Обратноквадратичный потенциал

В квантовой механике обратный квадратный потенциал представляет собой форму потенциала центральной силы, который обладает необычным свойством собственных состояний соответствующего гамильтонового оператора, остающихся собственными состояниями при масштабировании всех декартовых координат одной и той же константой. Если не считать этой любопытной особенности, это гораздо менее важная проблема центральной силы, чем проблема кеплеровской системы обратных квадратов сил .

Описание

Функция потенциальной энергии обратного квадратичного потенциала равна

$V(r)=-{\frac {C}{r^{2}}}$,

где $C$ является некоторой константой и $r$ — евклидово расстояние от некоторой центральной точки. Если $C$ положителен, потенциал привлекателен, и если $C$ отрицателен, потенциал отталкивающий. Соответствующий гамильтонов оператор ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}})$ является

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}-{\frac {C}{{\hat {r}}^{2}}}$,

где $m$ – масса частицы, движущейся в потенциале.

Характеристики

Каноническое коммутационное соотношение квантовой механики $[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}]=i\hbar$, обладает свойством быть инвариантным при масштабировании

${\hat {p}}_{i}'={\hat {p}}_{i}/\lambda$, и ${\hat {x}}_{i}'=\lambda {\hat {x}}_{i}$,

где $\lambda$ это некоторый коэффициент масштабирования. Импульс $\mathbf {p}$ и позиция $\mathbf {x}$ являются векторами, а компоненты $p_{i}$, $x_{i}$ и радиус $r$ являются скалярами. В потенциальной системе обратного квадрата, если волновая функция $\psi (r)$ является собственной функцией оператора Гамильтона ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {x} }})$, это также собственная функция оператора ${\hat {H}}({\hat {\mathbf {p} }}',{\hat {\mathbf {x} }}')$, где масштабированные операторы ${\hat {p}}_{i}'$ и ${\hat {x}}_{i}'$ определяются, как указано выше.

Это также означает, что если радиально-симметричная волновая функция $\psi (r)$ является внутренней функцией ${\hat {H}}$ с собственным значением $E$, тогда также $\psi (\lambda r)$ является собственной функцией с собственным значением $\lambda ^{2}E$. Следовательно, энергетический спектр системы представляет собой континуум значений.

Система с частицей в обратноквадратичном потенциале с положительным $C$ (потенциал притяжения) является примером так называемой задачи падения к центру , где нет волновой функции с наименьшей энергией и есть собственные функции, при которых частица произвольно локализована вблизи центральной точки. $r=0$.

См. также

• Каноническое коммутационное соотношение
• Центральная сила
• Масштабная инвариантность