\in [0,1].$ Этот выбор связывает множество ребер B с набором точек z таких, что φ ₂ ( z ) ≈ 1/4

Нетривиальным шагом в их выводе является доказательство того, что, как $\epsilon \to 0$, последние два члена энергетической функции (т.е. последний интегральный член энергетического функционала) сходятся к интегралу множества ребер ∫ _B d s .

Функционал энергии E [ J , z ,ε] можно минимизировать методами градиентного спуска , гарантируя сходимость к локальному минимуму.

Амбросио , Фуско и Хатчинсон установили результат, позволяющий дать оптимальную оценку хаусдорфовой размерности сингулярного набора минимизаторов энергии Мамфорда-Шаха.

Минимизация путем разбиения на одномерные задачи

Функционал Мамфорда-Шаха можно разбить на связанные одномерные подзадачи. Подзадачи решаются именно путем динамического программирования.

См. также

• Ограниченная вариация
• Набор Каччиопполи
• Цифровая обработка изображений
• Луиджи Амбросио

Ссылки

• Камилло, Де Леллис ; Фокарди, Маттео; Руффини, Берардо (октябрь 2013 г.), «Заметка о хаусдорфовой размерности сингулярного множества для минимизаторов энергии Мамфорда – Шаха», Advances in Calculus of Variation , 7 (4): 539–545, arXiv : 1403.3388 , doi : 10.1515/acv-2013-0107 , ISSN   1864-8258 , S2CID   2040612 , Збл   1304.49091
• Амбросио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Хатчинсон, Джон Э. (2003), «Высшая интегрируемость градиента и размерность сингулярного множества для минимизаторов функционала Мамфорда-Шаха», Вариационное исчисление и уравнения с частными производными , 16 (2): 187–215, doi : 10.1007/s005260100148 , S2CID   55078333 , Збл   1047.49015
• Амбросио, Луиджи ; Торторелли, Винченцо Мария (1990), «Приближение функционалов, зависящих от скачков, эллиптическими функционалами посредством Γ-сходимости», Communications on Pure and Applied Mathematics , 43 (8): 999–1036, doi : 10.1002/cpa.3160430805 , MR   1075076 , Збл   0722.49020
• Амбросио, Луиджи ; Фуско, Никола ; Паллара, Диего (2000). Функции ограниченной вариации и задачи свободного разрыва . Оксфордские математические монографии. Нью-Йорк: Clarendon Press, Oxford University Press . стр. 434 . ISBN  9780198502456 . Збл   0957.49001 .
• Мамфорд, Дэвид ; Шах, Джаянт (1989), «Оптимальные приближения кусочно-гладкими функциями и связанные с ними вариационные проблемы» (PDF) , Сообщения по чистой и прикладной математике , XLII (5): 577–685, doi : 10.1002/cpa.3160420503 , MR   0997568 , Збл   0691.49036

• Хом, Килиан; Сторат, Мартин; Вайнманн, Андреас (2015), «Алгоритмическая основа для регуляризации Мамфорда-Шаха обратных задач обработки изображений» (PDF) , Inverse Issues , 31 (11): 115011, Bibcode : 2015InvPr..31k5011H , doi : 10.1088/0266-5611/31/11/115011 , S2CID   15365352