Эффект Дика

Эффект Дика (далее «эффект») является важным ограничением стабильности частоты современных атомных часов , таких как атомные фонтаны и часы с оптической решеткой . Это эффект наложения частот: высокочастотный шум в требуемом гетеродине (LO) накладывается (гетеродинируется) до частоты, близкой к нулевой, с помощью периодического процесса опроса, который согласовывает частоту гетеродина с частотой атомов. Шум имитирует и усиливает присущую часам статистическую нестабильность, которая определяется количеством доступных атомов или фотонов. При этом эффект ухудшает стабильность атомных часов и предъявляет новые и более строгие требования к характеристикам гетеродина.

Для любого данного протокола опроса эффект может быть рассчитан с использованием квантово-механической функции чувствительности вместе со спектральными свойствами шума LO. Эта методология расчета, предложенная Дж. Джоном Диком, в настоящее время широко используется при проектировании современных микроволновых и оптических стандартов частоты , а также при разработке методологий атомно-волновой интерферометрии , сравнения эталонов частоты и других областей измерительной науки. .

Фон

Общий

Стабильность частоты

атомных Стабильность частоты часов обычно характеризуется отклонением Аллана. $\sigma _{y}(\tau )$, мера ожидаемого статистического изменения дробной частоты как функция времени усреднения $\tau$. Как правило, кратковременные колебания (частотный или фазовый шум) тактового сигнала требуют усреднения в течение длительного периода времени для достижения высокой производительности.

Отклонение Аллана для коммерческих атомных часов

Эта стабильность не то же самое, что точность часов, которые оценивают ожидаемое отличие средней частоты от некоторого абсолютного стандарта.

Отличная стабильность частоты имеет решающее значение для удобства использования часов: даже если они могут иметь превосходную точность, часы с плохой стабильностью частоты могут потребовать усреднения в течение недели или более для одного высокоточного теста или сравнения. Такие часы не были бы так полезны, как часы с более высокой стабильностью; тот, который мог бы выполнить тест за часы, а не за дни.

Стабильность и работа атомных часов

Ранее была хорошо понятна нестабильность выходного сигнала атомных часов из-за несовершенной обратной связи между атомами и гетеродином. Эта нестабильность носит кратковременный характер и обычно не влияет на полезность часов. С другой стороны, этот эффект приводит к возникновению частотного шума, который имеет тот же характер (и обычно намного больше), чем шум, обусловленный фундаментальным ограничением счета фотонов или атомов для атомных часов.

За исключением водорода и аммиака ( водородный мазер , аммиачный мазер ), атомы или ионы в атомных часах не обеспечивают полезный выходной сигнал. электронный или оптический гетеродин Вместо этого необходимый выходной сигнал обеспечивает (LO). LO обычно обеспечивает превосходную краткосрочную стабильность; долговременная стабильность достигается за счет коррекции изменчивости его частоты за счет обратной связи от атомов.

В усовершенствованных стандартах частоты процесс атомного опроса обычно носит последовательный характер: после подготовки состояния внутренним часам атомов разрешается колебаться в присутствии сигнала от гетеродина в течение определенного периода времени. В конце этого периода атомы опрашиваются оптическим сигналом, чтобы определить, изменилось ли (и насколько) состояние. Эта информация используется для коррекции частоты гетеродина. Повторяемый снова и снова, это обеспечивает непрерывную работу со стабильностью, намного более высокой, чем у самого гетеродина. Фактически, ранее считалось, что такая обратная связь позволяет стабильности выходного сигнала гетеродина приближаться к статистическому пределу для атомов в течение длительного времени измерения.

Эффект

Эффект является дополнительным источником нестабильности, разрушающим эту счастливую картину. Он возникает из-за взаимодействия между фазовым шумом гетеродина и периодическими изменениями коэффициента усиления обратной связи, возникающими в результате процедуры опроса. Временные изменения в псевдониме усиления обратной связи (или гетеродинном) шуме гетеродина на частотах, связанных с периодом опроса, почти до нулевой частоты, что приводит к нестабильности ( отклонению Аллана ), которая лишь медленно улучшается с увеличением времени измерения. Повышенная нестабильность ограничивает полезность атомных часов и приводит к жестким требованиям к производительности (и связанным с этим расходам) для требуемого гетеродина: он должен не только обеспечивать превосходную стабильность (так, чтобы его выходная мощность могла быть улучшена за счет обратной связи со сверхвысокой стабильностью). атомов); теперь он также должен иметь отличный (низкий) фазовый шум.

Простой, но неполный анализ эффекта можно провести, наблюдая, что любое изменение частоты или фазы гетеродина в течение « мертвого» времени, необходимого для подготовки атомов к следующему опросу, совершенно не обнаруживается и поэтому не подлежит исправлению. Однако этот подход не учитывает квантово-механический отклик атомов при воздействии на них импульсов сигнала от ЛО. Это дополнительный зависящий от времени отклик, рассчитываемый при анализе эффекта с помощью функции чувствительности .

Количественный

Влияние эффекта Дика на стабильность частоты ртутных ионных часов

На приведенных здесь графиках показаны прогнозы эффекта для стандарта частоты с захваченными ионами, использующего кварцевый гетеродин. Помимо превосходной стабильности, кварцевые генераторы обладают очень четко выраженными шумовыми характеристиками: их колебания частоты характеризуются частотой мерцаний в очень широком диапазоне частот и времени. Частотный шум мерцаний соответствует постоянному отклонению Аллана, как показано для кварцевого гетеродина на графиках здесь.

«Ожидаемая» кривая на графике показывает, как стабильность LO улучшается за счет обратной связи от атомов. По мере увеличения времени измерения (на времена, превышающие время атаки ) стабильность постоянно увеличивается, приближаясь к внутренней стабильности атомов в течение времени, превышающего примерно 10 000 секунд. «Фактическая» кривая показывает, как эффект влияет на стабильность. Вместо того, чтобы приближаться к внутренней стабильности атомов, стабильность выходного сигнала гетеродина теперь приближается к линии с гораздо более высоким значением. Наклон этой линии идентичен наклону атомного ограничения (минус половина на логарифмическом графике) со значением, сравнимым со значением LO, измеренным во время цикла, на что указывает маленький синий (нисходящий) ) стрелка. Значение (длина синей стрелки) зависит от деталей протокола атомарного запроса и может быть рассчитано с использованием методологии функции чувствительности .

Удивительно, но долговременная стабильность атомных часов зависит от краткосрочной стабильности LO из-за эффекта Дика.

Второй график показывает, как различные аспекты производительности гетеродина влияют на достижимую стабильность атомных часов. Зависимость, помеченная как «Ранее проанализированное влияние LO», показывает улучшение стабильности по сравнению с стабильностью LO примерно на $1/\tau$ зависимость на времена, превышающие «время атаки» для контура обратной связи. Для увеличения значений времени измерения $\tau$, устойчивость приближается к предельной $1/{\sqrt {\tau }}$ зависимость из-за статистических изменений числа атомов и фотонов, доступных для каждого измерения.

С другой стороны, этот эффект приводит к тому, что имеющаяся стабильность стандарта частоты демонстрирует противоречивую зависимость от высокочастотного фазового шума гетеродина. Здесь показано, что стабильность гетеродина в разы меньшие, чем время цикла, влияет на стабильность атомного стандарта во всем диапазоне его работы. Более того, это часто мешает часам когда-либо приблизиться к стабильности, присущей атомной системе.

История

Через несколько лет после публикации двух статей выкладывая анализ алиасинга LO, методика проверена экспериментально, обычно принимается сообществом специалистов по времени и частоте и применяется при разработке многих современных стандартов частоты. Это также было разъяснено Lemonde et al. (1998) с выводом функции чувствительности , который использовал более традиционный квантово-механический подход и был обобщен Сантарелли и др. (1996) так, чтобы применяться к протоколам допроса даже без временной симметрии.

Если раньше ограничения производительности атомных часов характеризовались точностью и ограничением стабильности подсчета фотонов или атомов, то теперь эффект стал третьей частью картины. Этот ранний этап завершился в 1998 году публикацией четырех статей. в специальном выпуске об эффекте Дика для журнала IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics и Frequency Control .

Влияние

Возможно, самое важное последствие анализа Дика связано с представлением математической основы, которая позволила исследователям точно рассчитать эффект на основе методологии и технологии, используемых для множества самых разных атомных часов. Поскольку этот эффект обычно является наиболее существенным ограничением стабильности усовершенствованных стандартов частоты, с тех пор большая работа была сосредоточена на стратегиях мелиорации. Кроме того, методология воздействия и функция чувствительности позволили добиться значительного прогресса в ряде технических областей.

• Значение предельной нестабильности из-за эффекта определяется протоколом опроса в сочетании со свойствами фазового шума гетеродина. Следствия теории были разработаны для нескольких различных типов атомных часов.

• Лаборатории, работающие над микроволновыми атомными фонтанными часами, перешли на криогенные или оптический Методы LO для замены кварцевого ультрастабильного генератора (USO), ранее использовавшегося в качестве эталона для микроволновых атомных стандартов частоты. Хотя нестабильность кварцевого USO можно было уменьшить с помощью обратной связи, чтобы эффективно реализовать присущую часам атомную стабильность, его фазовый шум , преобразованный этим эффектом, теперь стал основным источником нестабильности часов, как показано на графике в предыдущем разделе. раздел. Криогенные и оптические методы могут обеспечить как стабильность, так и фазовый шум, необходимые для реализации внутренней стабильности атомного стандарта.

Эти атомные часы обычно работают путем подбрасывания шара атомов, охлажденных лазером, вверх через микроволновую полость, которая запускает часы в каждом отдельном атоме. Когда атомы возвращаются вниз, они снова пересекают ту же самую полость, где получают второй микроволновый импульс, который останавливает их часы. Затем шар падает через оптическое устройство опроса под полостью, которое «считывает» разность фаз между микроволнами (LO) и атомами, образовавшимися во время их полета. Это повторяется снова и снова; последовательный процесс, приводящий к результату.

В меньшем масштабе стабильность часов на парах рубидия, использующих метод импульсной оптической накачки (POP), улучшилась до такой степени, что эффект, обусловленный кварцевым USO LO, стал ограничивающим фактором производительности. Разработки в области комбинированной технологии УСО-ДРО (диэлектрический резонаторный генератор) гетеродина. теперь включите улучшенную производительность.

• Оптические часы достигли высочайшей стабильности среди всех часов и скоро заменят цезиевые фонтанные часы как определение секунды. Однако, как (Катори, 2011) утверждает: «Однако в часах на оптической решетке из-за значительно низкого QPN (квантового проекционного шума) эффект Дика становится основным препятствием на пути достижения более высокой стабильности». Анализ эффекта и его последствий применительно к оптическим стандартам рассмотрен в большом обзоре (Ludlow et al., 2015). в котором оплакивалось «пагубное влияние эффекта Дика», и в нескольких других статьях.

• Синхронизация двух полных атомных систем (при использовании только одного гетеродина) может чередоваться . тем самым устраняя мертвое время , связанное с подготовкой и обнаружением атомного состояния. Это существенно снижает эффект и, возможно, может его устранить. Эффективность его подхода была подтверждена Biedermann et al. в эксперименте с заведомо деградированным ЛО Впоследствии этот подход был применен Shioppo et al. для достижения высочайшей на сегодняшний день стабильности для любых часов в испытаниях с использованием двух оптических стандартов Yb с лазерным охлаждением и, в гораздо меньших масштабах, в микроволновых часах на парах рубидия. Было предложено добиться нулевого времени простоя в одном фонтане с помощью протокола жонглирования. В теоретической статье также предлагается использовать не только две полные атомные системы, но и добавлять третью (опять же с одним LO), чтобы не только устранить эффект, но и уменьшить в противном случае ограничивающую стабильность из-за эффектов счета фотонов или атомов.

• Альтернативой, способной устранить эффект, является постоянно действующий фонтан . Такие часы были продемонстрированы благодаря разработке источника лазерно-охлаждаемых атомов с непрерывным потоком. В этих часах используется конфигурация, отличная от обычного фонтана, чтобы физически отделить поднимающиеся атомы от падающих. Это достигается за счет отклонения направления запуска от вертикали; внутренние часы атомов запускаются в одном микроволновом резонаторе; затем остановился на втором после выполнения параболической дуги. Вторая полость вместе со второй системой лазерного допроса смещена вбок от пусковой системы и полости.

• Микроволновые или оптические сигналы, используемые для запуска и остановки внутренних часов атома, обычно имеют прямоугольную временную зависимость. Формованные импульсы можно уменьшить эффект за счет устранения разрывов наклона функции чувствительности , возникающих в результате внезапного включения и выключения электромагнитного сигнала. Это, в свою очередь, снижает чувствительность к высокочастотным компонентам фазового шума гетеродина и, следовательно, уменьшает эффект. Кроме того, при применении к нескольким часам с чередующейся синхронизацией импульсы правильной формы могут полностью устранить этот эффект.
• Сравните стандарты частоты .
• Атомные часы использовались и предлагались для применения в космосе , как для приложений, которым требуется только производительность, уже доступная от наземных технологий, так и для тех, которые требовали производительности, доступной только от часов, работающих в космосе. Хорошим примером является атомный стандарт частоты Cs с лазерным охлаждением PHARAO. который был доставлен в Европейское космическое агентство для включения в многотактовую физическую полезную нагрузку ACES и планируется запустить к МКС. Значительная часть преимущества в производительности космических часов обусловлена ​​уменьшением эффекта; это связано с более длительным временем опроса и более высокими коэффициентами заполнения, когда атомные часы работают при нулевой гравитации .
• Атомная интерферометрия с приложениями в качестве атомного гравиметра, и для обнаружения гравитационных волн.

Методология

Введение

Современные атомные стандарты частоты или часы обычно содержат гетеродин (LO), атомную систему, которая периодически опрашивается гетеродином, и контур обратной связи для коррекции ошибок частоты в гетеродине на основе результатов этого опроса; тем самым привязывая частоту гетеродина к частоте атомной системы. Эффект описывает процесс, приводящий к несовершенной блокировке, зависящий от деталей протокола атомарного запроса. Для расчета этого недавно выявленного влияния шума гетеродина на стабильность частоты синхронизированного гетеродина (LLO), который обеспечивает полезный выходной сигнал для стандарта частоты, необходимы два шага. Это:

• Расчет мгновенной чувствительности к флуктуациям фазы LO атомной системы за время опроса. Это выражается как функция чувствительности $g(t)$, оценивается в течение времени цикла и имеет нулевое значение в течение тех частей цикла, где выполняются служебные задачи, и (например) значение единицы между импульсами запроса, связанными с запросом Рамсея .

В отличие от других примеров фотонного возбуждения атомов или ионов, этот процесс возбуждения является медленным, и его выполнение занимает миллисекунды или даже секунды из-за чрезвычайно высокой добротности. Вместо фотона, ударяющего о твердое тело и выбрасывающего электрон, здесь представлен процесс, при котором когерентное ЭМ поле, состоящее из множества фотонов (медленно), переводит каждый атом или ион в облаке из основного состояния в смешанное состояние, обычно с равными амплитудами. в основном и возбужденном состояниях.

Функциональные формы для $g(t)$ время, пока атомы подвергаются воздействию возбуждающих микроволновых или оптических полей, можно рассчитать с использованием фиктивной спиновой модели квантовомеханического процесса перехода состояний. или используя алгебраический подход. Эти формы в сочетании с постоянными значениями (обычно нулем или единицей) в периоды отсутствия сигнала позволяют четко определить функцию чувствительности на протяжении всего цикла опроса.

Дискриминационная способность атомных систем как для опроса Рамсея , так и для опроса Раби была рассчитана ранее на основе квантово-механического отклика атома или иона на слегка расстроенный возбуждающий сигнал. Теперь видно, что эти ранее рассчитанные значения соответствуют среднему по времени функции чувствительности. ${\overline {g(t)}}$, взял на себя цикл допроса.

• Расчет предельной устойчивости атомных часов из-за эффекта. Учитывая функцию чувствительности $g(t)$ и частотный спектр шума $S_{y}^{LO}(f)$ Теперь можно рассчитать предельную стабильность часов. Анализ эквивалентной модели обратной связи показывает, что изменения коэффициента усиления контура из-за изменения во времени $g(t)$, приводят к нескорректированным медленным изменениям гетеродина даже при идеальной (безшумовой) обратной связи от атомов. Будучи периодическим, частотный спектр $g(t)$ дискретен, с гармониками на частотах, кратных целому числу $n$ обратной величине времени цикла, как $f_{n}=n/{t_{c}}$. Каждая из этих гармоник имитирует шум гетеродина, близкий к частоте, близкой к нулевой, добавляя к белому частотному шуму. $S_{y}^{LLO}(0)$ синхронизированного гетеродина , который обеспечивает выходной сигнал для часов. Этот дополнительный шум аналогичен тому, который возникает при подсчете фотонов или атомов в атомных часах, и поэтому ухудшает их производительность.

Расчет функции чувствительности

Амплитуда возбуждения $a(t)$ и функция чувствительности $g(t)$ последовательности для атомных часов с протоколами допроса Раби и Рэмси. При опросе Раби используется один сигнальный импульс, смещенный по частоте так, что его фаза плавно меняется по мере прохождения импульса. При допросе Рэмси используются два коротких импульса с $pi/2$ фазовый сдвиг между ними. В каждом поле показаны два опроса и три мертвых времени (во время которых выполняются считывание, подготовка состояний и другие служебные задачи).

Представленные ниже концепции и результаты расчетов можно найти в первых работах, описывающих эффект .

Каждый цикл опроса в атомных часах обычно начинается с подготовки атомов или ионов в их основных состояниях. Пусть P — вероятность того, что после допроса какой-либо из них будет найден в возбужденном состоянии. Амплитуда и время опрашивающего сигнала обычно регулируются таким образом, чтобы настройка гетеродина точно на атомную частоту давала $P=1$, то есть все атомы или ионы находятся в возбужденном состоянии. P определяется для каждого измерения путем последующего воздействия на систему другого сигнала, который будет генерировать флуоресценцию только для (например) атомов или ионов в возбужденном состоянии.

Чтобы получить эффективную обратную связь с использованием периодических измерений P, протокол должен быть организован так, чтобы P имел чувствительность к изменениям частоты. Чувствительность к изменению частоты $g$ тогда можно определить как
${{dP} \over {d\nu }}=\pi \,g\,t_{i}$
где $t_{i}$ — время опроса, так что значение $g$ характеризует чувствительность измерения P к изменению частоты LO. Поскольку P максимизировано (при $P=1$) когда LO точно настроен на частоту атомного перехода, значение $g$ в этом случае будет равно нулю. Таким образом, например, в стандарте частоты, использующем запрос Раби , гетеродин изначально расстроен так, что $P=0.5$и когда нестабильность частоты гетеродина приводит к тому, что последующее измерение P возвращает значение, отличное от этого, контур обратной связи корректирует частоту гетеродина, чтобы вернуть ее обратно.

Экспериментаторы используют различные протоколы для смягчения временных изменений атомного номера, интенсивности света и т. д. и, таким образом, для точного определения P, но они здесь далее не обсуждаются.

Чувствительность P к изменению частоты LO для допроса Раби была рассчитана ранее: и установлено, что оно имеет значение $g_{Rabi}\approx 0.60386$ когда частота гетеродина смещена на частоту $\delta \nu$ дать $P=0.5$. Это достигается, когда $\Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}$ расстроен так, что $\Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685$.

Теперь можно ввести зависящую от времени форму чувствительности P к изменению частоты, определяющую $g(t)$ как:

$g(t)=2\lim _{\delta \phi \to 0}{\delta P(\delta \phi ,t) \over \delta \phi }$,
где $\delta P(\delta \phi ,t)$ – изменение вероятности возбуждения при фазовом скачке $\delta \phi$ вводится в опрашивающий сигнал в момент времени $t$. Интегрирование обеих частей уравнения показывает, что влияние на вероятность P частоты, которая меняется в процессе возбуждения, $\delta \omega (t)$ можно написать:

$\Delta P={1 \over {2t_{c}}}\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\delta \omega (t)dt}$.
Это показывает $g(t)$ быть функцией чувствительности ; представляющее временную зависимость влияния изменений частоты на конечную вероятность возбуждения.

Показано, что функция чувствительности для случая допроса Раби определяется следующим образом:

$g(t)={{\Delta } \over {{(1+\Delta ^{2})}^{3/2}}}\left[\sin(\Omega _{1}(t))\left(1-\cos(\Omega _{2}(t)\right)+\sin(\Omega _{2}(t))\left(1-\cos(\Omega _{1}(t)\right)\right]$
где $\Omega _{1}(t)=\Omega \cdot \left({{t} \over {t_{i}}}\right)$,
$\Omega _{2}(t)=\Omega \cdot \left(1-\left({t \over {t_{i}}}\right)\right)$,
$\Omega =\Omega (\Delta )=\pi {\sqrt {1+{\Delta }^{2}}}$,
и где $\Delta \equiv 2\,\delta \nu \,t_{i}$ отстроен до полусигналаамплитуда $\Delta =\Delta _{half}\approx 0.798685$.

Взяв среднее по времени этой функциональной формы для $g(t)$, дает
${1 \over t_{i}}{\int _{0}^{t_{i}}g(t)\,dt}\approx 0.60386$,
точно так же, как указано ранее для $g_{Rabi}$: Это показывает $g(t)$ быть правильным обобщением ранее использовавшейся чувствительности $g$.

Формы функции чувствительности для случая допроса Рэмси с $\pi /2$ Шаг фазы между двумя импульсами опроса (вместо сдвига частоты) несколько проще и определяется формулой:

$g(t)={\begin{cases}\sin \left(\pi {{t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(0&<&t&<&t_{p})\\1&&&(t_{p}&<&t&<&t_{i}-t_{p})\\\sin \left(\pi {{t_{i}-t} \over {2\,t_{p}}}\right)&&&(t_{i}-t_{p}&<&t&<&t_{i})\\0&&&(t_{i}&<&t&<&t_{c})\\\end{cases}}$
где $t_{p}$ это время пульса, $t_{i}$ время допроса и $t_{c}$ это время цикла.

Расчет ограничения стабильности стандарта частоты

Блок-схема пассивного атомного стандарта частоты с использованием последовательного опроса с временем цикла $t_{c}$. Термин $\delta \nu (t)$ имеет зависящую от времени часть из-за частотного шума гетеродина $S_{y}^{LO}(f)$.

Работу атомных часов в импульсном режиме можно разбить на функциональные элементы, как показано на блок-схеме здесь (полный анализ см. в Greenhall). ). Здесь LO представлен собственным блоком, а опрашиваемая атомная система — остальными четырьмя блоками. На временную зависимость процесса атомного запроса здесь влияет Модулятор , в котором зависящая от времени ошибка частоты $\delta \nu (t)$ умножается на зависящий от времени коэффициент усиления $g(t)$ как рассчитано в предыдущем разделе. Входной сигнал в интегратор пропорционален ошибке частоты. $\delta \nu$, и это позволяет корректировать медленные ошибки частоты и дрейф гетеродина.
Чтобы понять действие на блок-схеме, рассмотрим значения $\delta \nu (t)$ и $g(t)$ складывать из их средних значений плюс отклонения от среднего. Стоимость ${\overline {\delta \nu (t)}}\cdot {\overline {g(t)}}$ (со средними значениями, взятыми за один цикл, $t_{c}$) приводит к правильной работе обратной связи, согласовывая частоту гетеродина с частотой дискриминатора, $\nu _{0}$. Кроме того, высокочастотные компоненты $(\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot {\overline {g(t)}}$ сглаживаются путем интегрирования и выборки, что приводит к уже известному пределу краткосрочной устойчивости. Однако термин $(\delta \nu (t)-{\overline {\delta \nu (t)}})\cdot (g(t)-{\overline {g(t)}})$, генерируя дополнительный высокочастотный шум, также приводит к очень низкочастотным изменениям. Это эффект наложения спектров, который заставляет контур неправильно корректировать гетеродин и приводит к дополнительным низкочастотным изменениям на выходе стандарта частоты.
Следуя методологии (Дик, 1987) и (Сантарелли и др., 1996), Компоненты Фурье функции чувствительности :
$g_{n,cos}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\cos \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}$,
$g_{n,sin}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)\sin \left({{2\pi nt} \over {t_{c}}}\right)dt}$,
$g_{n}={\sqrt {g_{n,cos}^{2}+g_{n,sin}^{2}}}$ ,
и $g_{0}=\int _{0}^{t_{c}}{g(t)dt}$,
где $t_{c}$ это время цикла. Синхронизированный гетеродин обеспечивает полезный выходной сигнал от любого пассивного (немазерного) стандарта частоты. Нижний предел белого частотного шума. $S_{y}^{LLO}(0)$ затем показано, что он зависит от частотного шума гетеродина на всех частотах. $\left({S_{y}^{LO}(f)}\right)$ со значением, заданным
$S_{y}^{LLO}(0)={2 \over {g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}$,
где $t_{c}$ – время цикла (время между последовательными измерениями атомной системы).
Дисперсия Аллана для генератора с белым частотным шумом дается $\sigma _{y}^{2}(\tau )={S_{y}(0) \over {2\tau }}$, так что предел устойчивости из-за эффекта определяется выражением
$\sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau g_{0}^{2}}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{g_{n}^{2}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}$.
Для запроса Рэмси с очень короткими импульсами запроса это становится
$\sigma _{y,Dick}^{2}(\tau )={1 \over {\tau }}{t_{c}^{2} \over t_{i}^{2}}\cdot {\sum _{n=1}^{\infty }{{\sin ^{2}(\pi n\,t_{i}/t_{c}) \over {\pi ^{2}}n^{2}}\,S_{y}^{LO}\left({n \over t_{c}}\right)}}$,
где $t_{i}$ это время допроса. Для случая гетеродина с фликкер-частотным шумом где $\sigma _{y}^{LO}(\tau )$ не зависит от $\tau$, и где коэффициент заполнения $d=t_{i}/t_{c}$ имеет типичные значения $0.4<d<0.7$, отклонение Аллана можно аппроксимировать как
$\sigma _{y,Dick}(\tau )\approx {\sigma _{y}^{LO} \over {\sqrt {2\ln(2)}}}\cdot \left|{sin(\pi d) \over {\pi d}}\right|\cdot {\sqrt {t_{c} \over {\tau }}}$.

См. также

• Атомные часы
• Стандарт частоты

Внешние ссылки

• Статьи об эффекте Дика в Google Scholar
• Страница Дж. Джона Дика в Google Scholar