Парадокс мальчика или девочки

Парадокс «Мальчик или девочка» окружает ряд вопросов теории вероятностей , которые также известны как «Проблема двух детей» . ^[1] Дети мистера Смита ^[2] и проблема миссис Смит . Первоначальная формулировка вопроса относится как минимум к 1959 году, когда Мартин Гарднер представил его в своей колонке «Математические игры » в журнале Scientific American в октябре 1959 года . Он назвал ее «Проблема двух детей» и сформулировал парадокс следующим образом:

У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок – девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка — девочки?
У г-на Смита двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики?

Гарднер изначально дал ответы ⁠ 1/2 ⁠ и ⁠ 1/3 соответственно, но позже ⁠ признал , что второй вопрос был неоднозначным. ^[1] Его ответ может быть ⁠ 1 / 2 ⁠ , в зависимости от процедуры получения информации «хотя бы один из них мальчик». Двусмысленность, зависящую от точных формулировок и возможных предположений, подтвердили Майя Бар-Хилель и Рума Фальк , ^[3] и Раймонд С. Никерсон . ^[4]

Другие варианты этого вопроса, с разной степенью двусмысленности, были популяризированы журналом « Спросите Мэрилин» в журнале Parade Magazine . ^[5] Джон Тирни из The New York Times , ^[6] и Леонард Млодинов в «Прогулке пьяницы» . ^[7] Одно научное исследование показало, что, когда передавалась идентичная информация, но с разными, частично двусмысленными формулировками, которые подчеркивали разные моменты, процент студентов MBA , ответивших ⁠ 1/2 85 изменилась с ⁠ % до 39%. ^[2]

Этот парадокс вызвал множество споров. ^[4] Парадокс возникает из-за того, одинакова ли постановка задачи для этих двух вопросов. ^[2]^[7] Интуитивный ответ ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[2] Этот ответ является интуитивным, если вопрос заставляет читателя поверить в то, что существуют две равновероятные возможности выбора пола второго ребенка (т. е. мальчик и девочка). ^[2] и что вероятность этих результатов абсолютна, а не условна . ^[8]

Общие предположения

Во-первых, предполагается, что пространство всех возможных событий можно легко перечислить, что дает расширенное определение результатов: {BB, BG, GB, GG}. ^[9] Это обозначение указывает на то, что существует четыре возможных комбинации детей: мальчики обозначаются B, а девочки G, а первая буква используется для обозначения старшего ребенка. Во-вторых, предполагается, что эти исходы равновероятны. ^[9] Это подразумевает следующую модель : процесс Бернулли с p = ⁠ 1 / 2 ⁠ :

Каждый ребенок либо мужского, либо женского пола.
Каждый ребенок имеет одинаковые шансы стать мужчиной и женщиной.
Пол каждого ребенка не зависит от пола другого.

Первый вопрос

У мистера Джонса двое детей. Старший ребенок – девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка — девочки?

При сделанных выше предположениях в этой задаче выбирается случайное семейство. В этом выборочном пространстве есть четыре равновероятных события:

Старший ребенок	Младший ребенок
Девочка	Девочка
Девочка	Мальчик
~~Мальчик~~	~~Девочка~~
~~Мальчик~~	~~Мальчик~~

Только два из этих возможных событий соответствуют критериям, указанным в вопросе (т.е. ГГ, ГБ). Поскольку обе возможности в новом выборочном пространстве {GG, GB} равновероятны и только одна из двух, GG, включает двух девочек, вероятность того, что младший ребенок тоже девочка, равна ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Второй вопрос

У г-на Смита двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики?

Этот вопрос идентичен первому вопросу, за исключением того, что вместо указания того, что старший ребенок — мальчик, указывается, что по крайней мере один из них — мальчик. В ответ на критику читателей в адрес вопроса, заданного в 1959 году, Гарднер сказал, что ответ невозможен без информации, которая не была предоставлена. В частности, две разные процедуры определения того, что «по крайней мере один — мальчик», могут привести к одной и той же формулировке проблемы. Но они приводят к разным правильным ответам:

Из всех семей, имеющих двоих детей, хотя бы один из которых мальчик, методом случайной выборки выбирается семья. Это даст ответ ⁠ 1 / 3 ⁠ .
Из всех семей с двумя детьми случайным образом выбирается один ребенок и указывается пол этого ребенка — мальчик. Это даст ответ ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[3]^[4]

Гринстед и Снелл утверждают, что этот вопрос неоднозначен во многом так же, как и Гарднер. ^[10] Они оставляют читателю решать, является ли процедура, дающая 1/3 в качестве ответа, приемлемой для задачи, изложенной выше. Формулировка вопроса, который они конкретно рассматривали, такова:

Рассмотрим семью с двумя детьми. Учитывая, что один из детей — мальчик, какова вероятность того, что оба ребенка — мальчики?

В этой формулировке очевиднее всего присутствует двусмысленность, поскольку неясно, разрешено ли нам предполагать, что конкретный ребенок является мальчиком, оставляя другого ребенка неопределенным, или же это следует интерпретировать так же, как «по крайней мере один ребенок». мальчик". Эта двусмысленность оставляет множество неэквивалентных возможностей и оставляет необходимость делать предположения о том, как была получена информация, как утверждают Бар-Хилель и Фальк, где разные предположения могут привести к разным результатам (поскольку постановка задачи не была достаточно четко определена, чтобы допускают единственную прямую интерпретацию и ответ).

Например, скажем, наблюдатель видит г-на Смита на прогулке только с одним из своих детей. Если у него два мальчика, то этот ребенок должен быть мальчиком. Но если у него есть мальчик и девочка, то этот ребенок мог бы быть девочкой. Таким образом, просмотр его с мальчиком исключает не только комбинации, в которых у него есть две девочки, но и комбинации, в которых у него есть сын и дочь, и он выбирает дочь, с которой будет гулять.

Таким образом, хотя утверждение о том, что у каждого возможного мистера Смита есть хотя бы один мальчик, безусловно, верно (т. е. условие является необходимым), нельзя предполагать, что подразумевается каждый мистер Смит, имеющий хотя бы одного мальчика. То есть в постановке задачи не говорится, что наличие мальчика является достаточным условием для того, чтобы таким образом можно было идентифицировать, что у г-на Смита есть мальчик.

Комментируя версию проблемы Гарднера, Бар-Гилель и Фальк ^[3] обратите внимание, что «мистер Смит, в отличие от читателя, предположительно знает пол обоих своих детей, когда делает это заявление», т.е. что «у меня двое детей, и по крайней мере один из них мальчик». Далее следует предположить, что мистер Смит всегда сообщал бы об этом факте, если бы он был правдой, и либо хранил молчание, либо говорил, что у него есть по крайней мере одна дочь, чтобы правильный ответ был ⁠ 1/3 как , очевидно, изначально и ⁠, предполагал Гарднер. Но при этом предположении, если он промолчит или скажет, что у него есть дочь, то со 100% вероятностью у него будет две дочери.

Анализ двусмысленности

Если предположить, что эта информация была получена путем осмотра обоих детей на предмет наличия хотя бы одного мальчика, то это условие является одновременно необходимым и достаточным. Три из четырех равновероятных событий для семьи с двумя детьми в приведенной выше выборке соответствуют условию, как показано в этой таблице:

Старший ребенок	Младший ребенок
~~Девочка~~	~~Девочка~~
Девочка	Мальчик
Мальчик	Девочка
Мальчик	Мальчик

Таким образом, если предположить, что при поиске мальчика учитывались оба ребенка, то ответ на вопрос 2 будет ⁠ 1 / 3 ⁠ . Однако если сначала была выбрана семья, а затем было сделано случайное истинное утверждение о поле одного ребенка в этой семье, независимо от того, учитывались ли оба ребенка, правильный способ расчета условной вероятности состоит в том, чтобы не учитывать все случаи. включая ребенка этого пола. Вместо этого необходимо учитывать только вероятности того, что утверждение будет сделано в каждом случае. ^[10] Итак, если ALOB представляет событие, в котором утверждение «по крайней мере один мальчик», а ALOG представляет событие, в котором утверждение «по крайней мере одна девочка», то эта таблица описывает пространство выборки:

Старший ребенок	Младший ребенок	П (эта семья)	P(ALOB, учитывая это семейство)	P(ALOG, учитывая это семейство)	P(АЛОБ и эта семья)	P(ALOG и это семейство)
Девочка	Девочка	⁠ 1 / 4 ⁠	0	1	0	⁠ 1 / 4 ⁠
Девочка	Мальчик	⁠ 1 / 4 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠	⁠ 1 / 8 ⁠	⁠ 1 / 8 ⁠
Мальчик	Девочка	⁠ 1 / 4 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠	⁠ 1 / 8 ⁠	⁠ 1 / 8 ⁠
Мальчик	Мальчик	⁠ 1 / 4 ⁠	1	0	⁠ 1 / 4 ⁠	0

Итак, если хотя бы один из них мальчик, то при случайном выборе факта вероятность того, что оба мальчики, равна $\mathrm {\frac {P(ALOB\;and\;BB)}{P(ALOB)}} ={\frac {\frac {1}{4}}{0+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{2}}\,.$

Парадокс возникает, когда неизвестно, как возникло утверждение «по крайней мере один — мальчик». Любой ответ может быть правильным, исходя из того, что предполагается. ^[11]

Однако " ⁠ 1 / 3 ⁠ "ответ получается только в предположении P(ALOB|BG) = P(ALOB|GB) =1, из чего следует P(ALOG|BG) = P(ALOG|GB) = 0, т.е. Пол другого ребенка никогда не упоминается, хотя он присутствует. Как говорят Маркс и Смит: «Однако это крайнее предположение никогда не включается в представление проблемы двух детей и, конечно же, не является тем, что люди имеют в виду, когда представляют ее. " ^[11]

Моделирование генеративного процесса

Другой способ проанализировать двусмысленность (для вопроса 2) — сделать явным порождающий процесс (все розыгрыши независимы).

Следующий процесс приводит к ответу $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{3}}$ $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{3}}$ :
- Рисовать $c_{1}$ равновероятно от $\{B,G\}$
- Рисовать $c_{2}$ равновероятно от $\{B,G\}$
- Отбросить случаи, когда нет B.
- Наблюдать $c_{1}=B\lor c_{2}=B$
Следующий процесс приводит к ответу $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{2}}$ $p(c_{1}=c_{2}=B|\mathrm {Observation} )={\frac {1}{2}}$ :
- Рисовать $c_{1}$ равновероятно от $\{B,G\}$
- Рисовать $c_{2}$ равновероятно от $\{B,G\}$
- Индекс розыгрыша $i$ равновероятно от $\{1,2\}$
- Наблюдать $c_{i}=B$

Байесовский анализ

Следуя классическим вероятностным рассуждениям, мы рассматриваем большую урну, содержащую двух детей. Мы предполагаем равную вероятность того, что это мальчик или девочка. Таким образом, можно выделить три случая:

обе девочки (GG) – с вероятностью P(GG) = ⁠ 1 / 4 ⁠ ,
оба мальчики (BB) – с вероятностью P(BB) = ⁠ 1/4 ⁠ и
по одному из каждого (G·B) – с вероятностью P(G·B) = ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Это априорные вероятности.

Теперь добавим дополнительное предположение, что «по крайней мере один мальчик» = B. Используя теорему Байеса , находим

$\mathrm {P(BB\mid B)} =\mathrm {P(B\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(B)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)}}={\frac {1}{3}}\,.$

где P(A|B) означает «вероятность A при условии B». P(B|BB) = вероятность появления хотя бы одного мальчика, если оба мальчики = 1.P(BB) = вероятность обоих мальчиков = ⁠ 1/4 ⁠ от предыдущего . распределения P(B) = вероятность того, что хотя бы один из них окажется мальчиком, включая случаи BB и G·B = ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ = ⁠ 3 / 4 ⁠ .

Обратите внимание, что, хотя естественным предположением кажется вероятность ⁠ 1 / 2 ⁠ , поэтому полученное значение ⁠ 1 / 3 ⁠ кажется низким, фактическое «нормальное» значение для P(BB) равно ⁠ 1/4 ⁠ , поэтому ⁠ 1/3 ⁠ на самом деле немного выше .

Парадокс возникает потому, что второе предположение несколько искусственное, и при описании проблемы в реальных условиях все становится немного запутанно. Откуда нам знать, что «по крайней мере» один — мальчик? В одном описании проблемы говорится, что мы смотрим в окно и видим только одного ребенка, и это мальчик. Это похоже на то же предположение. Однако это эквивалентно «выборке» распределения (т. е. извлечению одного ребенка из урны, подтверждению того, что это мальчик, а затем замене его). Назовем высказывание «образец — мальчик» предложением «б». Теперь у нас есть:

$\mathrm {P(BB\mid b)} =\mathrm {P(b\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(b)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}\,.$

Разница здесь в P(b), которая представляет собой просто вероятность вытянуть мальчика из всех возможных случаев (т.е. без «по крайней мере»), что очевидно ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Байесовский анализ легко обобщается на случай, когда мы ослабляем предположение о соотношении численности населения 50:50. Если у нас нет информации о популяциях, мы предполагаем «плоский априор», т.е. P(GG) = P(BB) = P(G·B) = ⁠ 1 / 3 ⁠ . В этом случае предположение «по крайней мере» дает результат P(BB|B) = ⁠ 1 / 2 ⁠ и предположение о выборке дает P(BB|b) = ⁠ 2/3 Правила ⁠ , результат также вытекает из наследования .

Варианты вопроса

После популяризации парадокса Гарднером он был представлен и обсужден в различных формах. Первый вариант, представленный Bar-Hillel & Falk ^[3] сформулировано следующим образом:

Г-н Смит — отец двоих детей. Мы встречаем его идущим по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представляет как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребенок г-на Смита тоже будет мальчиком?

Бар-Хилель и Фальк используют этот вариант, чтобы подчеркнуть важность рассмотрения основных предположений. Интуитивный ответ ⁠ 1/2 ⁠ и . при самых естественных предположениях это верно Однако кто-то может возразить, что «...прежде чем г-н Смит идентифицирует мальчика как своего сына, мы знаем только, что он является отцом либо двух мальчиков, BB, либо двух девочек, GG, или по одной из каждого из них. порядок рождения, т. е. BG или GB. Снова предполагая независимость и равновероятность, мы начинаем с вероятности. ⁠ 1/4 Смит — ⁠ что отец двух мальчиков. Обнаружение того, что у него есть хотя бы один мальчик, исключает событие GG. Поскольку остальные три события равновероятны, получаем вероятность ⁠ 1/3 ⁠ для " ББ. ^[3]

Естественным предположением является то, что г-н Смит выбрал компаньона-ребенка наугад. Если это так, поскольку вероятность появления мальчика, идущего компаньона, в два раза выше, чем у BG или GB (а вероятность комбинации GG равна нулю, исключая это), объединение событий BG и GB становится равновероятным с событием BB, и поэтому вероятность того, что другой ребенок тоже мальчик, равна ⁠ 1/2 ⁠ . Однако Бар-Хилель и Фальк предлагают альтернативный сценарий. Они представляют себе культуру, в которой мальчиков неизменно выбирают в качестве компаньонов для прогулок, а не девочек. В этом случае предполагается, что комбинации BB, BG и GB с одинаковой вероятностью привели к появлению мальчика-компаньона, и, таким образом, вероятность того, что другой ребенок тоже мальчик, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ .

В 1991 году Мэрилин вос Савант ответила читателю, который попросил ее ответить на вариант парадокса «Мальчик или девочка», включающий биглей. ^[5] В 1996 году она снова опубликовала вопрос в другой форме. Вопросы 1991 и 1996 годов соответственно были сформулированы следующим образом:

Владелец магазина говорит, что хочет показать вам двух новых детенышей бигля, но она не знает, самец ли это, самка или пара. Вы говорите ей, что вам нужен только самец, и она звонит парню, который их купает. — Хотя бы один мужчина? она спрашивает его. "Да!" она сообщает вам с улыбкой. Какова вероятность того, что второй окажется мужчиной?
Допустим, у женщины и мужчины (не состоящих в родстве) по два ребенка. Мы знаем, что по крайней мере один из детей женщины — мальчик и что старший ребенок мужчины — мальчик. Можете ли вы объяснить, почему вероятность того, что у женщины родится два мальчика, не равна вероятности того, что у мужчины будет два мальчика?

По поводу второй формулировки Вос Савант дал классический ответ: вероятность того, что у женщины родится два мальчика, примерно равна ⁠ 1 / 3 ⁠ тогда как вероятность того, что у мужчины родится два мальчика, составляет около ⁠ 1/2 ⁠ . В ответ на ответ читателей, ставящих под сомнение ее анализ, Вос Савант провела опрос читателей, у которых ровно двое детей, по крайней мере один из которых — мальчик. Из 17 946 ответов 35,9% сообщили о двух мальчиках. ^[9]

Статьи Воса Саванта обсуждались Карлтоном и Стэнсфилдом. ^[9] в статье 2005 года в журнале The American Statistician . Авторы не обсуждают возможную двусмысленность вопроса и приходят к выводу, что ее ответ верен с математической точки зрения, учитывая предположения о том, что вероятность того, что ребенок будет мальчиком или девочкой, одинакова, и что пол второго ребенка не зависит из первого. Что касается ее опроса, они говорят, что он «по крайней мере подтверждает правильное утверждение Вос Савант о том, что «шансы», изложенные в исходном вопросе, хотя и звучат одинаково, различны, и что первая вероятность определенно ближе к 1 из 3, чем к 1. в 2".

Карлтон и Стэнсфилд продолжают обсуждать общие предположения в парадоксе мальчика или девочки. Они показывают, что на самом деле дети мужского пола встречаются чаще, чем дети женского пола, и что пол второго ребенка не зависит от пола первого. Авторы приходят к выводу, что, хотя предположения вопроса противоречат наблюдениям, парадокс все же имеет педагогическую ценность, поскольку «иллюстрирует одно из наиболее интригующих применений условной вероятности». ^[9] Конечно, фактические значения вероятности не имеют значения; Цель парадокса — продемонстрировать, казалось бы, противоречивую логику, а не реальный уровень рождаемости.

Информация о ребенке

Предположим, нам сказали не только о том, что у г-на Смита двое детей, и один из них мальчик, но также и о том, что мальчик родился во вторник: меняет ли это предыдущие анализы? Опять же, ответ зависит от того, как была представлена эта информация – какой процесс отбора позволил получить эти знания.

Следуя традиции решения задачи, предположим, что в популяции двухдетных семей пол двух детей не зависит друг от друга, одинаково вероятно мальчик или девочка, и что дата рождения каждого ребенка не зависит от другого ребенка. . Шанс родиться в любой день недели равен ⁠ 1 / 7 ⁠ .

Из теоремы Байеса вероятность рождения двух мальчиков, учитывая, что один мальчик родился во вторник, определяется выражением:

$\mathrm {P(BB\mid B_{T})={\frac {P(B_{T}\mid BB)\times P(BB)}{P(B_{T})}}}$

Предположим, что вероятность родиться во вторник равна ε = ⁠ 1/7 , ⁠ . который будет установлен после прихода к общему решению Второй множитель в числителе просто ⁠ 1/4 , ⁠ . вероятность рождения двух мальчиков Первый член в числителе — это вероятность рождения хотя бы одного мальчика во вторник, если в семье два мальчика, или 1 − (1 − ε ). ² (один минус вероятность того, что ни один мальчик не родится во вторник). Для знаменателя разложим: $\mathrm {P(B_{T})=P(B_{T}\mid BB)P(BB)+P(B_{T}\mid BG)P(BG)+P(B_{T}\mid GB)P(GB)+P(B_{T}\mid GG)P(GG)}$ . Каждый термин взвешивается с вероятностью ⁠ 1/4 ⁠ . Первый член уже известен по предыдущему замечанию, последний член равен 0 (мальчиков нет). $P(B_{T}\mid BG)$ и $P(B_{T}\mid GB)$ равно ε , есть один и только один мальчик, поэтому у него есть шанс ε родиться во вторник. Следовательно, полное уравнение:

\mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {\left(1-(1-\varepsilon )^{2}\right)\times {\frac {1}{4}}}{0+{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left(\varepsilon +\varepsilon -\varepsilon ^{2}\right)}}={\frac {1-(1-\varepsilon )^{2}}{4\varepsilon -\varepsilon ^{2}}}

Для

\varepsilon >0

, это сводится к

\mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {2-\varepsilon }{4-\varepsilon }}

Если ε теперь установлено на ⁠ 1 / 7 ⁠ , вероятность становится ⁠ 13/27 , ⁠ или около 0,48. Фактически, когда ε приближается к 0, общая вероятность возрастает до ⁠ 1 / 2 ⁠ , который является ожидаемым ответом, когда в выборку попадает один ребенок (например, самый старший ребенок — мальчик) и, таким образом, исключается из пула возможных детей. Другими словами, по мере того, как сообщается все больше и больше подробностей о мальчике (например, о рождении 1 января), вероятность того, что другой ребенок окажется девочкой, приближается к половине.

Кажется, что была введена совершенно не относящаяся к делу информация, однако вероятность пола другого ребенка резко изменилась по сравнению с тем, что было раньше (вероятность того, что другой ребенок был девочкой, была ⁠ 2/3 известно , ⁠ , когда еще не было что мальчик родился во вторник).

Чтобы понять, почему это так, представьте себе, что Мэрилин вос Савант опросила читателей, в какой день недели в семье рождаются мальчики. Если затем Мэрилин разделила весь набор данных на семь групп – по одной на каждый день недели, в который родился сын, – шесть из семи семей с двумя мальчиками были бы посчитаны в две группы (группа для дня недели рождения мальчика 1 и группа дня недели рождения мальчика 2), что удваивает в каждой группе вероятность комбинации мальчик-мальчик.

Однако действительно ли правдоподобно, что семья, в которой хотя бы один мальчик родился во вторник, была получена путем случайного выбора одной из таких семей? Гораздо проще представить себе следующий сценарий.

Мы знаем, что у мистера Смита двое детей. Мы стучимся в его дверь, приходит мальчик и открывает дверь. Спрашиваем мальчика, в какой день недели он родился.

Предположим, что кто из двух детей откроет дверь, определяется случайно. Затем процедура заключалась в следующем: (1) случайным образом выбрать семью с двумя детьми из всех двухдетных семей (2) случайным образом выбрать одного из двух детей, (3) посмотреть, мальчик ли это, и спросить, в какой день он родился . Вероятность того, что второй ребенок окажется девочкой, равна ⁠ 1/2 ⁠ . Это сильно отличается от процедуры (1) случайного выбора семьи с двумя детьми из всех семей с двумя детьми, по крайней мере, одним мальчиком, родившимся во вторник. Вероятность того, что семья состоит из мальчика и девочки, равна ⁠ 14/27 . ⁠ , около 0,52

Этот вариант проблемы мальчика и девочки обсуждается во многих интернет-блогах и является предметом статьи Румы Фальк. ^[12] Мораль этой истории в том, что эти вероятности зависят не только от известной информации, но и от того, как эта информация была получена.

Психологическое расследование

С позиции статистического анализа соответствующий вопрос часто неоднозначен и как таковой не имеет «правильного» ответа. Однако этим не исчерпывается парадокс мальчика или девочки, поскольку не обязательно именно двусмысленность объясняет, как получается интуитивная вероятность. Опросы, подобные проведенному Вос Савантом, показывают, что большинство людей понимают проблему Гарднера, что, если бы они были последовательны, это привело бы их к ⁠ 1 / 3 ⁠ вероятностный ответ, но в подавляющем большинстве люди интуитивно приходят к ⁠ 1/2 вероятностный ⁠ . ответ Несмотря на двусмысленность, эта проблема представляет интерес для исследователей-психологов, которые стремятся понять, как люди оценивают вероятность.

Фокс и Левав (2004) использовали проблему (названную проблемой мистера Смита , автором которой является Гарднер, но сформулирована не совсем так, как версия Гарднера) для проверки теорий о том, как люди оценивают условные вероятности. ^[2] В этом исследовании парадокс был представлен участникам двумя способами:

«Г-н Смит говорит: «У меня двое детей, и по крайней мере один из них мальчик». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что другой ребенок — мальчик?»
«Г-н Смит говорит: «У меня двое детей, и дело не в том, что они обе девочки». Учитывая эту информацию, какова вероятность того, что оба ребенка — мальчики?»

Авторы утверждают, что первая формулировка создает у читателя ошибочное впечатление о двух возможных исходах для «другого ребенка». ^[2] тогда как вторая формулировка создает у читателя впечатление, что существует четыре возможных результата, один из которых был отвергнут (что привело к ⁠ 1/3 вероятность того , ⁠ — что оба ребенка будут мальчиками, поскольку остается 3 возможных исхода, только один из которых состоит в том, что оба ребенка — мальчики). Исследование показало, что 85% участников ответили ⁠ 1 / 2 ⁠ для первой формулировки, в то время как только 39% ответили таким же образом на вторую формулировку. Авторы утверждали, что причина, по которой люди по-разному реагируют на каждый вопрос (наряду с другими подобными проблемами, такими как проблема Монти Холла и парадокс ящика Бертрана ), заключается в использовании наивной эвристики , которая не может должным образом определить количество возможных результатов. ^[2]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Мартин Гарднер (1961). Вторая книга математических головоломок и развлечений Scientific American . Саймон и Шустер. ISBN 978-0-226-28253-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Крейг Р. Фокс и Джонатан Левав (2004). «Разделение – Редактирование – Подсчет: наивные экстенсиональные рассуждения при оценке условной вероятности» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии . 133 (4): 626–642. дои : 10.1037/0096-3445.133.4.626 . ПМИД 15584810 . S2CID 391620 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 апреля 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бар-Хилель, Майя ; Фальк, Рума (1982). «Некоторые тизеры, касающиеся условных вероятностей». Познание . 11 (2): 109–122. дои : 10.1016/0010-0277(82)90021-X . ПМИД 7198956 . S2CID 44509163 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Раймонд С. Никерсон (май 2004 г.). Познание и шанс: Психология вероятностного рассуждения . Психология Пресс . ISBN 0-8058-4899-1 .
^ Jump up to: ^а ^б «Спроси Мэрилин». Журнал «Парад» . 13 октября 1991 г. [5 января 1992 г.; 26 мая 1996 г.; 1 декабря 1996 г.; 30 марта 1997 г.; 27 июля 1997 г.; 19 октября 1997 г.].
^ Тирни, Джон (10 апреля 2008 г.). «Психология обмана» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 24 февраля 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б Леонард Млодинов (2008). Прогулка пьяницы: как случайность управляет нашей жизнью . Пантеон. ISBN 978-0-375-42404-5 .
^ Пи Джей Лэрд; и др. (1999). «Наивная вероятность: теория ментальной модели экстенсионального рассуждения». Психологический обзор . 106 (1): 62–88. дои : 10.1037/0033-295x.106.1.62 . ПМИД 10197363 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мэтью А. Карлтон и Уильям Д. Стэнсфилд (2005). «Создание детей одним подбрасыванием монеты?». Американский статистик . 59 (2): 180–182. дои : 10.1198/000313005x42813 . S2CID 43825948 .
^ Jump up to: ^а ^б Чарльз М. Гринстед и Дж. Лори Снелл. «Введение Гринстеда и Снелла в теорию вероятности» (PDF) . Проект ШАНС.
^ Jump up to: ^а ^б Стивен Маркс и Гэри Смит (зима 2011 г.). «Парадокс двух детей возрождается?» (PDF) . Chance (Журнал Американской статистической ассоциации) . 24 : 54–9. дои : 10.1007/s00144-011-0010-0 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 27 января 2015 г.
^ Фальк Рума (2011). «Когда сталкиваются трюизмы: решение парадоксальной проблемы, касающейся пресловутой семьи с двумя детьми». Мышление и рассуждение . 17 (4): 353–366. дои : 10.1080/13546783.2011.613690 . S2CID 145428896 .

Внешние ссылки

[gardner1961-1] Jump up to: ^а ^б Мартин Гарднер (1961). Вторая книга математических головоломок и развлечений Scientific American . Саймон и Шустер. ISBN 978-0-226-28253-4 .

[fox-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Крейг Р. Фокс и Джонатан Левав (2004). «Разделение – Редактирование – Подсчет: наивные экстенсиональные рассуждения при оценке условной вероятности» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии . 133 (4): 626–642. дои : 10.1037/0096-3445.133.4.626 . ПМИД 15584810 . S2CID 391620 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 апреля 2020 г.

[Bar-Hillel_and_Falk-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бар-Хилель, Майя ; Фальк, Рума (1982). «Некоторые тизеры, касающиеся условных вероятностей». Познание . 11 (2): 109–122. дои : 10.1016/0010-0277(82)90021-X . ПМИД 7198956 . S2CID 44509163 .

[nickerson-4] Jump up to: ^а ^б ^с Раймонд С. Никерсон (май 2004 г.). Познание и шанс: Психология вероятностного рассуждения . Психология Пресс . ISBN 0-8058-4899-1 .

[marilyn-5] Jump up to: ^а ^б «Спроси Мэрилин». Журнал «Парад» . 13 октября 1991 г. [5 января 1992 г.; 26 мая 1996 г.; 1 декабря 1996 г.; 30 марта 1997 г.; 27 июля 1997 г.; 19 октября 1997 г.].

[tierney-6] Тирни, Джон (10 апреля 2008 г.). «Психология обмана» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 24 февраля 2009 г.

[drunkard-7] Jump up to: ^а ^б Леонард Млодинов (2008). Прогулка пьяницы: как случайность управляет нашей жизнью . Пантеон. ISBN 978-0-375-42404-5 .

[pjlaird-8] Пи Джей Лэрд; и др. (1999). «Наивная вероятность: теория ментальной модели экстенсионального рассуждения». Психологический обзор . 106 (1): 62–88. дои : 10.1037/0033-295x.106.1.62 . ПМИД 10197363 .

[carlton-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мэтью А. Карлтон и Уильям Д. Стэнсфилд (2005). «Создание детей одним подбрасыванием монеты?». Американский статистик . 59 (2): 180–182. дои : 10.1198/000313005x42813 . S2CID 43825948 .

[Grinstead_and_Snell-10] Jump up to: ^а ^б Чарльз М. Гринстед и Дж. Лори Снелл. «Введение Гринстеда и Снелла в теорию вероятности» (PDF) . Проект ШАНС.

[Marks_and_Smith-11] Jump up to: ^а ^б Стивен Маркс и Гэри Смит (зима 2011 г.). «Парадокс двух детей возрождается?» (PDF) . Chance (Журнал Американской статистической ассоциации) . 24 : 54–9. дои : 10.1007/s00144-011-0010-0 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 27 января 2015 г.

[12] Фальк Рума (2011). «Когда сталкиваются трюизмы: решение парадоксальной проблемы, касающейся пресловутой семьи с двумя детьми». Мышление и рассуждение . 17 (4): 353–366. дои : 10.1080/13546783.2011.613690 . S2CID 145428896 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]