Проблема встраивания

В теории Галуа , разделе математики , проблема вложения является обобщением обратной задачи Галуа . Грубо говоря, он спрашивает, может ли данное расширение Галуа быть вложено в расширение Галуа таким образом, чтобы отображение ограничения между соответствующими группами Галуа было задано .

Определение

Учитывая поле K и конечную группу H , можно поставить следующий вопрос (так называемая обратная задача Галуа ). Существует ли расширение Галуа F/K с группой Галуа, изоморфной H . Проблема встраивания является обобщением этой проблемы:

Пусть L/K — расширение Галуа с группой Галуа G и пусть f : H → G — эпиморфизм. Существует ли расширение Галуа F/K с группой Галуа H и вложением α : L → F, фиксирующим K, при котором отображение ограничения группы Галуа F/K в группу Галуа L/K совпадает с f ?

Аналогично, задача вложения проконечной группы F состоит из следующих данных: две проконечные группы H и G и два непрерывных эпиморфизма φ : F → G и ж : ЧАС → Г . Задача вложения называется конечной, группа H. если таковой является Решением (иногда также называемым слабым решением ) такой задачи вложения является непрерывный гомоморфизм γ : F → H такой, что φ = f γ . Если решение сюръективно, оно называется собственным решением .

Характеристики

Проблемы конечного вложения характеризуют проконечные группы. Следующая теорема иллюстрирует этот принцип.

Теорема. Пусть F — счетно (топологически) порожденная проконечная группа. Затем

F проективен тогда и только тогда, когда любая конечная задача вложения для F разрешима.
F не имеет счетного ранга тогда и только тогда, когда любая конечная задача вложения для F корректно разрешима.

Ссылки

Введение проконечных групп и когомологий Галуа . Папа королевы. Чистое приложение. Математика. Том. 24. Королевский университет, Кингстон, Онтарио. 1970. МР 0260875 . Збл 0221.12013 .
Проблема вложения в теорию Галуа . Переводы математических монографий. Том. 165. 1997. дои : 10.1090/mmono/165 . ISBN 9780821845929 .
Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике. Том 11. doi : 10.1007/978-3-540-77270-5 . ISBN 978-3-540-77269-9 .
Задачи встраивания Брауэровского типа . Монографии Филдсовского института. Том. 21. 2005. doi : 10.1090/fim/021 . ISBN 9780821837269 .
Вахид Ширбише, Проблемы вложения Галуа с абелевыми ядрами экспоненты p VDM Verlag, доктор Мюллер , ISBN 978-3-639-14067-5 , (2009).