Проблема Монти Холла

В поисках новой машины игрок выбирает дверь, скажем 1 . Затем ведущий игры открывает одну из других дверей, скажем, 3 , чтобы увидеть козу, и предлагает игроку переключиться с двери 1 на дверь 2 .

Задача Монти Холла — это головоломка в форме вероятностной головоломки, номинально основанная на американском телевизионном игровом шоу « Давайте заключим сделку» и названная в честь его первоначального ведущего Монти Холла . Первоначально проблема была поставлена ​​(и решена) в письме Стива Селвина журналу American Statistician в 1975 году. Он стал известен как вопрос из письма читателя Крейга Ф. Уитакера, процитированный в Мэрилин вос Савант колонке «Спросите Мэрилин» в журнале Parade в 1990 году:

Предположим, вы участвуете в игровом шоу и вам предоставлен выбор из трех дверей: за одной дверью находится машина; за остальными козлы. Вы выбираете дверь, скажем, № 1, и хозяин, который знает, что находится за дверями, открывает другую дверь, скажем, № 3, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Выгодно ли вам изменить свой выбор?

Ответ Саванта заключался в том, что участнику следует перейти к другой двери. По стандартным предположениям стратегия переключения имеет ⁠ 2/3 ⁠ лишь имеет вероятность выигрыша автомобиля, тогда как стратегия сохранения первоначального выбора ⁠ 1/3 ​ вероятность ⁠ .

Когда игрок впервые делает свой выбор, возникает ⁠ 2/3 , шанс ⁠ что машина окажется за одной из не выбранных дверей. Эта вероятность не меняется после того, как ведущий обнаруживает козу за одной из невыбранных дверей. Когда ведущий предоставляет информацию о двух невыбранных дверях (показывая, что за одной из них нет машины), ⁠ 2 / 3 ⁠ вероятность того, что машина окажется за одной из невыбранных дверей, зависит от невыбранной и неоткрытой двери, в отличие от ⁠ 1/3 вероятность того , . ⁠ что машина окажется за дверью, которую участник выбрал изначально

Данные вероятности зависят от конкретных предположений о том, как ведущий и участник выбирают свои двери. Важным выводом является то, что при этих стандартных условиях имеется больше информации о дверях 2 и 3, чем было доступно в начале игры, когда игрок выбрал дверь 1: действие хоста добавляет ценность двери, которая не устранена, но не тому, который изначально выбрал участник. Еще одно понимание состоит в том, что переключение дверей — это действие, отличное от случайного выбора между двумя оставшимися дверями, поскольку первое действие использует предыдущую информацию, а второе — нет. Другое возможное поведение хоста, отличное от описанного, может раскрыть другую дополнительную информацию или вообще не раскрыть ее и привести к другим вероятностям.

Многие читатели колонки Савант отказались поверить в то, что переход на другую работу полезен, и отвергли ее объяснение. После того, как проблема появилась в Parade , в журнал написали около 10 000 читателей, в том числе около 1000 с докторской степенью , большинство из которых назвали Savant неправым. Даже получив объяснения, симуляции и формальные математические доказательства, многие люди все равно не признали, что переключение является лучшей стратегией. Пол Эрдеш , один из самых плодовитых математиков в истории, не убедился в этом, пока ему не показали компьютерное моделирование, демонстрирующее предсказанный Савантом результат.

Проблема представляет собой парадокс правдоподобного типа, поскольку решение настолько нелогично, что может показаться абсурдным, но, тем не менее, оно очевидно верно. Проблема Монти Холла математически тесно связана с более ранней проблемой трех заключенных и с гораздо более старым парадоксом ящика Бертрана .

Парадокс

Стив Селвин написал письмо в журнал American Statistician в 1975 году, описывая проблему, основанную на игровом шоу « Давайте заключим сделку» . в последующем письме назвав это «проблемой Монти Холла». Эта проблема математически эквивалентна проблеме трех заключенных, описанной в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» в журнале Scientific American в 1959 году. и проблема трех оболочек, описанная в книге Гарднера «Ага, попался» .

Стандартные предположения

По стандартным предположениям вероятность выигрыша автомобиля после переключения равна ⁠ 2 / 3 ⁠ . Это решение связано с поведением хоста. Неоднозначности в версии Parade не определяют явно протокол хоста. Однако решение Мэрилин вос Савант напечатанное рядом с вопросом Уитакера подразумевает, и оба Селвина и Савант явно определите роль хоста следующим образом:

1. Ведущий всегда должен открыть дверь, которую не выбрал участник.
2. Хозяин всегда должен открывать дверь, чтобы увидеть козу, а не машину.
3. Хозяин всегда должен предлагать возможность переключиться между первоначально выбранной дверью и оставшейся закрытой дверью.

Когда любое из этих предположений изменяется, это может изменить вероятность выигрыша путем переключения дверей, как подробно описано в разделе ниже . Также обычно предполагается, что машина изначально спрятана за дверями случайным образом, и что, если игрок изначально выбирает машину, то выбор хоста, какую дверь, скрывающую коз, открыть, является случайным. Некоторые авторы, независимо или включительно, предполагают, что первоначальный выбор игрока также является случайным.

Простые решения

Три начальные конфигурации игры. В двух из них игрок выигрывает, отказываясь от выбора, сделанного до открытия двери.

Решение, представленное Savant в Parade, показывает три возможных расположения одной машины и двух коз за тремя дверями, а также результат пребывания или переключения после первоначального выбора двери 1 в каждом случае:

За дверью 1	За дверью 2	За дверью 3	Результат, если остановиться у двери №1	Результат при переключении на предложенную дверь
Козел	Козел	Машина	Выигрывает козел	Победы автомобиля
Козел	Машина	Козел	Выигрывает козел	Победы автомобиля
Машина	Козел	Козел	Победы автомобиля	Выигрывает козел

Игрок, который остается с первоначальным выбором, выигрывает только в одной из трех равновероятных возможностей, а игрок, который меняет выбор, выигрывает в двух из трех.

Интуитивное объяснение состоит в том, что, если участник изначально выбирает козу (2 из 3 дверей), он выиграет машину, переключившись, потому что другую козу больше нельзя выбрать – ведущий должен был раскрыть ее местоположение – тогда как, если участник Первоначально выбирает машину (1 из 3 дверей), участник не выиграет машину, переключив ее. Таким образом, при использовании стратегии переключения выигрыш или проигрыш зависит только от того, выбрал ли участник изначально козу ( ⁠ 2/3 ⁠ вероятность ) или машина ( ⁠ 1/3 ⁠ вероятность ) . Тот факт, что ведущий впоследствии обнаруживает козу в одной из невыбранных дверей, ничего не меняет в первоначальной вероятности.

Другой процесс выбора, при котором игрок делает выбор случайным образом после открытия любой двери, дает другую вероятность.

Большинство людей приходят к выводу, что переключение не имеет значения, поскольку вероятность обнаружить машину за любой из двух неоткрытых дверей составляет 50%. Это было бы верно, если бы хост выбрал дверь для открытия случайным образом, но это не так. Дверь, открываемая хостом, зависит от первоначального выбора игрока, поэтому предположение о независимости не выполняется. Прежде чем ведущий откроет дверь, происходит ⁠ 1/3 вероятность того , ⁠ . что машина находится за каждой дверью Если машина находится за дверью 1, хост может открыть либо дверь 2, либо дверь 3, поэтому вероятность того, что машина находится за дверью 1 и хост откроет дверь 3, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ × ⁠ 1 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / 6 ⁠ . Если машина находится за дверью 2 (и игрок выбрал дверь 1), хост должен открыть дверь 3, так что вероятность того, что машина находится за дверью 2 , а хост откроет дверь 3, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ × 1 = ⁠ 1 / 3 ⁠ . Это единственные случаи, когда хост открывает дверь 3, поэтому, если игрок выбрал дверь 1, а хост открывает дверь 3, вероятность того, что машина окажется за дверью 2, в два раза выше, чем за дверью 1. Ключевой момент в том, что если машина за дверью 2 хозяин должен открыть дверь 3, но если машина находится за дверью 1, хозяин может открыть любую дверь.

Другой способ понять решение — рассмотреть вместе две двери, изначально не выбранные игроком. Как Сесил Адамс : говорит «Монти, по сути, говорит: вы можете оставить себе одну дверь или оставить две другие». ⁠ 2 / 3 ⁠ вероятность найти машину не изменилась при открытии одной из этих дверей, потому что Монти, зная местонахождение машины, наверняка обнаружит козу. Выбор игрока после того, как хост открывает дверь, ничем не отличается от того, если бы хост предложил игроку возможность переключиться с первоначально выбранной двери на набор обеих оставшихся дверей. Переключатель в данном случае явно дает игроку ⁠ 2/3 вероятность выбора ⁠ . автомобиля

В машине есть ⁠ 1 / 3 ⁠ шанс оказаться за выбором игрока и ⁠ 2 / 3 ⁠ шанс оказаться за одной из двух других дверей.

Ведущий открывает дверь, коэффициенты на два сета не меняются, но при открытой двери коэффициенты становятся равными 0 и ⁠ 2/3 ⁠ закрытой для двери.

Как говорит Кит Девлин : «Открывая дверь, Монти говорит участнику: «Есть две двери, которые ты не выбирал, и вероятность того, что приз находится за одной из них, равна ⁠ 2 / 3 ⁠ . Я помогу вам, используя свои знания о том, где находится приз, чтобы открыть одну из этих двух дверей и показать вам, что приз не скрывается за ней. Теперь вы можете воспользоваться этой дополнительной информацией. Ваш выбор двери А имеет шанс 1 из 3 стать победителем. Я этого не изменил. Но, исключив дверь С, я показал вам, что вероятность того, что дверь Б скроет приз, равна 2 из 3 » .

Савант предполагает, что решение будет более интуитивным с 1 000 000 дверей, а не с 3. В данном случае имеется 999 999 дверей с козами за ними и одна дверь с призом. После того, как игрок выбирает дверь, ведущий открывает 999 998 оставшихся дверей. В среднем в 999 999 случаях из 1 000 000 приз окажется в оставшейся двери. Интуитивно игрок должен спросить, насколько вероятно, что из миллиона дверей ему изначально удастся выбрать правильную. Стибель и др. предположил, что потребность в рабочей памяти облагается налогом во время проблемы Монти Холла и что это заставляет людей «сжимать» свой выбор на два равновероятных варианта. Они сообщают, что когда количество вариантов увеличивается до более чем 7, люди склонны переключаться чаще; однако большинство участников по-прежнему ошибочно оценивают вероятность успеха как 50%.

Савант и фурор в СМИ

Ты профукал, и ты профукал по-крупному! Поскольку вам, кажется, трудно понять основной принцип, который здесь работает, я объясню. После того, как ведущий покажет козу, у вас есть шанс оказаться правым один к двум. Независимо от того, измените вы свой выбор или нет, шансы одинаковы. В этой стране достаточно математической неграмотности, и нам не нужно, чтобы самый высокий в мире IQ распространялся еще больше. Стыд!

Скотт Смит, Университет Флориды

Савант написала в своей первой колонке о задаче Монти Холла, что игроку следует переключиться. Она получила тысячи писем от своих читателей, подавляющее большинство из которых, в том числе многие от читателей с докторской степенью, не согласились с ее ответом. еще три ее колонки в «Параде» . В 1990–1991 годах парадоксу были посвящены Многочисленные примеры писем читателей колонок Саванта представлены и обсуждаются в книге «Дилемма Монти Холла: когнитивная иллюзия Par Excellence» .

Обсуждение повторялось в других местах (например, в Сесила Адамса « The Straight Dope »). газетной колонке ) и сообщалось в крупных газетах, таких как The New York Times .

Пытаясь прояснить свой ответ, она предложила игру в наперстки. для иллюстрации: «Вы отводите взгляд, а я кладу горошину под одну из трех ракушек. Затем я прошу вас приложить палец к ракушке. Вероятность того, что ваш выбор содержит горошину, равна ⁠ 1/3 , ⁠ ? договорились Затем я просто поднимаю пустую оболочку из двух оставшихся. Поскольку я могу (и буду) делать это независимо от того, что вы выбрали, мы не узнали ничего, что позволило бы нам пересмотреть шансы на ракушке под вашим пальцем». Она также предложила аналогичную симуляцию с тремя игральными картами.

Савант прокомментировала, что, хотя некоторая путаница была вызвана тем, что некоторые читатели не осознавали, что они должны были предполагать, что ведущий всегда должен раскрывать козу, почти все ее многочисленные корреспонденты правильно поняли предположения о проблеме и все еще изначально были убеждены, что ответ Савант ( «переключатель») было неправильным.

Путаница и критика

Источники путаницы

Впервые столкнувшись с проблемой Монти Холла, подавляющее большинство людей предполагают, что каждая дверь имеет равную вероятность, и приходят к выводу, что переключение не имеет значения. Из 228 участников одного исследования только 13% решили переключиться. В своей книге «Сила логического мышления » когнитивный психолог Массимо Пиаттелли Пальмарини пишет: «Никакая другая статистическая головоломка не может так близко одурачить всех людей все время, [и] даже физики, получившие Нобелевскую премию, систематически дают неправильный ответ, и они настаивают на этом, и они готовы ругайте в печати тех, кто предлагает правильный ответ». Голуби, неоднократно сталкивавшиеся с этой проблемой, показывают, что они быстро учатся всегда переключаться, в отличие от людей.

Большинство формулировок задачи, особенно в « Параде» , не соответствуют правилам реального игрового шоу. и не полностью указывать поведение хоста или то, что местоположение автомобиля выбирается случайным образом. Однако Краусс и Ван утверждают, что люди делают стандартные предположения, даже если они не сформулированы явно.

Хотя эти проблемы математически значимы, даже с учетом этих факторов почти все люди по-прежнему думают, что каждая из двух неоткрытых дверей имеет равную вероятность, и приходят к выводу, что переключение не имеет значения. Это предположение о «равной вероятности» является глубоко укоренившейся интуицией. Люди склонны думать, что вероятность равномерно распределена между всеми присутствующими неизвестными, независимо от того, так это или нет.

Проблема продолжает привлекать внимание когнитивных психологов. Типичное поведение большинства, т. е. непереключение, можно объяснить явлениями, известными в психологической литературе как:

1. Эффект владения , при котором люди склонны переоценивать вероятность выигрыша уже выбранной двери, которая уже «принадлежит».
2. Предвзятость статус -кво , в котором люди предпочитают сохранять выбор двери, который они уже сделали.
3. Ошибки бездействия и ошибки комиссионного эффекта, в котором при прочих равных условиях люди предпочитают совершать ошибки бездействием (Остаться), а не действием (Переключиться).

Экспериментальные данные подтверждают, что это правдоподобные объяснения, не зависящие от вероятностной интуиции. Другая возможность состоит в том, что интуиция людей просто имеет дело не с учебниковой версией проблемы, а с реальной обстановкой игрового шоу. Там существует вероятность того, что шоу-мастер лукавит, открывая другие двери только в том случае, если изначально была выбрана дверь с автомобилем. Мастер шоу, играющий обманом, в половине случаев модифицирует шансы на выигрыш в случае, если ему предлагают перейти на «равную вероятность».

Критика простых решений

Как уже отмечалось, большинство источников по теме вероятности , включая многие вводные учебники по вероятностям, решают задачу, показывая условные вероятности того, что машина находится за дверью 1 и дверью 2, равными ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2 / 3 ⁠ (не ⁠ 1/2 ​ ⁠ и ​ ⁠ 1 / 2 ⁠ ) при условии, что участник изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3; различные способы получения и понимания этого результата были приведены в предыдущих подразделах.

Среди этих источников есть несколько, которые открыто критикуют широко представленные «простые» решения, заявляя, что эти решения «правильные, но… шаткие». или не «решать поставленную проблему», или являются «неполными», или являются «неубедительными и вводящими в заблуждение», или являются (наиболее откровенно) «ложными».

Саша Волох (2015) писал, что «любое объяснение, в котором говорится что-то вроде: вероятность открытия двери 1 была ⁠ 1 / 3 ⁠ , и ничто не может изменить это   ...» автоматически становится подозрительным: вероятности — это выражение нашего незнания о мире, и новая информация может изменить степень нашего незнания».

Некоторые говорят, что эти решения отвечают на несколько другой вопрос: одна из формулировок звучит так: «Вы должны объявить, прежде чем откроется дверь , планируете ли вы переключиться».

Простые решения различными способами показывают, что участник, решивший поменяться местами, с вероятностью выиграет машину. ⁠ 2 / 3 ⁠ и, следовательно, переключение является выигрышной стратегией, если игроку приходится заранее выбирать между «всегда переключаться» и «всегда оставаться». Однако вероятность выигрыша при постоянном переключении логически отличается от вероятности выигрыша при переключении, учитывая, что игрок выбрал дверь 1, а хост открыл дверь 3 . Как говорит один источник, «различие между [этими вопросами], похоже, многих сбивает с толку». Тот факт, что они различны, можно показать, изменив задачу так, чтобы эти две вероятности имели разные числовые значения. Например, предположим, что участник знает, что Монти не открывает вторую дверь случайным образом среди всех законных альтернатив, а вместо этого, когда ему предоставляется возможность выбрать между двумя проигрышными дверями, Монти откроет дверь справа. В этой ситуации следующие два вопроса имеют разные ответы:

1. Какова вероятность выиграть машину, всегда переключаясь?
2. Какова вероятность выиграть машину путем переключения, если игрок выбрал дверь 1, а хозяин открыл дверь 3 ?

Ответ на первый вопрос ⁠ 2 / 3 ⁠ , как правильно показывают «простые» решения. Но ответ на второй вопрос теперь другой: условная вероятность того, что машина находится за дверью 1 или дверью 2, если хозяин открыл дверь 3 (дверь справа), равна ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Это связано с тем, что предпочтение Монти самых правых дверей означает, что он открывает дверь 3, если машина находится за дверью 1 (что изначально с вероятностью ⁠ 1 / 3 ⁠ ) или если машина стоит за дверью 2 (тоже изначально с вероятностью ⁠ 1 / 3 ⁠ ). В этом варианте два вопроса дают разные ответы. Частично это связано с тем, что предполагаемое условие второго вопроса (ведущий открывает дверь 3) произойдет только в этом варианте с вероятностью ⁠ 2 / 3 ⁠ . Однако до тех пор, пока начальная вероятность того, что машина находится за каждой дверью, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ , переключение никогда не будет невыгодно участнику, поскольку условная вероятность победы при переключении всегда не менее ⁠ 1 / 2 ⁠ .

В Моргане и др. , статью, четыре профессора университета опубликовали в The American Statistician в которой утверждали, что Савант дал правильный совет, но неверный аргумент. Они считали, что вопрос задается о вероятности появления автомобиля за дверью 2, учитывая первоначальный выбор игроком двери 1 и ведущий игры, открывающий дверь 3, и показали, что этот шанс был чем-то средним между ⁠ 1 / 2 ⁠ и 1 в зависимости от процесса принятия решения принимающей стороной с учетом выбора. Только когда решение полностью рандомизировано, появляется шанс ⁠ 2 / 3 ⁠ .

В приглашенном комментарии и в последующих письмах в редакцию, Морган и др. были поддержаны одними авторами и подвергнуты критике со стороны других; в каждом случае ответ Моргана и др. публикуется вместе с письмом или комментарием в журнале The American Statistician . В частности, Савант энергично защищалась. Морган и др. жаловались в своем ответе Savant что Савант так и не ответил на их основную мысль. Позже в своем ответе Хогбину и Нейдаму: они согласились с тем, что было естественно предположить, что ведущий выбирает дверь, которая будет открыта совершенно случайным образом, когда у него есть выбор, и, следовательно, что условная вероятность выигрыша путем переключения (т. е. условная, учитывая ситуацию, в которой находится игрок, когда ему предстоит сделать свой выбор) имеет ту же ценность, ⁠ 2/3 . ⁠ ) , как безусловная вероятность выигрыша при переключении (т. е. усредненная по всем возможным ситуациям Это равенство уже подчеркивалось Беллом (1992), который предположил, что математически сложное решение Моргана и др. понравится только статистикам, тогда как эквивалентность условного и безусловного решений в случае симметрии была интуитивно очевидна.

В литературе существуют разногласия относительно того, ставит ли формулировка проблемы Саванта, представленную в «Параде» , первый или второй вопрос, и является ли это различие значительным. Берендс заключает, что «необходимо внимательно рассмотреть этот вопрос, чтобы убедиться, что оба анализа верны»; это не значит, что они одинаковы. Несколько критиков статьи Моргана и др. , чьи материалы были опубликованы вместе с оригинальной статьей, раскритиковал авторов за изменение формулировки Савант и неправильное толкование ее намерений. Один участник дискуссии (Уильям Белл) посчитал делом вкуса, следует ли явно упоминать, что (согласно стандартным условиям) то, какую дверь открывает ведущий, не зависит от того, следует ли кому-то переключиться.

Среди простых решений «решение с комбинированными дверями» ближе всего к условному решению, как мы видели при обсуждении методов, использующих концепцию шансов и теорему Байеса. Он основан на глубоко укоренившейся интуиции, согласно которой раскрытие уже известной информации не влияет на вероятности . Но знание того, что ведущий может открыть одну из двух невыбранных дверей, чтобы показать козу, не означает, что открытие конкретной двери не повлияет на вероятность того, что машина находится за изначально выбранной дверью. Дело в том, что, хотя мы заранее знаем, что хозяин откроет дверь и покажет козла, мы не знаем, какую дверь он откроет. Если хост равномерно случайным образом выбирает между дверями, скрывающими козу (как в стандартной интерпретации), эта вероятность действительно остается неизменной, но если хост может выбирать неслучайно между такими дверями, то конкретная дверь, которую открывает хост раскрывает дополнительную информацию. Хозяин всегда может открыть дверь, обнаружив козу , и (в стандартной интерпретации задачи) вероятность того, что машина окажется за изначально выбранной дверью, не изменится, но не из -за первого истинно второе. Решения, основанные на утверждении, что действия хозяина не могут повлиять на вероятность того, что автомобиль находится позади изначально выбранного, кажутся убедительными, но это утверждение просто неверно, если только оба из двух вариантов хозяина не равновероятны, если у него есть выбор. Следовательно, это утверждение должно быть обосновано; без объяснения причин решение в лучшем случае будет неполным. Ответ может быть правильным, но аргументация, используемая для его обоснования, ошибочна.

Решения с использованием условной вероятности и другие решения

Приведенные выше простые решения показывают, что игрок, использующий стратегию переключения, с общей вероятностью выиграет машину. ⁠ 2/3 т. е. без учёта того , ⁠ , какую дверь открыл ведущий. В соответствии с этим большинство источников по теме вероятности рассчитывают условные вероятности того, что автомобиль находится за дверью 1 и дверью 2, как ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2 / 3 ⁠ соответственно, если участник изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3. Решения в этом разделе рассматривают только те случаи, когда игрок выбрал дверь 1, а ведущий открыл дверь 3.

Уточнение простого решения

Если мы предположим, что хост открывает дверь случайным образом, когда ему предоставляется выбор, то то, какая дверь открывает хост, вообще не дает нам никакой информации о том, находится ли машина за дверью 1. В простых решениях мы уже наблюдали что вероятность того, что машина находится за дверью 1, изначально выбранной игроком, изначально равна ⁠ 1 / 3 ⁠ . Более того, хост наверняка собирается открыть (другую) дверь , поэтому открытие двери ( какая дверь не указана) не меняет этого. ⁠ 1/3 должна быть средней вероятностью того, что машина находится за дверью 1 , ⁠ если хост выбрал дверь 2 и если хост выбрал дверь 3 , поскольку это единственные две возможности. Но эти две вероятности одинаковы. Следовательно, они оба равны ⁠ 1 / 3 ⁠ . Это показывает, что вероятность того, что машина находится за дверью 1, учитывая, что игрок изначально выбрал эту дверь и если ведущий открыл дверь 3, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ , и отсюда следует, что вероятность того, что машина окажется за дверью 2, учитывая, что игрок изначально выбрал дверь 1, а ведущий открыл дверь 3, равна ⁠ 2 / 3 ⁠ . Анализ также показывает, что общий уровень успеха ⁠ 2 / 3 ⁠ , достигаемый постоянным переключением , не может быть улучшен и подчеркивает то, что уже, возможно, было интуитивно очевидно: выбор, стоящий перед игроком, заключается в том, что между первоначально выбранной дверью и другой дверью, оставленной закрытой ведущим, конкретные номера на этих дверях не имеют значения.

Условная вероятность прямым расчетом

Дерево, показывающее вероятность каждого возможного исхода, если игрок изначально выбирает Дверь 1. Пространство выборки состоит ровно из 4 возможных исходов .

По определению, условная вероятность победы путем переключения при условии, что участник изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3, равна вероятности события «машина находится за дверью 2, а ведущий открывает дверь 3», деленной на вероятность «ведущий открывает дверь». 3". Эти вероятности можно определить, обратившись к приведенной ниже таблице условных вероятностей или к эквивалентному дереву решений . Условная вероятность выигрыша при переключении равна ⁠ 1/3 / 1/3 + 1/6 ⁠ , что ⁠ 2 / 3 ⁠ .

Приведенная ниже таблица условной вероятности показывает, как 300 случаев, во всех из которых игрок изначально выбирает дверь 1, будут разделены в среднем в зависимости от местоположения автомобиля и выбора двери, которую хочет открыть ведущий.

Автомобиль спрятан за дверью 3 (в среднем 100 случаев из 300)	Автомобиль спрятан за дверью 1 (в среднем 100 случаев из 300)		Автомобиль спрятан за дверью 2 (в среднем 100 случаев из 300)
Игрок изначально выбирает Дверь 1, 300 повторений.
Хозяин должен открыть Дверь 2 (100 ящиков)	Хозяин случайно открывает Дверь 2 (в среднем 50 случаев)	Хозяин случайно открывает Дверь 3 (в среднем 50 случаев)	Хозяин должен открыть Дверь 3 (100 ящиков)
Вероятность ⁠ 1 / 3 ⁠ (100 из 300)	Вероятность ⁠ 1 / 6 ⁠ (50 из 300)	Вероятность ⁠ 1 / 6 ⁠ (50 из 300)	Вероятность ⁠ 1 / 3 ⁠ (100 из 300)
Переключение побед	Переключение теряет	Переключение теряет	Переключение побед
В тех случаях, когда ведущий открывает Дверь 2, Переключение выигрывает в два раза чаще, чем сохранение (100 случаев против 50).		В тех случаях, когда ведущий открывает Дверь 3, Переключение выигрывает в два раза чаще, чем сохранение (100 случаев против 50).

Теорема Байеса

Основная статья: теорема Байеса

Во многих учебниках и статьях по теории вероятностей решение по условной вероятности выводится посредством формального применения теоремы Байеса ; среди них книги Гилла и Хенце. Использование формы шансов теоремы Байеса, часто называемой правилом Байеса, делает такой вывод более прозрачным.

Изначально машина с равной вероятностью находится за любой из трех дверей: шансы на дверь 1, дверь 2 и дверь 3 равны 1:1:1 . Это остается так и после того, как игрок выбрал дверь 1 в силу независимости. Согласно правилу Байеса , апостериорные шансы на местонахождение автомобиля, учитывая, что ведущий открывает дверь 3, равны априорным шансам, умноженным на байесовский фактор или правдоподобие, которое по определению является вероятностью появления новой фигуры. информации (ведущий открывает дверь 3) по каждой из рассматриваемых гипотез (местонахождение автомобиля). Теперь, поскольку игрок изначально выбрал дверь 1, вероятность того, что хост откроет дверь 3, составляет 50 %, если машина находится за дверью 1, 100 %, если машина находится за дверью 2, и 0 %, если машина находится за дверью 3. Таким образом, фактор Байеса состоит из отношений ⁠ 1/2 1 : ⁠ : 1 : 0 или, что эквивалентно, 2 : 0 , тогда как предыдущие коэффициенты составляли 1 : 1 : 1 . Таким образом, апостериорные шансы становятся равными байесовскому фактору 1:2:0 . Учитывая, что хост открыл дверь 3, вероятность того, что машина находится за дверью 3, равна нулю, и вероятность того, что машина окажется за дверью 2, в два раза выше, чем за дверью 1.

Ричард Гилл анализирует вероятность того, что хост откроет дверь 3 следующим образом. Учитывая, что машина не находится за дверью 1, с равной вероятностью она находится за дверью 2 или 3. Следовательно, вероятность того, что хозяин откроет дверь 3, равна 50%. Учитывая, что машина находится за дверью 1, вероятность того, что хост откроет дверь 3, также равна 50%, поскольку, когда у хоста есть выбор, любой выбор одинаково вероятен. Следовательно, независимо от того, находится ли машина за дверью 1, вероятность того, что хозяин откроет дверь 3, составляет 50%. Информация «хост открывает дверь 3» вносит вклад в коэффициент Байеса или отношение правдоподобия 1:1 , определяющее, находится ли машина за дверью 1. Первоначально шансы на то, что дверь 1 скроет машину, составляли 2:1 . Таким образом, апостериорные шансы на то, что дверь 1 скрывает машину, остаются такими же, как и предыдущие шансы, 2:1 .

Другими словами, информация о том, какую дверь открывает ведущий (дверь 2 или дверь 3?), вообще не дает никакой информации о том, находится ли машина за дверью 1, и это именно то, что якобы интуитивно очевидно для сторонников простые решения или использование идиом математических доказательств «очевидно верно в силу симметрии».

Решение стратегического доминирования

Возвращаясь в Нэйлбафф, Проблема Монти Холла также много изучена в литературе по теории игр и теории принятия решений , а также некоторые популярные решения соответствуют этой точке зрения. Савант просит решения, а не шанса. А случайные аспекты того, как спрятана машина и как открывается невыбранная дверь, неизвестны. С этой точки зрения следует помнить, что у игрока есть две возможности сделать выбор: во-первых, какую дверь выбрать изначально; и во-вторых, переключаться или нет. Поскольку он не знает, как спрятана машина и как ведущий делает выбор, он может воспользоваться возможностью первого выбора, как бы нейтрализовать действия команды, проводящей викторину, включая ведущего.

Вслед за Джиллом стратегия участника включает в себя два действия : первоначальный выбор двери и решение переключиться (или остаться), которое может зависеть как от первоначально выбранной двери, так и от двери, на которую ведущий предлагает переключение. Например, стратегия одного участника такова: «выберите дверь 1, затем переключитесь на дверь 2, когда она будет предложена, и не переключайтесь на дверь 3, когда она будет предложена». Существует двенадцать таких детерминистических стратегий участника.

Элементарное сравнение стратегий участников показывает, что для каждой стратегии А существует другая стратегия Б «выбери дверь, затем поменяй ее, что бы ни случилось», которая доминирует в ней. Независимо от того, как спрятана машина и какое правило использует ведущий, когда у него есть выбор между двумя козлами, если А выигрывает машину, то выигрывает и Б. Например, стратегия A «выберите дверь 1, а затем всегда придерживайтесь ее» доминирует над стратегией B «выберите дверь 2, а затем всегда переключайтесь после того, как ведущий покажет дверь»: A выигрывает, когда дверь 1 скрывает машину, а B выигрывает, когда либо Двери 1 или 3 скрывают автомобиль. Аналогичным образом, стратегия А «выберите дверь 1, затем переключитесь на дверь 2 (если она предлагается), но не переключайтесь на дверь 3 (если она предлагается)» доминирует над стратегией B «выберите дверь 2, а затем всегда переключайтесь». Игрок А выигрывает, когда дверь 1 скрывает машину, а Монти решает открыть дверь 2 или если дверь 3 скрывает машину. Стратегия B выигрывает, когда дверь 1 или дверь 3 скрывают машину, то есть всякий раз, когда выигрывает А плюс случай, когда дверь 1 скрывает машину, а Монти решает открыть дверь 3.

Доминирование — веская причина искать решение среди постоянно меняющихся стратегий при довольно общих предположениях об окружающей среде, в которой участник принимает решения. В частности, если автомобиль спрятан с помощью какого-либо устройства рандомизации – например, бросания симметричного или асимметричного трехгранного кубика – доминирование подразумевает, что стратегия, максимизирующая вероятность выигрыша автомобиля, будет среди трех постоянно переключающихся стратегий, а именно: быть стратегией, которая первоначально выбирает наименее вероятную дверь, а затем переключается независимо от того, какую дверь для переключения предлагает хост.

Стратегическое доминирование связывает проблему Монти Холла с теорией игр . В игре с нулевой суммой Гилла отказ от непереключающихся стратегий сводит игру к следующему простому варианту: ведущий (или телевизионная команда) решает, за какую дверь спрятать машину, а участник выбирает две двери (т. е. две двери, оставшиеся после первого , номинал, выбор). Участница побеждает (а ее соперник проигрывает), если машина находится за одной из двух выбранных ею дверей.

Решения путем моделирования

Моделирование 29 исходов задачи Монти Холла

Простой способ продемонстрировать, что стратегия переключения действительно приносит выигрыш в двух случаях из трех при стандартных предположениях, — это смоделировать игру с игральными картами . Три карты из обычной колоды обозначают три двери; одна «специальная» карта представляет дверь с машиной, а две другие карты представляют двери козла.

Симуляцию можно повторить несколько раз, чтобы смоделировать несколько раундов игры. Игрок выбирает одну из трех карт, затем, глядя на оставшиеся две карты, «ведущий» сбрасывает карту козла. Если карта, оставшаяся в руке хозяина, является картой автомобиля, это записывается как выигрыш при переключении; если у хозяина есть карта козла, раунд засчитывается как неизменная победа. Поскольку этот эксперимент повторяется в течение нескольких раундов, наблюдаемый процент выигрышей для каждой стратегии, вероятно, будет приближаться к ее теоретической вероятности выигрыша, что соответствует закону больших чисел .

Повторные игры также проясняют, почему переключение является лучшей стратегией. После того, как игрок выбирает свою карту, уже определяется, принесет ли переключение игроку победу в раунде. Если это не убедительно, симуляцию можно провести со всей колодой. В этом варианте карта автомобиля попадает к хосту 51 раз из 52 и остается у хоста независимо от того, сколько карт, не связанных с автомобилем, будет сброшено.

Варианты

Распространенный вариант проблемы, который некоторые академические авторы считают канонической , не предполагает упрощающего предположения о том, что хозяин должен единообразно выбирать дверь, которую нужно открыть, а вместо этого использует какую-то другую стратегию . Путаница относительно того, какая формализация является авторитетной, привела к значительной резкости, особенно потому, что этот вариант делает доказательства более сложными, не изменяя при этом оптимальности стратегии постоянного переключения для игрока. В этом варианте игрок может иметь разные вероятности выигрыша в зависимости от наблюдаемого выбора хоста, но в любом случае вероятность выигрыша путем переключения не менее ⁠ 1 / 2 ⁠ (и может достигать 1), в то время как общая вероятность выигрыша при переключении по-прежнему точно равна ⁠ 2 / 3 ⁠ . Варианты иногда последовательно представлены в учебниках и статьях, предназначенных для обучения основам теории вероятностей и теории игр . Было изучено также значительное число других обобщений.

Другое поведение хоста

В версии задачи Монти Холла, опубликованной в журнале Parade в 1990 году, конкретно не указывалось, что ведущий всегда будет открывать другую дверь, или всегда предлагать выбор, чтобы переключиться, или даже никогда не открывать дверь, обнажая машину. Однако в своей второй последующей колонке Савант ясно дала понять, что поведение предполагаемого носителя могло быть только тем, что привело к ⁠ 2/3 , вероятность ⁠ которую она указала в качестве первоначального ответа. «Все остальное — это другой вопрос». «Практически все мои критики понимали предполагаемый сценарий. Я лично прочитал почти три тысячи писем (из многих дополнительных тысяч, которые поступили) и обнаружил, что почти каждое из них просто настаивало на том, что, поскольку остаются два варианта (или эквивалентная ошибка), шансы были даже очень немногие поднимали вопросы о двусмысленности, и письма, фактически опубликованные в колонке, не были среди этих немногих». Ответ следует: если машина случайно размещена за любой дверью, ведущий должен открыть дверь, за которой находится коза, независимо от первоначального выбора игрока, и, если доступны две двери, выбирает, какую из них открыть случайным образом. В таблице ниже показано множество других возможных вариантов поведения хоста и их влияние на успешность переключения.

Определение лучшей стратегии игрока в рамках заданного набора других правил, которым должен следовать хост, — это тип проблемы, изучаемой в теории игр . Например, если от хоста не требуется предлагать замену, игрок может заподозрить, что хост является злонамеренным, и делает предложения чаще, если игрок изначально выбрал машину. В общем, ответ на такого рода вопросы зависит от конкретных предположений, сделанных о поведении хоста, и может варьироваться от «полного игнорирования хоста» до «подбросить монету и переключиться, если выпадет орел»; см. последнюю строку таблицы ниже.

Морган и др. и Гиллман оба показывают более общее решение, в котором машина размещается (равномерно) случайным образом, но хост не обязан выбирать равномерно случайным образом, если игрок изначально выбрал машину, и именно так они оба интерпретируют постановку задачи в Parade, несмотря на мнение автора. отказ от ответственности. Оба изменили формулировку версии Parade , чтобы подчеркнуть этот момент, когда они еще раз изложили проблему. Они рассматривают сценарий, в котором хост выбирает между раскрытием двух козлов с предпочтением, выраженным как вероятность q , имеющая значение от 0 до 1. Если хост выбирает случайным образом, q будет ⁠ 1 / 2 ⁠ и переключение побед с вероятностью ⁠ 2/3 того , ⁠ независимо от какую дверь откроет ведущий. Если игрок выбирает дверь 1, а предпочтение хоста двери 3 равно q , то вероятность того, что хост откроет дверь 3 и машина окажется за дверью 2, равна ⁠ 1 / 3 ⁠ , а вероятность того, что хост откроет дверь 3, а машина окажется за дверью 1, равна ⁠ q / 3 ⁠ . Это единственные случаи, когда хост открывает дверь 3, поэтому условная вероятность выигрыша при переключении при условии, что хост открывает дверь 3, равна ⁠ 1/3 / 1/3 + q /3 ⁠ что упрощается до ⁠ 1 / 1 + q ⁠ . Поскольку q может варьироваться от 0 до 1, эта условная вероятность может варьироваться от ⁠ 1 / 2 ⁠ и 1. Это означает, что даже без ограничения хоста на случайный выбор, если игрок изначально выбирает машину, игроку никогда не будет хуже при переключении. Однако ни один из источников не предполагает, что игрок знает, каково значение q , поэтому игрок не может приписать вероятность, отличную от ⁠ 2/3 , ⁠ . как предполагал Савант, было неявным

Возможное поведение хоста при неопределенной проблеме
Поведение хоста	Результат
Хост действует так, как указано в конкретной версии проблемы.	Переключение выигрывает машину в двух третях случаев. (Частный случай приведенной ниже обобщенной формы с p = q = ⁠ 1 / 2 ⁠ )
Ведущий всегда раскрывает козу и всегда предлагает подмену. Если и только если у него есть выбор, он выбирает крайнего левого козла с вероятностью p (которая может зависеть от первоначального выбора игрока) и крайнюю правую дверь с вероятностью q = 1 − p .	Если хост открывает самую правую ( P=1/3 + q /3 ) дверь, переключение выигрывает с вероятностью 1/(1+ q ). И наоборот, если хост открывает крайнюю левую дверь, переключение выигрывает с вероятностью 1/(1+ p ). Всегда переключение представляет собой сумму следующих: (1/3 + q /3) / (1+ q ) + (1/3 + p /3) / (1+ p ) = 1/3 + 1/3 = 2/ 3 .
«Монти из ада»: ведущий предлагает возможность переключения только в том случае, если первоначальный выбор игрока — выигрышная дверь.	Переключение всегда приводит к козлу.
«Читающий мысли Монти»: ведущий предлагает возможность переключиться на случай, если гость все равно решит остаться или если гость переключится на козла.	Переключение всегда приводит к козлу.
«Ангельский Монти»: ведущий предлагает возможность переключения только в том случае, если игрок сделал неправильный выбор.	Переключение всегда выигрывает у машины.
«Монти Фолл» или «Невежественный Монти»: ведущий не знает, что находится за дверями, и открывает одну наугад, но при этом не обнаруживает машину.	Переключение выигрывает машину в половине случаев.
Ведущий знает, что скрывается за дверями, и (перед выбором игрока) случайным образом выбирает, какую козу раскрыть. Он предлагает возможность переключения только в том случае, если выбор игрока отличается от его.	Переключение выигрывает машину в половине случаев.
Ведущий открывает дверь и предлагает поменяться в 100% случаев, если участник изначально выбрал машину, и в 50% случаев в противном случае.	Переключение побед ⁠ 1/2 ⁠ достижения . время Нэша равновесия
Четырехэтапная теоретико-игровая игра для двух игроков. Игрок играет против организаторов шоу (телеканала), в состав которых входит ведущий. Первый этап: организаторы выбирают дверь (выбор держится в секрете от игрока). Второй этап: игрок делает предварительный выбор двери. Третий этап: ведущий открывает дверь. Четвертый этап: игрок делает окончательный выбор. Игрок хочет выиграть машину, телеканал хочет ее оставить себе. Это игра двух человек с нулевой суммой. Согласно теореме фон Неймана из теории игр , если мы допускаем полностью рандомизированные стратегии обеих сторон, существует минимаксное решение или равновесие Нэша .	Минимаксное решение ( равновесие Нэша ): машина сначала равномерно и случайным образом скрывается, а затем хост выбирает однородную случайную дверь, которую нужно открыть, не раскрывая машину и отличную от двери игрока; игрок сначала выбирает единую случайную дверь, а затем всегда переключается на другую закрытую дверь. С его стратегией шанс на победу игрока составляет не менее ⁠ 2 / 3 ⁠ , однако телеканал играет; при стратегии телестанции телестанция проиграет с вероятностью не более ⁠ 2 / 3 ⁠ , как бы ни играл игрок. Тот факт, что эти две стратегии совпадают (по крайней мере ⁠ 2 / 3 ⁠ , максимум ⁠ 2 / 3 ⁠ ) доказывает, что они образуют минимаксное решение.
Как и раньше, но теперь у хозяина есть возможность вообще не открывать дверь.	Минимаксное решение ( равновесие Нэша ): сначала машина спрятана равномерно и случайным образом, а хозяин позже никогда не открывает дверь; игрок сначала выбирает дверь равномерно случайным образом, а затем никогда не переключается. Стратегия игрока гарантирует шанс на выигрыш не менее ⁠ 1 / 3 ⁠ . Стратегия телеканала гарантирует вероятность проигрыша не более ⁠ 1 / 3 ⁠ .
Случай «сделка» или «нет сделки» : ведущий просит игрока открыть дверь, а затем предлагает переключатель на случай, если машина не была обнаружена.	Переключение выигрывает машину в половине случаев.

N дверей

Д.Л. Фергюсон (1975, в письме Селвину) ) предлагает N -дверное обобщение исходной задачи, в котором ведущий открывает p проигрышных дверей, а затем предлагает игроку возможность переключиться; в этом варианте переключение выигрывает с вероятностью ${\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N-1}{N-p-1}}$. Эта вероятность всегда больше, чем ${\frac {1}{N}}$, поэтому переключение всегда приносит преимущество.

Даже если хозяин откроет только одну дверь ( $p=1$), игроку в любом случае лучше переключиться. По мере N преимущество уменьшается и приближается к нулю. увеличения С другой стороны, если хост открывает все проигрышные двери, кроме одной ( p = N − 2), преимущество увеличивается по мере увеличения N (вероятность выигрыша путем переключения равна ⁠ N − 1 / N ⁠ , которое приближается к 1 по мере того, как N становится очень большим).

Квантовая версия

Квантовая версия парадокса иллюстрирует некоторые моменты, касающиеся связи между классической или неквантовой информацией и квантовой информацией , закодированной в состояниях квантово-механических систем. Формулировка во многом основана на квантовой теории игр . Три двери заменены квантовой системой, допускающей три альтернативы; открыть дверь и заглянуть за нее переводится как проведение определенного измерения. Правила могут быть изложены на этом языке, и снова перед игроком остается выбор: придерживаться первоначального выбора или перейти к другому «ортогональному» варианту. Последняя стратегия, как и в классическом случае, удваивает шансы. Однако, если ведущий шоу не рандомизировал положение приза полностью квантово-механическим способом, игрок может добиться еще большего, а иногда даже с уверенностью выиграть приз.

История

Самая ранняя из нескольких вероятностных загадок, связанных с проблемой Монти Холла, — это парадокс ящика Бертрана , сформулированный Жозефом Бертраном в 1889 году в его «Исчислении вероятностей» . В этой головоломке есть три коробки: коробка с двумя золотыми монетами, коробка с двумя серебряными монетами и коробка с каждой из них. После случайного выбора коробки и случайного извлечения одной монеты, которая оказалась золотой, возникает вопрос, какова вероятность того, что другая монета окажется золотой. Как и в задаче Монти Холла, интуитивный ответ таков: ⁠ 1 / 2 ⁠ , но вероятность на самом деле равна ⁠ 2 / 3 ⁠ .

Задача трёх узников , опубликованная в Мартина Гарднера « Математические игры» колонке в журнале Scientific American в 1959 году. эквивалентно проблеме Монти Холла. В этой проблеме участвуют трое осужденных заключенных, один из которых был тайно выбран для помилования. Один из заключенных умоляет надзирателя назвать ему имя одного из казненных, утверждая, что это не дает никакой информации о его собственной судьбе, но увеличивает его шансы на помилование. ⁠ 1 / 3 ⁠ до ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Надзиратель обязывает (тайно) подбросить монету, чтобы решить, какое имя назвать, если просящий заключенный действительно помилован. Вопрос в том, изменит ли знание ответа надзирателя шансы заключенного на помилование. Эта проблема эквивалентна проблеме Монти Холла; у заключенного, задающего вопрос, все еще есть ⁠ 1 / 3 ⁠ шанс на помилование, но у его неназванного коллеги есть ⁠ 2/3 ​ ⁠ шанс .

Стив Селвин изложил проблему Монти Холла в двух письмах в журнал The American Statistician в 1975 году. В первом письме проблема была представлена ​​в версии, близкой к ее представлению в «Параде» 15 лет спустя. Второе, по-видимому, является первым использованием термина «проблема Монти Холла». Проблема на самом деле является экстраполяцией из игрового шоу. Монти Холл действительно открыл не ту дверь, чтобы вызвать ажиотаж, но предложил заведомо меньший приз – например, 100 долларов наличными – вместо возможности сменить дверь. Как Монти Холл писал Селвину:

И если вы когда-нибудь попадете на мое шоу, правила для вас останутся неизменными – никаких обменов коробками после отбора.

— Монти Холл

Версия задачи, очень похожая на ту, что появилась три года спустя в «Параде», была опубликована в 1987 году в разделе «Загадки» журнала «The Journal of Economic Perspectives» . Нейлебафф, как и более поздние авторы по математической экономике, рассматривает эту проблему как простое и забавное упражнение в теории игр .

«Ловушка Монти Холла», статья Филлипа Мартина в Bridge Today в 1989 году , представила проблему Сельвина как пример того, что Мартин называет вероятностной ловушкой, когда неслучайную информацию рассматривают как случайную, и связывает это с концепциями игры в бридж. .

Переформулированная версия проблемы Селвина появилась в в сентябре Parade колонке вопросов и ответов Мэрилин вос Савант в журнале 1990 года. Хотя Савант дала правильный ответ, что переход позволит выиграть в двух третях случаев, по ее оценкам, журнал получил 10 000 писем, в том числе около 1000 за подписью докторов наук, многие на бланках факультетов математики и естественных наук, в которых говорилось, что ее решение неверно. Из-за огромного количества откликов Parade опубликовал беспрецедентные четыре колонки, посвящённые этой проблеме. В результате огласки проблема получила альтернативное название «Мэрилин и козы».

В ноябре 1990 года столь же спорное обсуждение статьи Саванта состоялось в Сесила Адамса колонке « The Straight Dope ». Сначала Адамс неправильно ответил, что шансы на две оставшиеся двери должны быть равны одному к двум. После того, как читатель написал письмо с просьбой исправить математические ошибки в анализе Адамса, Адамс согласился, что математически он был неправ. «Вы выбираете дверь №1. Теперь вам предлагается выбор: открыть дверь №1 или открыть дверь №2 и дверь №3. В последнем случае вы сохраняете приз, если он находится за любой дверью. два из трех шансов на приз, а не один из трех, не так ли? Если подумать, исходная задача предлагает вам, по сути, тот же выбор, о котором говорит Монти: вы можете оставить себе одну дверь или? две другие двери ты можешь оставить себе, одну из них (непризовую) я тебе открою». Адамс сказал, что версия Parade оставила неустановленными критические ограничения, и без этих ограничений шансы на победу путем переключения не обязательно составляли два из трех (например, было бы неразумно предполагать, что ведущий всегда открывает дверь). Однако многочисленные читатели написали, что Адамс был «прав с первого раза» и что правильные шансы составляли один из двух.

Колонка «Парад» и ее ответ привлекли значительное внимание прессы, включая статью на первой полосе «Нью-Йорк Таймс», в которой Монти Холл . давал интервью сам Холл понял проблему, продемонстрировав репортеру использование ключей от машины и объяснив, чем реальная игра в « Давайте заключим сделку» отличается от правил головоломки. В статье Холл отметил, что, поскольку он контролировал ход игры, играя на психологии участника, теоретическое решение не применимо к реальному игровому процессу шоу. Он сказал, что не удивлен настойчивым утверждением экспертов о том, что вероятность равна 1 из 2. «То же самое предположение сделали бы участники шоу после того, как я показал им, что за одной дверью ничего нет», - сказал он. «Они думали, что шансы на их дверь теперь возросли до 1 к 2, поэтому им не хотелось отказываться от двери, сколько бы денег я ни предлагал. Открывая эту дверь, мы оказывали давление. Мы назвали это Генри Джеймсом» . Это был « Поворот винта ». Холл пояснил, что как ведущий игрового шоу он не обязан следовать правилам головоломки в колонке «Савант» и не всегда должен давать человеку возможность переключиться (например, он может немедленно открыть дверь, если это был проигрышный вариант). дверь, может предложить им деньги, чтобы они не переключались с проигрышной двери на выигрышную, или может предоставить им возможность переключиться, только если у них есть выигрышная дверь). «Если от хозяина требуется все время открывать дверь и предлагать вам переключиться, то вам следует воспользоваться переключателем», — сказал он. «Но если у него есть выбор, разрешить переключение или нет, будьте осторожны. Будьте осторожны. Все зависит от его настроения».

В литературе

Эндрю Крами Роман «Мистер Ми» (2000) содержит версию задачи Монти Холла, возникшую в 18 веке. В главе 1 она представлена ​​как игра в наперстки, которую заключенный должен выиграть, чтобы спасти свою жизнь. В главе 8 философ Розье, его ученик Тиссо и жена Тиссо проверяют вероятности с помощью моделирования и проверяют противоречивый результат. Затем они проводят эксперимент с черными и белыми бусами, напоминающий парадокс мальчика или девочки , и в юмористическом намеке на парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена Розье ошибочно заключает, что «как только я увидел свою собственную бусину, волна чистой вероятности мгновенно перелетел из одного конца комнаты в другой. Этим и объясняется внезапное изменение с двух третей до половины, поскольку конечный квант вероятности (весом в одну шестую) чудесным образом прошел между бусинами, запущенными моим собственным действием. наблюдения». Розье объясняет свою теорию Тиссо, но «его плохое понимание моих теорий проявилось несколько дней спустя, когда, когда его сестра собиралась рожать, Тиссо заплатил за то, чтобы девочку отправили в комнату, полагая, что это сделает новорожденного дважды Однако у моего ученика появилась племянница, и мне не составило труда объяснить ошибочность его рассуждений. Тиссо просто неправильно понял мой замечательный Парадокс близнецов, в котором говорится, что если мальчик говорит вам, что у него есть брат или сестра. , то вероятность того, что это сестра, равна не половине, а двум третям». Далее следует версия неожиданного парадокса зависания .

В главе 101 Марка Хэддона книги «Загадочное ночное происшествие с собакой» (2003) рассказчик Кристофер обсуждает проблему Монти Холла, описывая ее историю и решение. Он заключает: «И это показывает, что интуиция иногда может ошибаться. А интуиция — это то, что люди используют в жизни для принятия решений. Но логика может помочь вам найти правильный ответ».

См. также

• Разрушители мифов Серия 177 «Колесо мифов» – Выберите дверь
• Принцип ограниченного выбора - аналогичное применение байесовского обновления в контрактном мосту

Подобные загадки в теории вероятностей и решений

• Парадокс мальчика или девочки
• Проблема Спящей Красавицы
• Проблема с двумя конвертами

Ссылки

Библиография

• Адамс, Сесил (2 ноября 1990 г.). «В «Давайте заключим сделку » вы выбираете дверь №1. Монти открывает дверь №2 – приза нет. Вы остаетесь с дверью №1 или переключаетесь на №3?» . Прямой наркотик . Проверено 25 июля 2005 г.
• Барбо, Эдвард (1993). «Заблуждения, недостатки и обман: проблема автомобиля и коз». Математический журнал колледжа . 24 (2): 149–154. дои : 10.1080/07468342.1993.11973519 .
• Берендс, Эрхард (2008). Пятиминутная математика . Книжный магазин АМС. п. 57. ИСБН  978-0-8218-4348-2 .
• Белл, Уильям (август 1992 г.). «Комментарий к книге « Давайте заключим сделку» Моргана и др .». Американский статистик . 46 (3): 241. JSTOR   2685225 .
• Карлтон, Мэтью (2005). «Родословные, награды и узники: неправильное использование условной вероятности» . Журнал статистического образования . 13 (2). дои : 10.1080/10691898.2005.11910554 . S2CID   118792491 .
• Чун, Янг Х. (1991). «Проблема игрового шоу». ОР/МС сегодня . 18 (3): 9.
• Д'Ариано, генеральный менеджер; Гилл, Р.Д.; Кейл, М.; Кюммерер, Б.; Маассен, Х.; Вернер, РФ (21 февраля 2002 г.). «Квантовая проблема Монти Холла». Квант. Инф. Вычислить . 2 (5): 355–366. arXiv : Quant-ph/0202120 . Бибкод : 2002quant.ph..2120D .
• Девлин, Кейт (июль – август 2003 г.). «Ракурс Девлина: Монти Холл» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 23 июня 2014 г.
• Девлин, Кейт (декабрь 2005 г.). «Ракурс Девлина: возвращение к Монти Холлу» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 23 июня 2014 г.
• Эйзенхауэр, Джозеф Г. (2001). «Матрица Монти Холла» (PDF) . Преподавание статистики . 22 (1): 17–20. дои : 10.1111/1467-9639.00005 . S2CID   119577759 . Архивировано из оригинала (PDF) 1 марта 2012 года . Проверено 9 июля 2012 года .
• Энслин, Торстен А.; Вестеркамп, Маргрет (апрель 2018 г.). «Рациональность иррациональности в проблеме Монти Холла». Аннален дер Физик . 531 (3): 1800128. arXiv : 1804.04948 . Бибкод : 2019АнП...53100128Е . дои : 10.1002/andp.201800128 . S2CID   56036255 .
• Фальк, Рума (1992). «Более пристальный взгляд на вероятности пресловутых трех заключенных». Познание . 43 (3): 197–223. дои : 10.1016/0010-0277(92)90012-7 . ПМИД   1643813 . S2CID   39617738 .
• Флитни, Адриан П. и Эбботт, Дерек (2002). «Квантовая версия проблемы Монти Холла». Физический обзор А. 65 (6): 062318. arXiv : quant-ph/0109035 . Бибкод : 2002PhRvA..65f2318F . дои : 10.1103/PhysRevA.65.062318 . S2CID   119417490 . Искусство. № 062318, 2002 г.
• Фокс, Крейг Р. и Левав, Джонатан (2004). «Подсчет редактирования разделов: наивные экстенсиональные рассуждения при оценке условной вероятности» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие сведения . 133 (4): 626–642. дои : 10.1037/0096-3445.133.4.626 . ПМИД   15584810 . Архивировано из оригинала (PDF) 10 апреля 2020 года.
• Гарднер, Мартин (октябрь 1959а). «Математические игры». Научный Американ : 180–182. Перепечатано во второй книге математических головоломок и развлечений Scientific American. {{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Гарднер, Мартин (ноябрь 1959b). «Математические игры». Научный Американ : 188.
• Гарднер, Мартин (1982). Ага! Попался: парадоксы, которые вызывают загадку и восторг . У. Х. Фриман. ISBN  978-0716713616 .
• Гилл, Джефф (2002). Байесовские методы . ЦРК Пресс. стр. 8–10. ISBN  1-58488-288-3 . ( ограниченная онлайн-копия , стр. 8, в Google Книгах )
• Гилл, Ричард (2010). «Проблема Монти Холла». Международная энциклопедия статистической науки . Спрингер. стр. 858–863. arXiv : 1002.3878v2 .
• Гилл, Ричард (февраль 2011 г.). «Проблема Монти Холла — это не вероятностная головоломка (это задача математического моделирования)». Статистика Неерландики . 65 (1): 58–71. arXiv : 1002.0651v3 . дои : 10.1111/j.1467-9574.2010.00474.x .
• Гилл, Ричард (17 марта 2011 г.). «Проблема Монти Холла» (PDF) . Математический институт Лейденского университета, Нидерланды. стр. 10–13.
• Гиллман, Леонард (1992). «Машина и козы». Американский математический ежемесячник . 99 (1): 3–7. дои : 10.2307/2324540 . JSTOR   2324540 .
• Гилович, Т.; Медвек В.Х. и Чен С. (1995). «Комиссия, упущение и уменьшение диссонанса: борьба с сожалением в проблеме «Монти Холла». Журнал личности и социальной психологии . 21 (2): 182–190. дои : 10.1177/0146167295212008 . S2CID   146500989 .
• Гнедин, Саша (2011). «Игра Монди Джиллс» . Математический интеллект . 34 : 34–41. arXiv : 1106.0833 . дои : 10.1007/s00283-011-9253-0 .
• Гранберг, Дональд (2014). Дилемма Монти Холла: превосходная когнитивная иллюзия . Лумад/CreateSpace. ISBN  978-0996100809 .
• Гранберг, Дональд (1996). «Переключаться или не переключаться». Ин вос Савант, Мэрилин (ред.). Сила логического мышления . Пресса Святого Мартина. ISBN  0-312-30463-3 . ( ограниченная онлайн-копия , стр. 169, в Google Книгах )
• Гранберг, Дональд и Браун, Тад А. (1995). «Дилемма Монти Холла». Бюллетень личности и социальной психологии . 21 (7): 711–729. дои : 10.1177/0146167295217006 . S2CID   146329922 .
• Гринстед, Чарльз М. и Снелл, Дж. Лори (4 июля 2006 г.). Введение Гринстеда и Снелла в вероятность (PDF) . Проверено 2 апреля 2008 г.
• Холл, Монти (1975). «Проблема Монти Холла» . LetsMakeADeal.com . Архивировано из оригинала 8 апреля 2010 года . Проверено 15 января 2007 г. Включает письмо Стиву Селвину от 12 мая 1975 г. {{cite web}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Хенце, Норберт (2011) [1997]. Стохастика для начинающих: введение в увлекательный мир случайностей (на немецком языке) (9-е изд.). Спрингер. стр. 50–51, 105–107. ISBN  978-3834818454 . ( ограниченная онлайн-копия , стр. 105, в Google Книгах )
• Хербрансон, В.Т. и Шредер, Дж. (2010). «Птицы умнее математиков? Голуби ( Columba livia ) оптимально справляются с версией дилеммы Монти Холла» . Журнал сравнительной психологии . 124 (1): 1–13. дои : 10.1037/a0017703 . ПМК   3086893 . ПМИД   20175592 .
• Хогбин, М.; Нийдам, В. (2010). «Письмо редактору . «Давайте заключим сделку Моргана и др ». Американский статистик . 64 (2): 193. doi : 10.1198/tast.2010.09227 . S2CID   219595003 .
• Канеман, Д .; Кнетч, Дж. Л. и Талер, Р. Х. (1991). «Аномалии: эффект владения, неприятие потерь и предвзятость статус-кво» . Журнал экономических перспектив . 5 : 193–206. дои : 10.1257/jep.5.1.193 .
• Кайванто, К.; Кролл, Э.Б. и Забински, М. (2014). «Манипуляция предвзятыми триггерами и понимание форм задач в Монти Холле» (PDF) . Экономический вестник . 34 (1): 89–98.
• Краусс, Стефан и Ван, XT (2003). «Психология проблемы Монти Холла: обнаружение психологических механизмов решения сложной головоломки» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие сведения . 132 (1): 3–22. дои : 10.1037/0096-3445.132.1.3 . Проверено 30 марта 2008 г.
• Лукас, Стивен; Розенхаус, Джейсон и Шеплер, Эндрю (2009). «Проблема Монти Холла в новом рассмотрении» (PDF) . Журнал «Математика» . 82 (5): 332–342. дои : 10.4169/002557009X478355 . Проверено 9 июля 2012 года .
• Мартин, Филипп (1993) [1989]. «Ловушка Монти Холла» . Только для экспертов . Книги Грановеттера.
• Морган, JP; Чаганти, Северная Каролина; Дахия, Р.К. и Довиак, М.Дж. (1991). «Давайте заключим сделку: Дилемма игрока». Американский статистик . 45 (4): 284–287. дои : 10.1080/00031305.1991.10475821 . JSTOR   2684453 .
• Морон А. и Фиоре А. (2007). «Три двери Монти Холла для чайников» . Кафедра экономических наук и математических методов – Университет Бари, Южная Европа. Исследования в области экономических исследований – Рабочий документ СЕРИИ №. 0012.
• Мюзер, Питер Р. и Гранберг, Дональд (май 1999 г.). «Возвращение к дилемме Монти Холла: понимание взаимодействия определения проблемы и принятия решений» . Экспериментальный . Университетская библиотека Мюнхена. Рабочий документ 99–06 . Проверено 10 июня 2010 г.
• Нейлебафф, Барри (осень 1987 г.). «Головоломки: выберите занавес, дуэль, двухточечное преобразование и многое другое» . Журнал экономических перспектив . 1 (2): 157–163. дои : 10.1257/jep.1.2.157 .
• Рао, М. Бхаскара (август 1992 г.). «Комментарий к книге « Давайте заключим сделку» Моргана и др .». Американский статистик . 46 (3): 241–242. JSTOR   2685225 .
• Розенхаус, Джейсон (2009). Проблема Монти Холла . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-536789-8 .
• Розенталь, Джеффри С. (сентябрь 2005 г.). «Монти Холл, Монти Фолл, Монти Кроул» (PDF) . Горизонты математики : 5–7.
• Розенталь, Джеффри С. (2005b). Удар молнии: любопытный мир вероятностей . Харпер Коллинз. ISBN  978-0-00-200791-7 .
• Самуэльсон В. и Зекхаузер Р. (1988). «Предвзятость статус-кво при принятии решений». Журнал риска и неопределенности . 1 :7–59. CiteSeerX   10.1.1.632.3193 . дои : 10.1007/bf00055564 . S2CID   5641133 .
• Селвин, Стив (февраль 1975a). «Задача о вероятности (письмо в редакцию)». Американский статистик . 29 (1): 67–71. дои : 10.1080/00031305.1975.10479121 . JSTOR   2683689 .
• Селвин, Стив (август 1975b). «О проблеме Монти Холла (письмо в редакцию)». Американский статистик . 29 (3): 134. JSTOR   2683443 .
• Сейманн, Р.Г. (1991). «Комментарий к книге « Давайте заключим сделку : дилемма игрока». Американский статистик . 45 (4): 287–288. дои : 10.2307/2684454 . JSTOR   2684454 .
• Стайбел, Джеффри ; Дрор, Итиэль; Бен-Зеев, Талия (2008). «Теория рушащегося выбора: разделение выбора и суждения при принятии решений» (PDF) . Теория и решение .
• Тирни, Джон (21 июля 1991 г.). «За дверями Монти Холла: загадка, дебаты и ответ?» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 18 января 2008 г.
• Вазсоний, Андрей (декабрь 1998 г. - январь 1999 г.). «Какая дверь у Кадиллака?» (PDF) . Линия принятия решения : 17–19. Архивировано из оригинала (PDF) 13 апреля 2014 года . Проверено 16 октября 2012 г. {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• ВерБрюгген, Роберт (24 февраля 2015 г.). «Проблема Монти Холла: все неправы» . RealClearScience . Проверено 12 октября 2017 г.
• Волох, Саша (2 марта 2015 г.). «Простой» ответ на печально известную проблему Монти Холла» . Вашингтон Пост . ISSN   0190-8286 . Проверено 12 октября 2017 г.
• Вос Савант, Мэрилин (2012) [1990–1991]. «Проблема игрового шоу» . Парад . Архивировано из оригинала 29 апреля 2012 года.
• Вос Савант, Мэрилин (9 сентября 1990 г.). «Спроси Мэрилин» . Парад : 16. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 г.
• Вос Савант, Мэрилин (2 декабря 1990b). «Спроси Мэрилин» . Парад : 25. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 г.
• Вос Савант, Мэрилин (17 февраля 1991a). «Спроси Мэрилин» . Парад : 12. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 г.
• Вос Савант, Мэрилин (ноябрь 1991c). «Ответ Мэрилин вос Савант». Письма в редакцию. Американский статистик . 45 (4): 347. JSTOR   2684475 .
• Вос Савант, Мэрилин (1996). Сила логического мышления . Пресса Святого Мартина. п. 5 . ISBN  0-312-15627-8 .
• Уильямс, Ричард (2004). «Приложение D: Споры о Монти Холле» (PDF) . Конспекты курса по статистике для выпускников социологии I. Проверено 25 апреля 2008 г.
• Уитакер, Крейг Ф. (9 сентября 1990 г.). «[Формулировка Мэрилин вос Савант вопроса, заданного в письме Крейга Уитакера]. Спросите Мэрилин». Парад : 16.

Дальнейшее чтение

• Гилл, Ричард (2011b). «Задача Монти Холла (версия 5)» . StatProb: Энциклопедия, спонсируемая обществами статистики и теории вероятностей . Архивировано из оригинала 21 января 2016 года . Проверено 3 апреля 2011 г.
• Вос Савант, Мэрилин (7 июля 1991b). «Спроси Мэрилин» . Парад : 26. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 г.
• Вос Савант, Мэрилин (26 ноября 2006 г.). «Спроси Мэрилин». Парад : 6.

Внешние ссылки

• Проблема игрового шоу - оригинальный вопрос и ответы на веб-сайте Мэрилин вос Савант.
• Калифорнийский университет в Сан-Диего, «Монти знает версию» и «Монти не знает версию», объяснение игры
• Монти Холл в Керли
• «Придерживаться или переключаться? Вероятность и проблема Монти Холла» , журнал BBC News , 11 сентября 2013 г. (видео). Математик Маркус дю Сотуа объясняет парадокс Монти Холла.