Проблема восхода солнца

Проблему восхода солнца можно выразить следующим образом: «Какова вероятность того, что солнце взойдет завтра?» Проблема восхода солнца иллюстрирует сложность использования теории вероятностей при оценке правдоподобности утверждений или убеждений.

Согласно байесовской интерпретации вероятности , теорию вероятностей можно использовать для оценки правдоподобности утверждения: «Завтра взойдет солнце».

Проблема восхода солнца была впервые публично представлена в 1763 году Ричардом Прайсом в его знаменитом обзоре Томаса Байеса основополагающей работы в области байесовства . ^[1]

подход Лапласа

Пьер-Симон Лаплас , который рассматривал это посредством своего правила преемственности . ^[2]^[3] Пусть p — долгосрочная частота восходов солнца, т. е. солнце восходит 100 × p % дней. До того как мы узнаем о восходах солнца, человек совершенно не знает значения p . Лаплас представил это априорное незнание посредством равномерного распределения вероятностей на p .

Например, вероятность того, что p находится между 20% и 50%, составляет всего 30%. Это не следует интерпретировать как означающее, что в 30% всех случаев p находится между 20% и 50%. Скорее, это означает, что уровень знаний (или невежества) оправдывает уверенность на 30% в том, что солнце восходит в период от 20% до 50% времени. Учитывая значение p и отсутствие другой информации, имеющей отношение к вопросу о том, взойдет ли солнце завтра, вероятность того, что солнце взойдет завтра, равна p . Но нам не «дано значение p ». Нам даны данные наблюдений: зафиксировано, что солнце всходило каждый день. сказав, что Вселенная была создана около 6000 лет назад, основываясь на молодой Землей креационистском прочтении Библии Лаплас сделал вывод о количестве дней , .

Чтобы найти условное распределение вероятностей p с учетом данных, используется теорема Байеса , которую некоторые называют правилом Байеса-Лапласа . Найдя условное распределение вероятности p с учетом данных, можно затем вычислить условную вероятность с учетом данных того, что солнце взойдет завтра. Эта условная вероятность определяется правилом последовательности . Вероятность того, что солнце взойдет завтра, увеличивается с количеством дней, в которые солнце взошло до сих пор. В частности, если предположить, что p имеет априорное распределение, равномерное в интервале [0,1], и что, учитывая значение p , солнце независимо восходит каждый день с вероятностью p , желаемая условная вероятность равна:

\Pr({\text{Sun rises tomorrow}}\mid {\text{It has risen }}k{\text{ times previously}})={\frac {\int _{0}^{1}p^{k+1}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{k}\,dp}}={\frac {k+1}{k+2}}.

По этой формуле, если ранее наблюдалось восход солнца 10 000 раз, вероятность того, что оно взойдет на следующий день, равна $10001/10002\approx 0.99990002$ . В процентах это примерно $99.990002\%$ шанс.

Однако Лаплас признал это неправильным применением правила преемственности, поскольку он не принял во внимание всю предварительную информацию, доступную сразу после получения результата:

Но это число [вероятность восхода солнца завтра] гораздо больше для того, кто, видя в совокупности явлений принцип, регулирующий дни и времена года, сознает, что ничто в настоящий момент не может остановить его ход.

Э. Т. Джейнс отметил, что предупреждение Лапласа осталось незамеченным рабочими на местах. ^[4]

: Возникает проблема референтного класса предполагаемая правдоподобность будет зависеть от того, берем ли мы прошлый опыт одного человека, человечества или Земли. Следствием этого является то, что каждый референт будет придерживаться разной правдоподобности утверждения. В байесовстве любая вероятность является условной вероятностью с учетом того, что известно. Это варьируется от одного человека к другому.

См. также

Правило наследования
Проблема индукции
Аргумент Судного дня : аналогичная проблема, вызывающая интенсивные философские дебаты
Парадокс Ньюкомба
Нерешенные проблемы статистики
Аддитивное сглаживание (также называемое сглаживанием Лапласа)

Ссылки

^ «LII. Очерк решения проблемы в доктрине шансов. Покойный преподобный г-н Байес, FRS, переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, AMFR S» . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 53 : 409–410. 1763-12-31. дои : 10.1098/rstl.1763.0053 . ISSN 0261-0523 .
^ Лаплас, Пьер-Симон (1814). Философский очерк вероятностей (PDF) . Перевод Трускотта, Фредерика Уилсона; Эмори, Фредерик Линкольн. Джон Уайли и сын и Чепмен и Холл .
^ Чунг, К.Л. и АйтСалиа, Ф. (2003). Элементарная теория вероятностей: со случайными процессами и введением в математические финансы. Спрингер. стр. 129–130. ISBN 978-0-387-95578-0 .
^ Джейнс, ET (2003). «Глава 18.6». В Г. Ларри Бретхорсте (ред.). Теория вероятностей: логика науки . Издательство Кембриджского университета. п. 564. дои : 10.1017/CBO9780511790423 . ISBN 978-0-521-59271-0 . Архивировано из оригинала 3 июня 2022 г.

Дальнейшее чтение

Хауи, Дэвид. (2002). Интерпретация вероятности: споры и события в начале двадцатого века. Издательство Кембриджского университета. стр. 24. ISBN 978-0-521-81251-1

[1] «LII. Очерк решения проблемы в доктрине шансов. Покойный преподобный г-н Байес, FRS, переданный г-ном Прайсом в письме Джону Кантону, AMFR S» . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 53 : 409–410. 1763-12-31. дои : 10.1098/rstl.1763.0053 . ISSN 0261-0523 .

[wustl-a-philosophical-essay-2] Лаплас, Пьер-Симон (1814). Философский очерк вероятностей (PDF) . Перевод Трускотта, Фредерика Уилсона; Эмори, Фредерик Линкольн. Джон Уайли и сын и Чепмен и Холл .

[3] Чунг, К.Л. и АйтСалиа, Ф. (2003). Элементарная теория вероятностей: со случайными процессами и введением в математические финансы. Спрингер. стр. 129–130. ISBN 978-0-387-95578-0 .

[4] Джейнс, ET (2003). «Глава 18.6». В Г. Ларри Бретхорсте (ред.). Теория вероятностей: логика науки . Издательство Кембриджского университета. п. 564. дои : 10.1017/CBO9780511790423 . ISBN 978-0-521-59271-0 . Архивировано из оригинала 3 июня 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]