Теорема Кадисона о транзитивности

В математике — теорема о транзитивности Кадисона результат теории С*-алгебр , который, по сути, утверждает эквивалентность понятий топологической неприводимости и алгебраической неприводимости представлений С*-алгебр. Отсюда следует, что для неприводимых представлений C*-алгебр единственным ненулевым линейным инвариантным подпространством является все пространство.

Теорема, доказанная Ричардом Кэдисоном , была удивительной, поскольку априори нет оснований полагать, что все топологически неприводимые представления также являются алгебраически неприводимыми.

Заявление

Семья ${\mathcal {F}}$ ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ Говорят, что он действует топологически неприводимо, когда $\{0\}$ и ${\mathcal {H}}$ являются единственными замкнутыми стабильными подпространствами под ${\mathcal {F}}$ . Семья ${\mathcal {F}}$ Говорят, что действует алгебраически неприводимо, если $\{0\}$ и ${\mathcal {H}}$ являются единственными линейными многообразиями в ${\mathcal {H}}$ конюшня под ${\mathcal {F}}$ .

Теорема . ^{[ 1 ]} Если С*-алгебра ${\mathfrak {A}}$ действует топологически неприводимо в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}},\{y_{1},\cdots ,y_{n}\}$ представляет собой набор векторов и $\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}$ представляет собой линейно независимый набор векторов в ${\mathcal {H}}$ , есть $A$ в ${\mathfrak {A}}$ такой, что $Ax_{j}=y_{j}$ . Если $Bx_{j}=y_{j}$ для некоторого самосопряженного оператора $B$ , затем $A$ можно выбрать самосопряженным.

Следствие . Если С*-алгебра ${\mathfrak {A}}$ действует топологически неприводимо в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ , то он действует алгебраически неприводимо.

Ссылки

^ Теорема 5.4.3; Кадисон, РВ ; Рингроуз, Дж. Р. , Основы теории операторных алгебр , Vol. Я: Элементарная теория, ISBN 978-0821808191

Кадисон, Ричард (1957), «Неприводимые операторные алгебры», Proc. Натл. акад. наук. США , 43 (3): 273–276, Bibcode : 1957PNAS...43..273K , doi : 10.1073/pnas.43.3.273 , PMC 528430 , PMID 16590013 .
Кадисон, РВ ; Рингроуз, Дж. Р. , Основы теории операторных алгебр , Vol. Я: Элементарная теория, ISBN 978-0821808191

[1] Теорема 5.4.3; Кадисон, РВ ; Рингроуз, Дж. Р. , Основы теории операторных алгебр , Vol. Я: Элементарная теория, ISBN 978-0821808191

[ 1 ]