Теория жесткости (физика)

Теория жесткости , или теория топологических ограничений, — это инструмент для прогнозирования свойств сложных сетей (таких как очки ) на основе их состава. Он был представлен Джеймсом Чарльзом Филлипсом в 1979 году. и 1981 г., и уточнен Майклом Торпом в 1983 году. Вдохновленный исследованием устойчивости механических ферм , впервые начатым Джеймсом Клерком Максвеллом , и благодаря плодотворной работе по структуре стекла, выполненной Уильямом Хоулдером Захариасеном , эта теория сводит сложные молекулярные сети к узлам (атомам, молекулам, белкам и т. д.), ограниченным стержнями (химическими ограничениями), таким образом отфильтровывая микроскопические детали, которые в конечном итоге не влияют на макроскопические свойства. Эквивалентная теория была разработана П.К. Гуптой и А.Р. Купером в 1990 году, где вместо узлов, представляющих атомы, они представляли собой единичные многогранники . Примером этого могут быть тетраэдры SiO в чистом стеклообразном кремнеземе . Этот стиль анализа находит применение в биологии и химии, например, для понимания адаптивности сетей межбелковых взаимодействий. Теория жесткости, примененная к молекулярным сетям, возникающим в результате фенотипического проявления определенных заболеваний, может дать представление об их структуре и функциях.

В молекулярных сетях атомы могут быть ограничены радиальными ограничениями на растяжение двухчастичных связей, которые сохраняют фиксированные межатомные расстояния, и угловыми ограничениями на изгиб трехчастичных связей, которые фиксируют углы вокруг их средних значений. Как утверждает критерий Максвелла, механическая ферма является изостатической , когда количество ограничений равно числу степеней свободы узлов. В этом случае ферма оптимально закреплена: она жесткая, но не испытывает напряжений . Этот критерий был применен Филлипсом к молекулярным сетям, которые называются гибкими, напряженно-жесткими или изостатическими, когда число связей на атом соответственно меньше, больше или равно 3 числу степеней свободы на атом в трехмерном пространстве. мерная система. То же самое относится и к случайной упаковке сфер, изостатических в точке защемления .Как правило, условия для образования стекла будут оптимальными, если сетка изостатическая, как, например, в случае чистого кремнезема . Гибкие системы обладают внутренними степенями свободы, называемыми гибкими режимами. тогда как напряженно-жесткие имеют сложность, заблокированную большим количеством ограничений, и имеют тенденцию кристаллизоваться, а не образовывать стекло во время быстрой закалки.

Вывод изостатического состояния

Условия изостатичности можно получить, рассматривая внутренние степени свободы общей трехмерной сети. Для $N$ узлы, $N_{c}$ ограничения и $M_{eq}$ уравнения равновесия, число степеней свободы равно

$F=3N-N_{c}-M_{eq}$

Узловой термин увеличивается в 3 раза из-за наличия поступательных степеней свободы в направлениях x , y и z . По аналогичным рассуждениям $M_{eq}=6$ в 3D, поскольку существует одно уравнение равновесия для поступательных и вращательных режимов в каждом измерении. Это дает

$F=3N-N_{c}-6$

Это можно применить к каждому узлу в системе путем нормализации по количеству узлов.

$f=3-n_{c}$

где $f={\frac {F}{N}}$, $n_{c}={\frac {N_{c}}{N}}$, а последний член был опущен, поскольку для атомистических систем $6\ll N$. Изостатические условия достигаются, когда $f=0$, что дает количество ограничений на атом в изостатическом состоянии $n_{c}=3$.

Альтернативный вывод основан на анализе модуля сдвига. $G$ 3D-сети или сплошной конструкции. Изостатическое состояние, представляющее собой предел механической устойчивости, эквивалентно установке $G=0$ в микроскопической теории упругости, которая обеспечивает $G$ в зависимости от внутреннего координационного числа узлов и числа степеней свободы. Проблема была решена Алессио Закконе и Э. Скосса-Романо в 2011 году, которые вывели аналитическую формулу для модуля сдвига трехмерной сети пружин центральной силы (ограничения на растяжение связей): $G=(1/30)\kappa R_{0}^{2}(z-2d)$. Здесь, $\kappa$ - константа пружины, $R_{0}$ расстояние между двумя ближайшими соседними узлами, $z$ среднее координационное число сети (заметим, что здесь $zN/2\equiv N_{c}$ и $z/2\equiv n_{c}$), и $2d=6$ в 3D. Аналогичная формула была получена для 2D-сетей, где префактором является $1/18$ вместо $1/30$.Следовательно, на основе выражения Закконе-Скосса-Романо для $G$, при установке $G=0$, получается $z=2d=6$, или, что эквивалентно, в других обозначениях, $n_{c}=3$, определяющее изостатическое условие Максвелла. Аналогичный анализ можно провести для трехмерных сетей с взаимодействиями изгиба связей (помимо растяжения связей), что приводит к изостатическому условию. $z=2.4$, с более низким порогом из-за угловых ограничений, налагаемых изгибом связи.

Развитие науки о стекле

Теория жесткости позволяет прогнозировать оптимальные изостатические составы, а также зависимость свойств стекла от состава путем простого перечисления ограничений. Эти свойства стекла включают, помимо прочего, модуль упругости , модуль сдвига , модуль объемного сжатия , плотность, коэффициент Пуассона , коэффициент теплового расширения, твердость, и жесткость . В некоторых системах из-за сложности прямого перечисления ограничений вручную и априорного знания всей системной информации теория часто используется в сочетании с вычислительными методами в материаловедении, такими как молекулярная динамика (МД). Примечательно, что теория сыграла важную роль в разработке Gorilla Glass 3 . Распространено на очки при конечной температуре. и конечное давление, Теория жесткости использовалась для прогнозирования температуры стеклования, вязкости и механических свойств. Его также применяли к сыпучим материалам. и белки .

В контексте мягких стекол теория жесткости использовалась Алессио Закконе и Евгением Терентьевым для предсказания температуры стеклования полимеров, а также для вывода и интерпретации уравнения Флори-Фокса на молекулярном уровне . Теория Закконе-Терентьева также дает выражение для модуля сдвига стеклообразных полимеров в зависимости от температуры, которое количественно согласуется с экспериментальными данными и способно описать падение модуля сдвига на многие порядки при приближении к стеклованию. снизу.

В 2001 году Булчанд и его коллеги обнаружили, что изостатический состав стеклообразных сплавов, предсказанный теорией жесткости, существует не только при одном пороговом составе; скорее, во многих системах он охватывает небольшой, четко определенный диапазон составов, промежуточный между гибкими (недостаточно ограниченными) и напряженно-жесткими (чрезмерно ограниченными) областями. Таким образом, это окно оптимально ограниченных стекол называется промежуточной фазой или окном обратимости , поскольку предполагается, что образование стекла внутри окна является обратимым с минимальным гистерезисом. Его существование приписывают стеклообразной сетке, состоящей почти исключительно из разнообразной совокупности изостатических молекулярных структур. Существование промежуточной фазы остается спорной, но стимулирующей темой в науке о стекле.

См. также

• Жесткость Перколяция