Параметрическая производная

В исчислении — параметрическая производная это производная по зависимой переменной отношению к другой зависимой переменной, которая берется, когда обе переменные зависят от независимой третьей переменной, обычно называемой «временем» (то есть, когда зависимыми переменными являются x и y и задаются параметрическими уравнениями относительно t ).

Первая производная

Пусть x ( t ) и y ( t ) — координаты точек кривой, выраженные как функции переменной t : $$y=y(t),\quad x=x(t).$$Первая производная, подразумеваемая этими параметрическими уравнениями, равна $${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},$$где обозначение ${\dot {x}}(t)$ обозначает производную x по t . Это можно получить, используя правило цепочки для деривативов: $${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$$и разделив обе части на ${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$ чтобы дать уравнение выше.

В общем, все эти производные — dy / dt , dx / dt и dy / dx — сами являются функциями t и поэтому могут быть записаны более явно, как, например, ${\frac {dy}{dx}}(t)$.

Вторая производная

Вторая производная, подразумеваемая параметрическим уравнением, имеет вид $${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\[1ex]&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}$$используя правило фактора для производных. Последний результат полезен при вычислении кривизны .

Пример

Например, рассмотрим набор функций , где: $${\begin{aligned}x(t)&=4t^{2},&y(t)&=3t.\end{aligned}}$$Дифференцирование обеих функций по t приводит к функциям $${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=8t,&{\frac {dy}{dt}}&=3.\end{aligned}}$$Подставив их в формулу параметрической производной, получим $${\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},$$где ${\dot {x}}$ и ${\dot {y}}$ понимаются как функции от t .

См. также

• Обобщения производной

Ссылки

• Производная параметрической формы в PlanetMath .
• Харрис, Джон В. и Стокер, Хорст (1998). «12.2.12 Дифференцирование функций в параметрическом представлении» . Справочник по математике и информатике . Springer Science & Business Media. стр. 495–497. ISBN  0387947469 .
• Бриггс, Уильям Л.; Кокран, Лайл; Жилетт, Бернар; Шульц, Эрик. «11 параметрических и полярных кривых». Исчисление для ученых и инженеров – ранние трансценденталы . Пирсон. п. 734.