Теорема о нечетных числах

Теорема о нечетных числах — это теорема о сильном гравитационном линзировании , которая исходит непосредственно из дифференциальной топологии .

Теорема утверждает, что число кратных изображений, создаваемых ограниченной прозрачной линзой, должно быть нечетным .

Формулировка

Гравитационное линзирование — это идея, которая отображается из так называемой плоскости изображения в исходную плоскость по формуле:

$M:(u,v)\mapsto (u',v')$.

Аргумент

Если мы используем направляющие косинусы, описывающие изогнутые световые лучи , мы можем записать векторное поле на $(u,v)$ самолет $V:(s,w)$.

Однако только в некоторых конкретных направлениях $V_{0}:(s_{0},w_{0})$, дойдут ли до наблюдателя изогнутые лучи света, т. е. изображения образуются только там, где $D=\delta V=0|_{(s_{0},w_{0})}$. Тогда мы можем напрямую применить теорему Пуанкаре–Хопфа. $\chi =\sum {\text{index}}_{D}={\text{constant}}$.

Индекс истоков и стоков равен +1, индекс седловых точек – −1. Таким образом, эйлерова характеристика равна разнице числа положительных индексов $n_{+}$ и количество отрицательных показателей $n_{-}$. Для случая дальнего поля имеется только одно изображение, т.е. $\chi =n_{+}-n_{-}=1$. Таким образом, общее количество изображений равно $N=n_{+}+n_{-}=2n_{-}+1$, то есть странно. Морса Уленбека Строгое доказательство требует теории нулевых геодезических .

Ссылки

• Чволсон, О. (1924). «О возможной форме вымышленных двойных звезд». Астрономические новости (на немецком языке). 221 (20). Уайли: 329–330. Бибкод : 1924AN....221..329C . дои : 10.1002/asna.19242212003 . ISSN   0004-6337 .
• Берк, WL (1981). «Множественное гравитационное изображение распределенными массами» . Астрофизический журнал . 244 . Издательство ИОП: L1. Бибкод : 1981ApJ...244L...1B . дои : 10.1086/183466 . ISSN   0004-637X .
• Маккензи, Росс Х. (1985). «Гравитационная линза производит нечетное количество изображений». Журнал математической физики . 26 (7). Издательство АИП: 1592–1596. Бибкод : 1985JMP....26.1592M . дои : 10.1063/1.526923 . ISSN   0022-2488 .
• Козаме, Карлос; Ламберти, Педро В.; Реула, Оскар (1991). «Глобальные аспекты световых конусных разрезов». Журнал математической физики . 32 (12). Издательство AIP: 3423–3426. Бибкод : 1991JMP....32.3423K . дои : 10.1063/1.529456 . ISSN   0022-2488 .
• Ломбарди, Марко (20 января 1998 г.). «Применение топологической степени к гравитационным линзам». Буквы по современной физике А. 13 (2). World Scientific Pub Co Pte Lt: 83–86. Бибкод : 1998МПЛА...13...83Л . дои : 10.1142/s0217732398000115 . ISSN   0217-7323 .
• Вамбсгансс, Иоахим (1998). «Гравитационное линзирование в астрономии» . Живые обзоры в теории относительности . 1 (1): 12. arXiv : astro-ph/9812021 . Бибкод : 1998LRR.....1...12W . дои : 10.12942/lrr-1998-12 . ПМК   5567250 . ПМИД   28937183 .
• Шнайдер, П.; Элерс, Дж.; Фалько, Э.Э. (1999). Гравитационные линзы» . Библиотека астрономии и астрофизики. Springer. ISBN  9783540665069 .
• Джаннони, Фабио; Ломбарди, Марко (1999). «Гравитационные линзы: странные или четные изображения?». Классическая и квантовая гравитация . 16 (6): 1689–1694. Бибкод : 1999CQGra..16.1689G . дои : 10.1088/0264-9381/16/6/303 . S2CID   250827307 .
• Фриттелли, Симонетта; Ньюман, Эзра Т. (28 апреля 1999 г.). «Точное уравнение универсального гравитационного линзирования». Физический обзор D . 59 (12): 124001. arXiv : gr-qc/9810017 . Бибкод : 1999PhRvD..59l4001F . дои : 10.1103/physrevd.59.124001 . ISSN   0556-2821 . S2CID   248125 .
• Перлик, Волкер (1999). «Гравитационное линзирование с геометрической точки зрения». Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия: избранные очерки в честь Юргена Элерса . Конспект лекций по физике. Том. 540. стр. 373–425. дои : 10.1007/3-540-46580-4_6 . ISBN  978-3-540-67073-5 .
• Перлик, Волкер (сентябрь 2004 г.). «Гравитационное линзирование с точки зрения пространства-времени» . Живые обзоры в теории относительности . 7 (1): 9. arXiv : 1010.3416 . Бибкод : 2004LRR.....7....9P . дои : 10.12942/lrr-2004-9 . ПМК   5255571 . ПМИД   28179867 .