Магнитогидродинамическая турбулентность

Магнитогидродинамическая турбулентность относится к хаотическим режимам магнитной жидкости течения при высоких числах Рейнольдса . Магнитогидродинамика (МГД) изучает квазинейтральную жидкость с очень высокой проводимостью . Приближение жидкости подразумевает, что основное внимание уделяется макромасштабам длины и времени, которые намного больше, чем длина и время столкновения соответственно.

Уравнения несжимаемой МГД

Уравнения МГД несжимаемой жидкости для постоянной массовой плотности: $\rho =1$ , являются

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{aligned}}

где

$u$ представляет скорость,
$B$ представляет магнитное поле,
$p$ представляет общее давление (тепловое + магнитное) поля,
$\nu$ - кинематическая вязкость и
$\eta$ представляет магнитную диффузию .

Третье уравнение представляет собой условие несжимаемости . В приведенном выше уравнении магнитное поле выражается в альфвеновских единицах (так же, как и единицы скорости).

Общее магнитное поле можно разделить на две части: $\mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b}$ (среднее значение + колебания).

Приведенные выше уравнения в терминах переменных Эльзессера ( $\mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b}$ ) являются

{\frac {\partial {\mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }

где $\nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )$ . Между альфвеновскими флуктуациями происходят нелинейные взаимодействия. $z^{\mp }$ .

Важными безразмерными параметрами МГД являются

{\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds number  }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetic Reynolds number  }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{\text{Magnetic Prandtl number  }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}

Магнитное число Прандтля является важным свойством жидкости. Жидкие металлы имеют малые магнитные числа Прандтля, например, жидкий натрий. $P_{M}$ вокруг $10^{-5}$ . Но плазма имеет большие $P_{M}$ .

Число Рейнольдса - это отношение нелинейного члена $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ уравнения Навье–Стокса к вязкому члену. В то время как магнитное число Рейнольдса представляет собой соотношение нелинейного члена и диффузионного члена уравнения индукции.

Во многих практических ситуациях число Рейнольдса $Re$ поток довольно велик. Для таких течений скорость и магнитные поля обычно случайны. Такие течения призваны проявлять МГД-турбулентность. Обратите внимание, что $Re_{M}$ для МГД-турбулентности не обязательно должно быть большим. $Re_{M}$ играет важную роль в проблеме динамо (генерации магнитного поля).

Среднее магнитное поле играет важную роль в МГД-турбулентности, например, оно может сделать турбулентность анизотропной; подавляют турбулентность за счет уменьшения каскада энергии и т. д. Более ранние модели МГД-турбулентности предполагали изотропность турбулентности, тогда как более поздние модели изучали анизотропные аспекты. В следующих обсуждениях будут обобщены эти модели. Дополнительные обсуждения МГД-турбулентности можно найти у Бискампа, ^[1] Верма. ^[2] и Галтье.

Изотропные модели

Iroshnikov ^[3] и Крайчнан ^[4] сформулировал первую феноменологическую теорию МГД-турбулентности. Они утверждали, что в присутствиисильного среднего магнитного поля, $z^{+}$ и $z^{-}$ волновые пакеты движутся в противоположных направленияхфазовая скорость $B_{0}$ , и взаимодействуют слабо. Соответствующая шкала времени — альвеновское время. $(B_{0}k)^{-1}$ . В результате энергетические спектры имеют вид

E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.

где $\Pi$ — скорость каскада энергии.

Позже Добровольный и др. ^[5] вывели следующие обобщенные формулы для каскадных скоростей $z^{\pm }$ переменные:

\Pi ^{+}\approx \Pi ^{-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}

где $\tau ^{\pm }$ являются масштабами времени взаимодействия $z^{\pm }$ переменные.

Феноменология Ирошникова и Крайчнана следует за тем, как только мы выбираем $\tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})$ .

маршировать ^[6] выбрал нелинейную шкалу времени $T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}$ в качестве шкалы времени взаимодействия для вихрей и полученного колмогоровского энергетического спектра для переменных Эльзассера:

E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}

где $\Pi ^{+}$ и $\Pi ^{-}$ являются энергетическими каскадными скоростями $z^{+}$ и $z^{-}$ соответственно, и $K^{\pm }$ являются константами.

Маттеус и Чжоу ^[7] попытались объединить две вышеупомянутые временные шкалы, постулируя, что время взаимодействия является гармоническим.среднее альфвеновского времени и нелинейного времени.

Основное различие между двумя конкурирующими феноменологиями (-3/2 и -5/3) заключается в выбранных временных масштабах времени взаимодействия.Основное лежащее в основе предположение заключается в том, что феноменология Ирошникова и Крайчнана должна работать для сильного среднего магнитного поля:тогда как феноменология Марша должна работать, когда флуктуации доминируют над средним магнитным полем (сильная турбулентность).

Однако, как мы обсудим ниже, наблюдения солнечного ветра и численное моделирование имеют тенденцию отдавать предпочтение энергетическому спектру -5/3.даже когда среднее магнитное поле сильнее по сравнению с флуктуациями. Эта проблема была решена Вермой ^[8] используя ренормгрупповой анализ, показывая, что на альфвеновские флуктуации влияет зависящее от масштаба «локальное среднее магнитное поле». Локальное среднее магнитное поле масштабируется как $k^{-1/3}$ , подстановка которого в уравнение Добровольного дает энергетический спектр Колмогорова для МГД-турбулентности.

Также был выполнен ренормгрупповой анализ для расчета перенормированной вязкости и удельного сопротивления. Было показано, что эти диффузионные величины масштабируются как $k^{-4/3}$ это снова дает $k^{-5/3}$ энергетические спектры согласуются с колмогоровской моделью МГД-турбулентности. Приведенный выше расчет ренормгруппы был выполнен как для нулевой, так и для ненулевой перекрестной спиральности.

Вышеупомянутые феноменологии предполагают изотропную турбулентность, чего не происходит при наличии среднего магнитного поля. Среднее магнитное поле обычно подавляет каскад энергии в направлении среднего магнитного поля. ^[9]

Анизотропные модели

Среднее магнитное поле делает турбулентность анизотропной. Этот аспект изучается в последние два десятилетия. В пределе $\delta z^{\pm }\ll B_{0}$ , Галтье и др. ^[10] с помощью кинетических уравнений показал, что

E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}

где $k_{\parallel }$ и $k_{\perp }$ являются компонентами волнового числа, параллельными и перпендикулярными среднему магнитному полю. Вышеуказанный предел называется пределом слабой турбулентности .

В пределе сильной турбулентности $\delta z^{\pm }\sim B_{0}$ , Гольдрайх и Шридхар ^[11] утверждать, что $k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}$ («критическое сбалансированное состояние»), что подразумевает, что

{\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}

Вышеупомянутая феноменология анизотропной турбулентности была расширена для МГД с большой поперечной спиральностью.

Наблюдения солнечного ветра

Плазма солнечного ветра находится в турбулентном состоянии. Исследователи рассчитали энергетические спектры плазмы солнечного ветра на основе данныхсобраны с космического корабля. Спектры кинетической и магнитной энергии, а также $E^{\pm }$ ближе к $k^{-5/3}$ по сравнению с $k^{-3/2}$ , тем самым отдавая предпочтение колмогоровской феноменологии для МГДтурбулентность. ^[12]^[13] Межпланетные и межзвездные флуктуации электронной плотности также обеспечиваютокно для исследования МГД-турбулентности.

Численное моделирование

Обсужденные выше теоретические модели проверяются с использованием прямого численного моделирования (DNS) высокого разрешения. Согласно ряду недавних симуляций, спектральные индексы приближаются к 5/3. ^[14] Есть и другие, которые сообщают о спектральных индексах около 3/2. Режим степенного закона обычно длится менее десяти лет. Поскольку 5/3 и 3/2 довольно близки численно, довольно сложно убедиться в справедливости МГД-моделей турбулентности по энергетическим спектрам.

Потоки энергии $\Pi ^{\pm }$ могут быть более надежными величинами для проверки моделей МГД-турбулентности.Когда $E^{+}(k)\gg E^{-}(k)$ (жидкость с высокой перекрестной спиральностью или несбалансированная МГД) предсказания потока энергии модели Крайчнана и Ирошникова сильно отличаются от предсказаний модели, подобной Колмогорову. С помощью DNS было показано, что потоки $\Pi ^{\pm }$ рассчитанные на основе численного моделирования, лучше согласуются с моделью Колмогорова по сравнению с моделью Крайчнана и Ирошникова. ^[15]

Анизотропные аспекты МГД-турбулентности также изучались с помощью численного моделирования. Предсказания Гольдрейха и Шридхара ^[11] ( $k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}$ ) были проверены во многих симуляциях.

Передача энергии

Перенос энергии между различными масштабами между скоростью и магнитным полем является важной проблемой МГД-турбулентности. Эти количествабыли рассчитаны как теоретически, так и численно. ^[2] Эти расчеты показывают значительную передачу энергии открупномасштабное поле скоростей к крупномасштабному магнитному полю. Кроме того, каскад магнитной энергии обычно направлен вперед. Эти результаты имеют критическоев связи с проблемой динамо.

В этой области существует множество открытых проблем, которые, мы надеемся, будут решены в ближайшем будущем с помощью численного моделирования, теоретического моделирования, экспериментов и наблюдений (например, солнечного ветра).

См. также

Ссылки

^ Д. Бискамп (2003), Магнитогидродинамическая турбулентность, (Издательство Кембриджского университета, Кембридж).
^ Jump up to: ^а ^б Верма, Махендра К. (2004). «Статистическая теория магнитогидродинамической турбулентности: последние результаты». Отчеты по физике . 401 (5–6): 229–380. arXiv : nlin/0404043 . Бибкод : 2004ФР...401..229В . doi : 10.1016/j.physrep.2004.07.007 . ISSN 0370-1573 . S2CID 119352240 .
^ П. С. Ирошников (1964), Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле, Советская астрономия, 7, 566.
^ Крайчнан, Роберт Х. (1965). «Инерционный спектр гидромагнитной турбулентности». Физика жидкостей . 8 (7). Издательство AIP: 1385. Бибкод : 1965PhFl....8.1385K . дои : 10.1063/1.1761412 . ISSN 0031-9171 .
^ Добровольный, М.; Мангени, А.; Велтри, П. (14 июля 1980 г.). «Полностью развитая анизотропная гидромагнитная турбулентность в межпланетном пространстве». Письма о физических отзывах . 45 (2). Американское физическое общество (APS): 144–147. Бибкод : 1980PhRvL..45..144D . дои : 10.1103/physrevlett.45.144 . ISSN 0031-9007 .
^ Э. Марш (1990), Турбулентность в солнечном ветре, в: Г. Клэр (ред.), Обзоры современной астрономии, Springer, Берлин, стр. 43.
^ Маттеус, Уильям Х.; Чжоу, Е (1989). «Феноменология магнитогидродинамической турбулентности в расширенном инерционном диапазоне». Физика жидкостей B: Физика плазмы . 1 (9). Издательство АИП: 1929–1931. Бибкод : 1989PhFlB...1.1929M . дои : 10.1063/1.859110 . ISSN 0899-8221 .
^ Верма, Махендра К. (1999). «Перенормировка среднего магнитного поля и энергетический спектр Колмогорова в магнитогидродинамической турбулентности». Физика плазмы . 6 (5). Издательство АИП: 1455–1460. arXiv : чао-дин/9803021 . Бибкод : 1999PhPl....6.1455V . дои : 10.1063/1.873397 . ISSN 1070-664X . S2CID 2218981 .
^ Шебалин, Джон В.; Маттеус, Уильям Х.; Монтгомери, Дэвид (1983). «Анизотропия МГД-турбулентности из-за среднего магнитного поля». Журнал физики плазмы . 29 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 525–547. Бибкод : 1983JPlPh..29..525S . дои : 10.1017/s0022377800000933 . hdl : 2060/19830004728 . ISSN 0022-3778 . S2CID 122509800 .
^ Галтье, С.; Назаренко С.В.; Ньюэлл, AC; Пуке, А. (2000). «Теория слабой турбулентности для несжимаемой магнитогидродинамики» (PDF) . Журнал физики плазмы . 63 (5). Издательство Кембриджского университета (CUP): 447–488. arXiv : astro-ph/0008148 . Бибкод : 2000JPlPh..63..447G . дои : 10.1017/s0022377899008284 . ISSN 0022-3778 . S2CID 15528846 .
^ Jump up to: ^а ^б Гольдрейх, П.; Шридхар, С. (1995). «К теории межзвездной турбулентности. 2: Сильная альфвеновая турбулентность» (PDF) . Астрофизический журнал . 438 . Издание IOP: 763. Бибкод : 1995ApJ...438..763G . дои : 10.1086/175121 . ISSN 0004-637X .
^ Маттеус, Уильям Х.; Гольдштейн, Мелвин Л. (1982). «Измерение жестких инвариантов магнитогидродинамической турбулентности в солнечном ветре». Журнал геофизических исследований . 87 (А8). Американский геофизический союз (AGU): 6011. Бибкод : 1982JGR....87.6011M . дои : 10.1029/ja087ia08p06011 . hdl : 11603/30515 . ISSN 0148-0227 .
^ Д. А. Робертс, М. Л. Гольдштейн (1991), Турбулентность и волны в солнечном ветре, Rev. Geophys., 29, 932.
^ Мюллер, Вольф-Кристиан; Бискамп, Дитер (17 января 2000 г.). «Масштабирующие свойства трехмерной магнитогидродинамической турбулентности». Письма о физических отзывах . 84 (3). Американское физическое общество (APS): 475–478. arXiv : физика/9906003 . Бибкод : 2000PhRvL..84..475M . дои : 10.1103/physrevlett.84.475 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 11015942 . S2CID 43131956 .
^ Верма, МК; Робертс, Д.А.; Гольдштейн, ML; Гош, С.; Стриблинг, WT (1 октября 1996 г.). «Численное исследование нелинейного каскада энергии в магнитогидродинамической турбулентности». Журнал геофизических исследований: Космическая физика . 101 (А10). Американский геофизический союз (AGU): 21619–21625. Бибкод : 1996JGR...10121619V . дои : 10.1029/96ja01773 . hdl : 11603/30574 . ISSN 0148-0227 .

[1] Д. Бискамп (2003), Магнитогидродинамическая турбулентность, (Издательство Кембриджского университета, Кембридж).

[mkv-physrep-2] Jump up to: ^а ^б Верма, Махендра К. (2004). «Статистическая теория магнитогидродинамической турбулентности: последние результаты». Отчеты по физике . 401 (5–6): 229–380. arXiv : nlin/0404043 . Бибкод : 2004ФР...401..229В . doi : 10.1016/j.physrep.2004.07.007 . ISSN 0370-1573 . S2CID 119352240 .

[3] П. С. Ирошников (1964), Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле, Советская астрономия, 7, 566.

[4] Крайчнан, Роберт Х. (1965). «Инерционный спектр гидромагнитной турбулентности». Физика жидкостей . 8 (7). Издательство AIP: 1385. Бибкод : 1965PhFl....8.1385K . дои : 10.1063/1.1761412 . ISSN 0031-9171 .

[5] Добровольный, М.; Мангени, А.; Велтри, П. (14 июля 1980 г.). «Полностью развитая анизотропная гидромагнитная турбулентность в межпланетном пространстве». Письма о физических отзывах . 45 (2). Американское физическое общество (APS): 144–147. Бибкод : 1980PhRvL..45..144D . дои : 10.1103/physrevlett.45.144 . ISSN 0031-9007 .

[6] Э. Марш (1990), Турбулентность в солнечном ветре, в: Г. Клэр (ред.), Обзоры современной астрономии, Springer, Берлин, стр. 43.

[7] Маттеус, Уильям Х.; Чжоу, Е (1989). «Феноменология магнитогидродинамической турбулентности в расширенном инерционном диапазоне». Физика жидкостей B: Физика плазмы . 1 (9). Издательство АИП: 1929–1931. Бибкод : 1989PhFlB...1.1929M . дои : 10.1063/1.859110 . ISSN 0899-8221 .

[8] Верма, Махендра К. (1999). «Перенормировка среднего магнитного поля и энергетический спектр Колмогорова в магнитогидродинамической турбулентности». Физика плазмы . 6 (5). Издательство АИП: 1455–1460. arXiv : чао-дин/9803021 . Бибкод : 1999PhPl....6.1455V . дои : 10.1063/1.873397 . ISSN 1070-664X . S2CID 2218981 .

[9] Шебалин, Джон В.; Маттеус, Уильям Х.; Монтгомери, Дэвид (1983). «Анизотропия МГД-турбулентности из-за среднего магнитного поля». Журнал физики плазмы . 29 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 525–547. Бибкод : 1983JPlPh..29..525S . дои : 10.1017/s0022377800000933 . hdl : 2060/19830004728 . ISSN 0022-3778 . S2CID 122509800 .

[10] Галтье, С.; Назаренко С.В.; Ньюэлл, AC; Пуке, А. (2000). «Теория слабой турбулентности для несжимаемой магнитогидродинамики» (PDF) . Журнал физики плазмы . 63 (5). Издательство Кембриджского университета (CUP): 447–488. arXiv : astro-ph/0008148 . Бибкод : 2000JPlPh..63..447G . дои : 10.1017/s0022377899008284 . ISSN 0022-3778 . S2CID 15528846 .

[GS95-11] Jump up to: ^а ^б Гольдрейх, П.; Шридхар, С. (1995). «К теории межзвездной турбулентности. 2: Сильная альфвеновая турбулентность» (PDF) . Астрофизический журнал . 438 . Издание IOP: 763. Бибкод : 1995ApJ...438..763G . дои : 10.1086/175121 . ISSN 0004-637X .

[12] Маттеус, Уильям Х.; Гольдштейн, Мелвин Л. (1982). «Измерение жестких инвариантов магнитогидродинамической турбулентности в солнечном ветре». Журнал геофизических исследований . 87 (А8). Американский геофизический союз (AGU): 6011. Бибкод : 1982JGR....87.6011M . дои : 10.1029/ja087ia08p06011 . hdl : 11603/30515 . ISSN 0148-0227 .

[13] Д. А. Робертс, М. Л. Гольдштейн (1991), Турбулентность и волны в солнечном ветре, Rev. Geophys., 29, 932.

[14] Мюллер, Вольф-Кристиан; Бискамп, Дитер (17 января 2000 г.). «Масштабирующие свойства трехмерной магнитогидродинамической турбулентности». Письма о физических отзывах . 84 (3). Американское физическое общество (APS): 475–478. arXiv : физика/9906003 . Бибкод : 2000PhRvL..84..475M . дои : 10.1103/physrevlett.84.475 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 11015942 . S2CID 43131956 .

[15] Верма, МК; Робертс, Д.А.; Гольдштейн, ML; Гош, С.; Стриблинг, WT (1 октября 1996 г.). «Численное исследование нелинейного каскада энергии в магнитогидродинамической турбулентности». Журнал геофизических исследований: Космическая физика . 101 (А10). Американский геофизический союз (AGU): 21619–21625. Бибкод : 1996JGR...10121619V . дои : 10.1029/96ja01773 . hdl : 11603/30574 . ISSN 0148-0227 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]