Kontorovich–Lebedev transform

В математике преобразование Конторовича -Лебедева представляет собой интегральное преобразование функцию Макдональда (модифицированную функцию Бесселя второго рода) с мнимым индексом , которое использует в качестве ядра . В отличие от других преобразований функции Бесселя, таких как преобразование Ханкеля , это преобразование включает интегрирование по индексу функции, а не по ее аргументу.

Преобразование функции ƒ ( x ) и ее обратная функция (при условии, что они существуют) приведены ниже:

$g(y)=\int _{0}^{\infty }f(x)K_{iy}(x)\,dx$

$f(x)={\frac {2}{\pi ^{2}x}}\int _{0}^{\infty }g(y)K_{iy}(x)\sinh(\pi y)y\,dy.$

Лагерр ранее изучал аналогичное преобразование функции Лагерра :

$g(y)=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}L_{y}(x)\,dx$

$f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {g(y)}{\Gamma (y)}}L_{y}(x)\,dy.$

Эрдели и др. , например, содержит краткий список преобразований Конторовича–Лебедева, а также ссылки на оригинальные работы Конторовича и Лебедева конца 1930-х годов. Это преобразование чаще всего используется при решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах для клиновидных областей методом разделения переменных .

Ссылки

• Эрдели и др. Таблица интегральных преобразований Vol. 2 (МакГроу Хилл, 1954)
• И. Н. Снеддон, Использование интегральных преобразований (McGraw Hill, Нью-Йорк, 1972).
• «Преобразование Конторовича–Лебедева» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]