Теорема о связке

В евклидовой геометрии теорема о расслоении — это утверждение о шести окружностях и восьми точках на евклидовой плоскости. В общей геометрии инцидентности это аналогичное свойство, которому плоскость Мёбиуса может удовлетворять или не соответствовать . Согласно теореме Кана, ей удовлетворяют только «овоидальные» плоскости Мёбиуса; таким образом, это аналог для плоскостей Мёбиуса теоремы Дезарга для проективных плоскостей .

Свойство теоремы о расслоении состоит в том, что существует пунктирный красный цикл.

Теорема о связке. Если для восьми разных точек $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$ пять из шести четверных $Q_{ij}:=\{A_{i},B_{i},A_{j},B_{j}\},\ i<j,$ концикличны (состоят в цикле) как минимум на четырех циклах $c_{ij}$, то шестая четверка также конциклична.

Теорему о расслоении не следует путать с теоремой Микеля .

Овоидальную плоскость Мёбиуса в реальном евклидовом пространстве можно рассматривать как геометрию плоских сечений яйцеобразной поверхности, например сферы, или эллипсоида, или половины сферы, приклеенной к подходящей половине эллипсоида, или поверхности с уравнением $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$и т. д. Если яйцеобразная поверхность представляет собой сферу, то получается пространственная модель классической реальной плоскости Мёбиуса , которая представляет собой «геометрию круга» на сфере.

Существенным свойством овоидальной плоскости Мёбиуса является существование модели пространства через овоид. Овоид . в трехмерном проективном пространстве — это совокупность точек, которая а) пересекается прямыми в 0, 1 или 2 точках и б) ее касательные в произвольной точке покрывают плоскость (касательную плоскость) Геометрия овала в проективном 3-мерном пространстве представляет собой плоскость Мёбиуса, называемую овоидальной плоскостью Мёбиуса . Множество точек геометрии состоит из точек овоида, а кривые («циклы») представляют собой плоские сечения овоида. Подходящая стереографическая проекция показывает, что для любой овоидальной плоскости Мёбиуса существует плоская модель. В классическом случае плоская модель представляет собой геометрию окружностей и линий (где каждая линия завершается точкой, находящейся на бесконечности). Теорема о расслоении имеет плоскую и пространственную интерпретацию. В планарной модели могут присутствовать линии. Доказательство теоремы о расслоении проводится в рамках пространственной модели.

Теорема. Теорема о расслоении справедлива в любой овоидальной плоскости Мёбиуса.

Доказательство является следствием следующих соображений, в которых по существу используется тот факт, что три плоскости в трехмерном проективном пространстве пересекаются в одной точке:

1. Плоскости, содержащие циклы $c_{23},c_{34},c_{24}$ пересекаться в точке $P$. Следовательно $P$ — точка пересечения линий (в пространстве!) $A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}$.
2. Плоскости, содержащие циклы $c_{12},c_{14},c_{24}$ пересекаться в точке $P'$. Следовательно $P'$ это точка пересечения линий $A_{2}B_{2},\ A_{4}B_{4}$, слишком.

Это дает: а) $P=P'$ и б) $A_{1}B_{1},\ A_{3}B_{3}$ пересекаться в точке $P$, слишком. Последнее утверждение означает: $A_{1},B_{1},A_{3},B_{3}$ являются конциклическими. Участвующие самолеты имеют смысл $P$ в общем, они являются элементами пучка плоскостей.

Важность теоремы о расслоении была показана Джеффом Каном .

Теорема Кана. Плоскость Мёбиуса овоидальна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет теореме о расслоении.

Теорема о расслоении аналогична для плоскостей Мёбиуса теореме Дезарга для проективных плоскостей . Из теоремы о расслоении следует существование а) тела (тела) и б) овала. Если справедлива более строгая теорема Микеля, тело является четным коммутативным (полем), а овал - квадрикой .

Существуют плоскости Мёбиуса, которые не имеют яйцевидной формы.

Для овоидальных плоскостей Лагерра существует теорема о расслоении, имеющая аналогичный смысл.

Источники

• Хартманн, Эрих. Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского. (PDF; 891 КБ) Математический факультет Дармштадтского технологического университета
• Кан, Джефф. Инверсивные плоскости, удовлетворяющие теореме о расслоении . Журнал комбинаторной теории, серия A, том 29, выпуск 1, стр. 1–19, июль 1980 г. doi: 10.1016/0097-3165(80)90043-6

Дальнейшее чтение

• В. Бенц, Лекции по геометрии алгебр , Springer (1973).
• П. Дембовский, Конечные геометрии , Springer-Verlag (1968). ISBN   3-540-61786-8 , с. 256