Конечная топология

Не путать с топологией Cofinite .

Конечная топология — это математическое понятие, имеющее несколько разных значений.

Конечное топологическое пространство

Конечное топологическое пространство — это топологическое пространство , базовое множество которого конечно.

В кольцах и модулях эндоморфизмов

Если A и B — абелевы группы , то конечная топология группы гомоморфизмов Hom( A , B ) может быть определена с использованием следующей базы открытых окрестностей нуля.

$U_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}=\{f\in \operatorname {Hom} (A,B)\mid f(x_{i})=0{\mbox{ for }}i=1,2,\ldots ,n\}$

Эта концепция находит приложения, особенно при изучении колец эндоморфизмов , где A = B . Аналогично, если R — кольцо и M — правый R - модуль , то конечная топология на ${\text{End}}_{R}(M)$ определяется с помощью следующей системы окрестностей нуля:

$U_{X}=\{f\in {\text{End}}_{R}(M)\mid f(X)=0\}$

В векторных пространствах

В векторном пространстве $V$, конечные открытые множества $U\subset V$ определяются как те множества, пересечения которых со всеми конечномерными подпространствами $F\subset V$ открыты. Конечная топология на $V$ определяется этими открытыми множествами и иногда обозначается $\tau _{f}(V)$.

Когда V имеет несчетную размерность, эта топология не является локально выпуклой и не делает V топологическим векторным пространством , но когда V имеет счетную размерность, она совпадает как с тончайшей топологией векторного пространства на V так и с тончайшей локально выпуклой топологией на V. ,

В коллекторах

Иногда говорят, что многообразие M имеет конечную топологию или конечный топологический тип, если оно гомеоморфно компактной римановой поверхности , из которой удалено конечное число точек.

Ссылки

• Абязов А.Н.; Маклаков, А.Д. (2023), «Конечные топологии и их свойства в линейной алгебре», Российская математика , 67 (1), doi : 10.3103/s1066369x23010012 , S2CID   256721835
• Хоффман, Д.; Керхер, Герман (1995), «Полные вложенные минимальные поверхности конечной полной кривизны», arXiv : math/9508213
• Какутани, Шизуо ; Клее, Виктор (декабрь 1963 г.), «Конечная топология линейного пространства», Archiv der Mathematik , 14 (1): 55–58, doi : 10.1007/bf01234921 , S2CID   120704814
• Крылов П.А.; Михалев А.В.; Туганбаев А.А. (2002), «Свойства колец эндоморфизмов абелевых групп I.», Журнал математических наук , 112 (6): 4598–4735, doi : 10.1023/A:1020582507609 , MR   1946059 , S2CID   120424104
• Мэй, Уоррен (2001), «Использование конечной топологии на кольцах эндоморфизмов», Journal of Pure and Applied Algebra , 163 (1): 107–117, doi : 10.1016/S0022-4049(00)00159-6 , MR   1847379
• Паццис, К. (2018), «О конечной топологии векторного пространства и проблеме доминирования для семейства норм», arXiv : 1801.09085 [ math.GN ]