Неравенство Колмогорова

В теории вероятностей неравенство Колмогорова — это так называемое «максимальное неравенство », которое ограничивает вероятность того, что частичные суммы конечного независимых набора случайных величин превысят некоторую заданную границу.

Формулировка неравенства

Пусть X ₁ , ..., X _n : Ω → R — независимые случайные величины , определенные в общем вероятностном пространстве (Ω, F , Pr), с ожидаемым значением E[ X _k ] = 0 и дисперсией Var[ X _k ] < +∞ для k = 1,..., n . Тогда для каждого λ > 0

$\Pr \left(\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{k}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\text{E}}[X_{k}^{2}],$

где S _k знак равно Икс ₁ + ... + X _k .

Удобство этого результата состоит в том, что мы можем оценить наихудшее отклонение случайного блуждания в любой момент времени, используя его значение в конце временного интервала.

Доказательство

Следующий аргумент использует дискретные мартингалы . Как утверждается при обсуждении мартингального неравенства Дуба , последовательность $S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}$ это мартингейл.Определять $(Z_{i})_{i=0}^{n}$ следующее. Позволять $Z_{0}=0$, и

$Z_{i+1}=\left\{{\begin{array}{ll}S_{i+1}&{\text{ if }}\displaystyle \max _{1\leq j\leq i}|S_{j}|<\lambda \\Z_{i}&{\text{ otherwise}}\end{array}}\right.$

для всех $i$.Затем $(Z_{i})_{i=0}^{n}$ это тоже мартингейл.

Для любого мартингейла $M_{i}$ с $M_{0}=0$, у нас это есть

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(M_{i}-M_{i-1})^{2}]&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[M_{i}^{2}-2M_{i}M_{i-1}+M_{i-1}^{2}]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-2(M_{i-1}+M_{i}-M_{i-1})M_{i-1}+M_{i-1}^{2}\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-M_{i-1}^{2}\right]-2{\text{E}}\left[M_{i-1}(M_{i}-M_{i-1})\right]\\&={\text{E}}[M_{n}^{2}]-{\text{E}}[M_{0}^{2}]={\text{E}}[M_{n}^{2}].\end{aligned}}$

Применение этого результата к мартингейлу $(S_{i})_{i=0}^{n}$, у нас есть

${\begin{aligned}{\text{Pr}}\left(\max _{1\leq i\leq n}|S_{i}|\geq \lambda \right)&={\text{Pr}}[|Z_{n}|\geq \lambda ]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[Z_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(Z_{i}-Z_{i-1})^{2}]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(S_{i}-S_{i-1})^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[S_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{Var}}[S_{n}]\end{aligned}}$

где из первого неравенства следует неравенство Чебышева .

Это неравенство было обобщено Гаеком и Реньи в 1955 году.

См. также

• Неравенство Чебышева
• Неравенство Этемади
• Неравенство Ландау–Колмогорова.
• Неравенство Маркова
• Неравенства Бернштейна (теория вероятностей)

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-471-00710-2 . (Теорема 22.4)
• Феллер, Уильям (1968) [1950]. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 1 (Третье изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. xviii+509. ISBN  0-471-25708-7 .
• Кахане, Жан-Пьер (1985) [1968]. Некоторые случайные ряды функций (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 29-30.

Эта статья включает в себя материал из неравенства Колмогорова на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .