Двумерный поток

В механике жидкости двумерный поток — это форма потока жидкости , при которой скорость потока в каждой точке параллельна фиксированной плоскости. Скорость в любой точке заданной нормали к этой фиксированной плоскости должна быть постоянной.

Скорость потока в двумерных потоках

Скорость потока в декартовых координатах

Рассматривая двумерное течение в $X-Y$ плоскости, скорость потока в любой точке $(x,y,z)$ во время $t$ можно выразить как –

{\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.

Скорость в цилиндрических координатах

Рассматривая двумерное течение в $r-\theta$ плоскости, скорость потока в точке $(r,\theta ,z)$ за раз $t$ можно выразить как –

{\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.

Завихренность в двумерных потоках

Завихренность в декартовых координатах

Завихренность в двумерных потоках в $X-Y$ плоскость можно выразить как –

{\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},

\omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.

Завихренность в цилиндрических координатах

Завихренность в двумерных потоках в $r-\theta$ плоскость можно выразить как –

{\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}

\omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.

Двумерные источники и стоки

Источник линии/точки

Линейный источник — это линия, из которой жидкость появляется и стекает по плоскостям, перпендикулярным этой линии. Когда мы рассматриваем двумерные потоки в перпендикулярной плоскости, линейный источник выглядит как точечный источник.По симметрии можно предположить, что жидкость течет радиально наружу от источника.Силу источника можно определить по объемному расходу. $Q$ что он генерирует.

Линия/точка стока

Подобно линейному источнику, линия-приемник представляет собой линию, которая поглощает жидкость, текущую к ней из плоскостей, перпендикулярных ей. Когда мы рассматриваем двумерные потоки в перпендикулярной плоскости, они выглядят как точечный сток.По симметрии мы предполагаем, что жидкость течет радиально внутрь к стоку.Сила раковины определяется объемным расходом. $Q$ жидкости, которую он поглощает.

Типы двумерных потоков

Равномерный исходный поток

Радиально -симметричное поле течения, направленное наружу из общей точки, называется истоковым течением. Центральной общей точкой является описанный выше линейный источник. Жидкость подается с постоянной скоростью $Q$ из источника. По мере того, как жидкость течет наружу, площадь потока увеличивается. В результате для удовлетворения уравнения неразрывности скорость уменьшается, а линии тока расширяются. Скорость во всех точках на данном расстоянии от источника одинакова.

Скорость потока жидкости можно выразить как -

{\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.

Мы можем вывести связь между расходом и скоростью потока. Рассмотрим цилиндр единичной высоты, соосный источнику. Скорость, с которой источник выделяет жидкость, должна быть равна скорости, с которой жидкость вытекает с поверхности цилиндра.

\int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,

\therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.

Функция потока, связанная с исходным потоком:

\psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .

Устойчивый поток из точечного источника является безвихревым и может быть получен из потенциала скорости . Потенциал скорости определяется выражением –

\phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.

Равномерный поток раковины

Поток стока противоположен потоку источника. Линии тока радиальные, направлены внутрь источника линии. По мере приближения к раковине площадь потока уменьшается. Чтобы удовлетворить уравнению непрерывности , линии тока сгруппированы ближе, а скорость увеличивается по мере приближения к источнику. Как и в случае с исходным потоком, скорость во всех точках, равноудаленных от стока, одинакова.

Скорость потока вокруг раковины может быть определена как –

{\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},

v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.

Функция потока, связанная с потоком стока, равна –

\psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .

Поток вокруг стока линии является безвихревым и может быть получен из потенциала скорости. Потенциал скорости вокруг стока может быть определен как –

\phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.

Безвихревой вихрь

Вихрь — это область, в которой жидкость течет вокруг воображаемой оси.Для безвихревого вихря поток в каждой точке таков, что помещенная туда маленькая частица подвергается чистому перемещению и не вращается.В этом случае скорость изменяется обратно пропорционально радиусу. Скорость будет стремиться к $\inf$ в $r=0$ вот почему центр является особой точкой. Скорость математически выражается как –

{\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },

v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.

Поскольку жидкость течет вокруг оси,

v_{r}=0.

Функция тока для безвихревых вихрей определяется выражением –

\psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.

В то время как потенциал скорости выражается как –

\phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .

Для замкнутой кривой, охватывающей начало координат, циркуляция (линейный интеграл поля скорости) $\Gamma =K$ а для любых других замкнутых кривых $\Gamma =0$

Дублет

Дублет можно рассматривать как комбинацию источника и стока одинаковой силы, находящихся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Таким образом, можно увидеть, что линии тока начинаются и заканчиваются в одной и той же точке.Сила дублета, созданного источником и стоком силы. $Q$ держался на расстоянии $ds$ дается -