Отклонение Аллана

Часы легче всего проверить, сравнив их с гораздо более точными эталонными часами. В течение интервала времени τ , измеренного эталонными часами, тестируемые часы опережают время на τy , где y — средняя (относительная) тактовая частота за этот интервал. Если мы измерим два последовательных интервала, как показано, мы можем получить значение ( y − y ′ ) ² — меньшее значение указывает на более стабильные и точные часы. Если мы повторим эту процедуру много раз, среднее значение ( y − y ′ ) ² равна удвоенной дисперсии Аллана (или квадрату отклонения Аллана) для времени наблюдения τ .

Дисперсия Аллана ( AVAR ), также известная как двухвыборочная дисперсия , является мерой стабильности частоты в часах , генераторах и усилителях . Он назван в честь Дэвида В. Аллана и математически выражается как $\sigma _{y}^{2}(\tau )$.Отклонение Аллана ( ADEV ), также известное как сигма-тау , представляет собой квадратный корень из отклонения Аллана. $\sigma _{y}(\tau )$.

Дисперсия M-выборки является мерой стабильности частоты с использованием M выборок, времени T между измерениями и времени наблюдения. $\tau$. M- выборочная дисперсия выражается как

$\sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).$

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности из-за шумовых процессов, а не из-за систематических ошибок или несовершенств, таких как дрейф частоты или температурные эффекты. Дисперсия Аллана и отклонение Аллана описывают стабильность частоты. См. также раздел «Интерпретация стоимости» ниже.

Существуют также различные адаптации или изменения дисперсии Аллана, в частности, модифицированная дисперсия Аллана MAVAR или MVAR, общая дисперсия и дисперсия Адамара . Также существуют варианты временной стабильности, такие как отклонение по времени (TDEV) или отклонение по времени (TVAR). Дисперсия Аллана и ее варианты оказались полезными за пределами хронометража и представляют собой набор улучшенных статистических инструментов, которые можно использовать всякий раз, когда шумовые процессы не являются безусловно стабильными, поэтому существует производная.

Общая дисперсия M -выборки остается важной, поскольку она допускает задержку в измерениях, а функции смещения позволяют конвертировать в значения дисперсии Аллана. Тем не менее, для большинства приложений особый случай двухвыборочной или «дисперсии Аллана» с $T=\tau$ представляет наибольший интерес.

Пример графика отклонения Аллана часов. При очень коротком времени наблюдения τ отклонение Аллана велико из-за шума. При более длинных τ оно уменьшается, поскольку шум усредняется. При еще большем τ отклонение Аллана снова начинает увеличиваться, что позволяет предположить, что тактовая частота постепенно дрейфует из-за изменений температуры, старения компонентов или других подобных факторов. Планки погрешностей увеличиваются с ростом τ требует много времени просто потому, что получение большого количества точек данных для больших τ .

Диаграмма дисперсии Аллана как функции времени усреднения, показывающая 5 типичных режимов. 1. Белый/мерцающий фазомодуляционный шум (ФМ): на самой высокой частоте доминирует фазовый шум. Это соответствует $\sigma (\tau )\propto \tau ^{-1}$. Однако Белый Премьер-министр $S[f]=f^{3}$ но у Flicker PM есть $S[f]=f^{2}$. График отклонения Аллана их не различает. Чтобы отличить их, требуется модифицированный дисперсионный график Аллана . 2. Белый частотно-модуляционный шум (ЧМ): на более низкой частоте по частоте доминирует белый шум. Это соответствует $\sigma (\tau )\propto \tau ^{-1/2},S[f]=f^{0}$ 3. Мерцание FM: $\sigma (\tau )\propto \tau ^{0},S[f]\propto f^{-1}$. Это еще называют «розовым шумом». 4. Случайное блуждание FM: $\sigma (\tau )\propto \tau ^{+1/2},S[f]\propto f^{-2}$. Его еще называют «коричневым шумом» или «броуновским шумом». В этом режиме частота системы совершает случайное блуждание. Другими словами, $df/dt$ становится белым шумом. 5. Дрейф частоты: $\sigma (\tau )\propto \tau ^{+1},S[f]\propto f^{-3}$. В этом режиме частота системы совершает блуждание розового шума. Другими словами, $df/dt$ становится розовым шумом.

Фон

При исследовании стабильности кварцевых генераторов и атомных часов было обнаружено, что у них отсутствует фазовый шум, состоящий только из белого шума , но и из частотного шума мерцаний . Эти формы шума становятся проблемой для традиционных статистических инструментов, таких как стандартное отклонение , поскольку оценщик не сходится. Таким образом, шум называют расходящимся. Ранние попытки анализа стабильности включали как теоретический анализ, так и практические измерения.

Важным побочным последствием наличия этих типов шума было то, что, поскольку различные методы измерений не согласовывались друг с другом, ключевой аспект повторяемости измерения не мог быть достигнут. Это ограничивает возможность сравнивать источники и составлять значимые спецификации, которые можно требовать от поставщиков. По сути, все формы научного и коммерческого использования тогда ограничивались специальными измерениями, которые, как мы надеемся, отражали потребность в этом применении.

Чтобы решить эти проблемы, Дэвид Аллан ввел M -выборочную дисперсию и (косвенно) двухвыборочную дисперсию. Хотя двухвыборочная дисперсия не позволяла полностью различить все типы шума, она давала возможность значимого разделения многих форм шума для временных рядов измерений фазы или частоты между двумя или более генераторами. Аллан предложил метод преобразования любой M дисперсии -выборки в любую дисперсию N -выборки через общую дисперсию 2-выборки, что делает все дисперсии M -выборки сопоставимыми. Механизм преобразования также доказал, что дисперсия M -выборки не сходится при больших M , что делает их менее полезными. Позже IEEE определил дисперсию с двумя выборками как предпочтительную меру.

Первое беспокойство было связано с приборами для измерения времени и частоты, у которых был паузу между измерениями. Такая серия измерений не обеспечивала непрерывного наблюдения за сигналом и, таким образом, вносила систематическую погрешность в измерение. Оценке этих предубеждений было уделено большое внимание. Внедрение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило необходимость, но инструменты анализа систематических ошибок оказались полезными.

Еще один ранний аспект, вызывавший беспокойство, был связан с тем, как полоса пропускания измерительного прибора повлияет на измерения, поэтому это необходимо было принять во внимание. Позже было обнаружено, что путем алгоритмического изменения наблюдения $\tau$, только низкий $\tau$ значения будут затронуты, в то время как более высокие значения не будут затронуты. Изменение $\tau$ делается, позволяя ему быть целым числом, кратным $n$ измерения временной развертки $\tau _{0}$:

$\tau =n\tau _{0}.$

Физику кварцевых генераторов проанализировал Д.Б. Лисон. и результат теперь называется уравнением Лисона . Обратная связь в генераторе превратит белый шум и мерцающий шум усилителя обратной связи и кристалла в степенные шумы $f^{-2}$ белый частотный шум и $f^{-3}$ шум частоты мерцания соответственно. Эти формы шума приводят к тому, что стандартная программа оценки дисперсии не сходится при обработке выборок с временной ошибкой. предоставил набор статистических инструментов Эта механика генераторов с обратной связью была неизвестна, когда начались работы над стабильностью генераторов, но была представлена ​​Лисоном в то же время, когда Дэвид У. Аллан . Более подробное представление об эффекте Лисона см. в современной литературе по фазовому шуму.

Интерпретация стоимости

Дисперсия Аллана определяется как половина среднего по времени квадратов разностей между последовательными показаниями отклонения частоты, выбранными в течение периода выборки. Дисперсия Аллана зависит от периода времени, используемого между выборками, поэтому она является функцией периода выборки, обычно обозначаемого как τ , как и измеряемое распределение, и отображается в виде графика, а не одного числа. Низкая дисперсия Аллана является характеристикой часов с хорошей стабильностью в течение измеряемого периода.

Отклонение Аллана широко используется для построения графиков (обычно в логарифмическом формате) и представления чисел. Он предпочтителен, поскольку обеспечивает относительную стабильность амплитуды, что позволяет легко сравнивать его с другими источниками ошибок.

Отклонение Аллана 1,3 × 10. ⁻⁹ при времени наблюдения 1 с (т. е. τ = 1 с) следует интерпретировать как наличие нестабильности частоты между двумя наблюдениями с интервалом в 1 секунду с относительным среднеквадратичным значением (RMS) 1,3 × 10. ⁻⁹ . Для тактовой частоты 10 МГц это будет эквивалентно среднеквадратичному движению с частотой 13 МГц. Если необходима фазовая стабильность генератора, временного отклонения следует изучить и использовать варианты .

Можно преобразовать дисперсию Аллана и другие дисперсии во временной области в меры времени (фазы) и стабильности частоты в частотной области.

Составы

M - выборочная дисперсия

Учитывая временной ряд $x(t)$, для любых положительных действительных чисел $T,\tau$, определите действительную числовую последовательность $${\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...$$Тогда $M$-определена выборочная дисперсия (здесь в модернизированной форме обозначений) как скорректированная по Бесселю дисперсия последовательности ${\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}$: $$\sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),$$Толкование символов следующее:

• $t$ — показания эталонных часов (в произвольных единицах).
• $x(t)$ — это показания часов, которые мы тестируем (в произвольных единицах измерения), как функция показаний эталонных часов. Его также можно интерпретировать как временной ряд средней дробной частоты .
• ${\bar {y}}_{n}$ - n -е среднее дробное значение частоты за время наблюдения $\tau$.
• $M$ — количество интервалов считывания часов, используемых при вычислении $M$-выборочная дисперсия,
• $T$ это время между каждой выборкой частоты,
• $\tau$ — это продолжительность каждой оценки частоты или период наблюдения.

Мертвое время можно учесть, если учесть время $T$ отличаться от $\tau$.

Отклонение Аллана

Дисперсия Аллана определяется как

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle$

где $\langle \dotsm \rangle$ обозначает оператор ожидания.

Состояние ${\textstyle T=\tau }$ означает, что образцы отбираются без паузы между ними.

отклонение Аллана

Как и в случае со стандартным отклонением и дисперсией , отклонение Аллана определяется как квадратный корень из дисперсии Аллана:

$\sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.$

Поддерживающие определения

Модель осциллятора

Предполагается, что анализируемый осциллятор следует базовой модели

$V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).$

Предполагается, что генератор имеет номинальную частоту $\nu _{\text{n}}$, выраженный в циклах в секунду (единица СИ: герц ). Номинальная угловая частота $\omega _{\text{n}}$ (в радианах в секунду) определяется выражением

$\omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.$

Общую фазу можно разделить на совершенно циклический компонент. $\omega _{\text{n}}t$, а также колеблющаяся составляющая $\varphi (t)$:

$\Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).$

Ошибка времени

Функция временной ошибки x ( t ) представляет собой разницу между ожидаемым номинальным временем и фактическим нормальным временем:

$x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.$

Для измеренных значений ряд временных ошибок TE( t ) определяется из эталонной функции времени T _ref ( t ) как

$TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).$

Частотная функция

Частотная функция $\nu (t)$ частота во времени, определяемая как

$\nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.$

Дробная частота

Дробная частота y ( t ) — это нормированная разность между частотой $\nu (t)$ и номинальная частота $\nu _{\text{n}}$:

$y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.$

Средняя дробная частота

Средняя дробная частота определяется как

${\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},$

где среднее значение берется за время наблюдения τ , y ( t ) — это ошибка дробной частоты во время t , а τ — время наблюдения.

Поскольку y ( t ) является производной x ( t ), мы можем без ограничения общности переписать его как

${\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.$

Оценщики

Это определение основано на статистическом ожидаемом значении , интегрируемом за бесконечное время. Реальная ситуация не позволяет использовать такие временные ряды, и в этом случае статистическую оценку вместо них необходимо использовать . Будет представлен и обсужден ряд различных оценок.

Конвенции

• Количество выборок частоты в ряду дробных частот обозначается M .
• Количество выборок временных ошибок в ряду временных ошибок обозначается N .

  Связь между количеством выборок дробной частоты и рядом временных ошибок фиксируется соотношением

  $N=M+1.$

• Для с временной ошибкой серии выборок x _i обозначает i -ю выборку функции непрерывного времени x ( t ), как задано выражением

  $x_{i}=x(iT),$

  где Т – время между измерениями. Для дисперсии Аллана используемое время T установлено равным времени наблюдения τ .

  В серии с временной ошибкой выборок N обозначает количество выборок ( x ₀ ... x _{N -1} ) в серии. Традиционное соглашение использует индексы от 1 N. до
• Для средней дробной частоты серии выборок ${\bar {y}}_{i}$ обозначает i -ю выборку средней непрерывной функции дробной частоты y ( t ), заданную выражением

  ${\bar {y}}_{i}={\bar {y}}(Ti,\tau ),$

  что дает

  ${\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(iT+t_{v})\,dt_{v}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}.$

  Для предположения дисперсии Аллана о том, что T равно τ, это становится

  ${\bar {y}}_{i}={\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\tau }}.$

  Серия выборок средней дробной частоты позволяет M обозначать количество выборок ( ${\bar {y}}_{0}\ldots {\bar {y}}_{M-1}$) в сериале. Традиционное соглашение использует индексы от 1 M. до Для краткости средняя дробная частота часто пишется без средней черты над ней. Однако формально это неверно, поскольку дробная частота и средняя дробная частота — две разные функции. Измерительный прибор, способный производить оценки частоты без мертвого времени, фактически выдает среднечастотный временной ряд, который необходимо только преобразовать в среднюю дробную частоту и затем можно использовать напрямую.
• Время между измерениями обозначается T , которое представляет собой сумму времени наблюдения τ и мертвого времени.

Фиксированные τ оценки

Первой простой оценкой было бы непосредственно перевести определение в

$\sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},$

или для временного ряда:

$\sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.$

Однако эти формулы обеспечивают расчет только для случая τ = τ ₀ . Для расчета другого значения τ необходимо предоставить новый временной ряд.

Непересекающиеся оценки переменной τ

Если взять временной ряд и пропустить n - 1 выборку, получится новый (более короткий) временной ряд с τ ₀ как временем между соседними выборками, для которого дисперсия Аллана может быть рассчитана с помощью простых оценок. Их можно было бы изменить, введя новую переменную n, так что не нужно было бы генерировать новые временные ряды, а вместо этого можно было бы повторно использовать исходный временной ряд для различных значений n . Оценщики становятся

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}$

с $n\leq M-1$,

и для временного ряда:

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}$

с $n\leq {\frac {N-1}{2}}$.

У этих оценщиков есть существенный недостаток: они теряют значительный объем выборочных данных, поскольку только 1/ n используется доступных выборок.

Перекрывающиеся переменной τ оценки

Техника, представленная Джей Джей Снайдером. предоставил улучшенный инструмент, поскольку измерения перекрывались в n перекрывающихся сериях из исходной серии. Перекрывающаяся оценка дисперсии Аллана была введена Хоу, Алланом и Барнсом. Можно показать, что это эквивалентно усреднению выборок по времени или нормированной частоте в блоках по n выборок перед обработкой. Результирующий предиктор становится

${\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}$

или для временного ряда:

$\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.$

Перекрывающиеся оценки имеют гораздо более высокую производительность по сравнению с непересекающимися оценками, поскольку n увеличивается, а временной ряд имеет умеренную длину. Перекрывающиеся оценки были приняты в качестве предпочтительных оценок дисперсии Аллана в IEEE. МСЭ-Т и ETSI стандарты для сопоставимых измерений, например, необходимые для квалификации в сфере телекоммуникаций.

Модифицированная дисперсия Аллана

Чтобы решить проблему невозможности отделить модуляцию белой фазы от модуляции фазы мерцания с помощью традиционных средств оценки дисперсии Аллана, алгоритмическая фильтрация уменьшает полосу пропускания на n . Эта фильтрация вносит изменения в определение и оценки, и теперь она идентифицируется как отдельный класс дисперсии, называемый модифицированной дисперсией Аллана . Модифицированная мера дисперсии Аллана является мерой стабильности частоты, так же, как и дисперсия Аллана.

Оценщики стабильности времени

Статистическая мера стабильности времени (σ _x ), которую часто называют отклонением времени (TDEV), можно рассчитать на основе модифицированного отклонения Аллана (MDEV). TDEV основан на MDEV вместо исходного отклонения Аллана, поскольку MDEV может различать фазовую модуляцию белого и мерцания (PM). Ниже представлена ​​оценка временной дисперсии, основанная на модифицированной дисперсии Аллана:

$\sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),$

и аналогично для модифицированного отклонения Аллана по времени :

$\sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).$

TDEV нормируется так, что оно равно классическому отклонению для белого ПМ для постоянной времени τ = τ ₀ . Чтобы понять масштабный коэффициент нормализации между статистическими показателями, необходимо использовать следующее статистическое правило: для независимых случайных величин X и Y дисперсия (σ _z ² ) суммы или разности ( z = x − y ) представляет собой квадрат суммы их дисперсий (σ _z ² = σ _х ² + _σу ² ). Дисперсия суммы или разности ( y = x _{2 τ} − x _τ ) двух независимых выборок случайной величины в два раза превышает дисперсию случайной величины (σ _y ² = 2σ _х ² ). MDEV — это вторая разность независимых измерений фазы ( x ), которые имеют дисперсию (σ _x ² ). Поскольку расчет представляет собой двойную разность, которая требует трех независимых измерений фазы ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ), модифицированная дисперсия Аллана (MVAR) в три раза превышает дисперсию измерений фазы.

Другие оценщики

Дальнейшие разработки привели к улучшению методов оценки той же меры стабильности, дисперсии/отклонения частоты, но они известны под отдельными названиями, такими как дисперсия Адамара , модифицированная дисперсия Адамара , общая дисперсия , модифицированная общая дисперсия и дисперсия Тео . Они отличаются более эффективным использованием статистики для улучшения доверительных границ или способностью справляться с линейным дрейфом частоты.

Доверительные интервалы и эквивалентные степени свободы

Статистические оценщики рассчитают оценочную стоимость на основе использованной серии выборок. Оценки могут отклоняться от истинного значения, а диапазон значений, который с некоторой вероятностью будет содержать истинное значение, называется доверительным интервалом . Доверительный интервал зависит от количества наблюдений в серии выборок, доминирующего типа шума и используемого средства оценки. Ширина также зависит от статистической достоверности, при которой значения доверительного интервала образуют ограниченный диапазон, и, следовательно, от статистической уверенности в том, что истинное значение находится в пределах этого диапазона значений. Для с переменным τ оценок τ ₀ кратное n также является переменной.

Доверительный интервал

Доверительный интервал можно установить с помощью распределения хи-квадрат , используя распределение выборочной дисперсии :

$\chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},$

где с ² — выборочная дисперсия нашей оценки, σ ² — истинное значение дисперсии, df — степени свободы средства оценки, а χ ² — это степени свободы для определенной вероятности. Для вероятности 90%, охватывающей диапазон от 5% до 95% на кривой вероятности, верхний и нижний пределы можно найти с помощью неравенства

$\chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),$

который после перестановки для истинной дисперсии становится

${\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.$

Эффективные степени свободы

Степени свободы представляют собой количество свободных переменных, способных внести вклад в оценку. В зависимости от средства оценки и типа шума эффективные степени свободы различаются. Формулы оценки в зависимости от N и n были найдены опытным путем:

Дисперсия Аллана, степени свободы

Тип шума	степени свободы
модуляция белой фазы (WPM)	${\text{df}}\cong {\frac {(N+1)(N-2n)}{2(N-n)}}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	${\text{df}}\cong \exp \left[\left(\ln {\frac {N-1}{2n}}\ln {\frac {(2n+1)(N-1)}{4}}\right)^{-1/2}\right]$
белая частотная модуляция (WFM)	${\text{df}}\cong \left[{\frac {3(N-1)}{2n}}-{\frac {2(N-2)}{N}}\right]{\frac {4n^{2}}{4n^{2}+5}}$
Частотная модуляция мерцания (FFM)	${\text{df}}\cong {\begin{cases}{\frac {2(N-2)}{2.3N-4.9}}&n=1\\{\frac {5N^{2}}{4n(N+3n)}}&n\geq 2\end{cases}}$
частотная модуляция случайного блуждания (RWFM)	${\text{df}}\cong {\frac {N-2}{n}}{\frac {(N-1)^{2}-3n(N-1)+4n^{2}}{(N-3)^{2}}}$

Степенной шум

Дисперсия Аллана будет по-разному относиться к различным типам степенных шумов , что позволяет удобно их идентифицировать и оценивать их силу. По соглашению ширина измерительной системы (высокая угловая частота) обозначается f _H .

Степенной ответ дисперсии Аллана

Степенной тип шума	Наклон фазового шума	Наклон частотного шума	Коэффициент мощности	Фазовый шум $S_{x}(f)$	Отклонение Аллана $\sigma _{y}^{2}(\tau )$	отклонение Аллана $\sigma _{y}(\tau )$
модуляция белой фазы (WPM)	$f^{0}=1$	$f^{2}$	$h_{2}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}}}h_{2}$	${\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{2}$	${\frac {\sqrt {3f_{H}}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{2}}}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	$f^{-1}$	$f^{1}=f$	$h_{1}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f}}h_{1}$	${\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}\tau ^{2}}}h_{1}$	${\frac {\sqrt {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}}{2\pi \tau }}{\sqrt {h_{1}}}$
белая частотная модуляция (WFM)	$f^{-2}$	$f^{0}=1$	$h_{0}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{2}}}h_{0}$	${\frac {1}{2\tau }}h_{0}$	${\frac {1}{\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {h_{0}}}$
Частотная модуляция мерцания (FFM)	$f^{-3}$	$f^{-1}$	$h_{-1}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{3}}}h_{-1}$	$2\ln(2)h_{-1}$	${\sqrt {2\ln(2)}}{\sqrt {h_{-1}}}$
Частотная модуляция случайного блуждания (RWFM)	$f^{-4}$	$f^{-2}$	$h_{-2}$	${\frac {1}{(2\pi )^{2}f^{4}}}h_{-2}$	${\frac {2\pi ^{2}\tau }{3}}h_{-2}$	${\frac {\pi {\sqrt {2\tau }}}{\sqrt {3}}}{\sqrt {h_{-2}}}$

Как обнаружено в и в современных формах.

Дисперсия Аллана не позволяет различать WPM и FPM, но способна разрешать другие типы степенного шума. Чтобы различать WPM и FPM, модифицированную дисперсию Аллана необходимо использовать .

Приведенные выше формулы предполагают, что

$\tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},$

и, таким образом, полоса пропускания времени наблюдения намного ниже, чем полоса пропускания прибора. При невыполнении этого условия все формы шума зависят от полосы пропускания прибора.

α – µ отображение

Детальное отображение фазовой модуляции формы

$S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },$

где

$\beta \equiv \alpha -2,$

или частотная модуляция вида

$S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }$

в вариант Аллана формы

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }$

можно значительно упростить, предоставив отображение между α и µ . отображение между α и K _{α :} Для удобства также представлено

дисперсии Аллана α – µ Отображение

а	б	м	К α
−2	−4	1	${\frac {2\pi ^{2}}{3}}$
−1	−3	0	$2\ln 2$
0	−2	−1	${\frac {1}{2}}$
1	−1	−2	${\frac {3[\gamma +\ln(2\pi f_{H}\tau )]-\ln 2}{4\pi ^{2}}}$
2	0	−2	${\frac {3f_{H}}{4\pi ^{2}}}$

Общее преобразование фазового шума

Сигнал со спектральным фазовым шумом $S_{\varphi }$ с единицами рад ² /Гц можно преобразовать в дисперсию Аллана с помощью

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.$

Линейный отклик

Хотя дисперсия Аллана предназначена для различения форм шума, она будет зависеть от некоторых, но не всех линейных реакций на время. Они приведены в таблице:

Линейный отклик дисперсии Аллана

Линейный эффект	время отклика	частотная характеристика	Отклонение Аллана	отклонение Аллана
сдвиг фазы	$x_{0}$	$0$	$0$	$0$
смещение частоты	$y_{0}t$	$y_{0}$	$0$	$0$
линейный дрейф	${\frac {Dt^{2}}{2}}$	$Dt$	${\frac {D^{2}\tau ^{2}}{2}}$	${\frac {D\tau }{\sqrt {2}}}$

Таким образом, линейный дрейф будет способствовать выходному результату. При измерении реальной системы может потребоваться оценить линейный дрейф или другой механизм дрейфа и удалить его из временного ряда перед расчетом дисперсии Аллана.

Свойства временного и частотного фильтра

При анализе свойств дисперсии Аллана и ее друзей оказалось полезным учитывать свойства фильтра на нормализованной частоте. Начиная с определения дисперсии Аллана для

$\sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,$

где

${\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.$

Замена временного ряда $y_{i}$ с вариантом с преобразованием Фурье $S_{y}(f)$ Дисперсия Аллана может быть выражена в частотной области как

$\sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.$

Таким образом, передаточная функция для дисперсии Аллана равна

$\left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.$

Функции смещения

Дисперсия M -выборки и определенная дисперсия Аллана для особого случая будут испытывать систематическое смещение в зависимости от различного количества выборок M и различных отношений между T и τ . Чтобы устранить эти смещения, функции смещения B ₁ и B _2. были определены и позволяет конвертировать различные M и T. значения

Этих функций смещения недостаточно для обработки смещения, возникающего в результате объединения M выборок со Mτ ₀ временем наблюдения в течение MT ₀ с мертвым временем, распределенным между M блоками измерения, а не в конце измерения. Это обусловило необходимость смещения B ₃ .

Функции смещения оцениваются для конкретного значения μ, поэтому отображение α–μ необходимо выполнить для доминирующей формы шума, обнаруженной с помощью идентификации шума . Альтернативно, Значение μ доминирующей формы шума можно вывести из измерений с использованием функций смещения.

B ₁ функция смещения

Функция смещения B ₁ связывает дисперсию M -выборки с дисперсией 2-выборки (дисперсия Аллана), сохраняя время между измерениями T и время для каждого измерения τ постоянным. Это определено как

$B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},$

где

$r={\frac {T}{\tau }}.$

Функция смещения становится после анализа

$B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.$

B ₂ Функция смещения

Функция смещения B ₂ связывает дисперсию с двумя выборками для времени выборки T с дисперсией с двумя выборками (дисперсия Аллана), сохраняя количество выборок N = 2 и время наблюдения τ постоянным. Это определено как

$B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},$

где

$r={\frac {T}{\tau }}.$

Функция смещения становится после анализа

$B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.$

B3 _{Функция} смещения

Функция смещения B ₃ связывает дисперсию с 2 выборками для времени выборки MT ₀ и времени наблюдения Mτ ₀ с дисперсией с 2 ​​выборками (дисперсия Аллана) и определяется как

$B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},$

где

$T=MT_{0},$

$\tau =M\tau _{0}.$

Функция смещения B ₃ полезна для корректировки неперекрывающихся и перекрывающихся значений оценщика переменной τ на основе измерений мертвого времени времени наблюдения τ ₀ и времени между наблюдениями T ₀ до нормальных оценок мертвого времени.

Функция смещения становится после анализа (для случая N = 2)

$B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},$

где

$F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.$

t функция смещения

Формально оно не сформулировано, но косвенно выведено как следствие отображения α – µ . При сравнении двух мер дисперсии Аллана для разных τ , предполагая, что один и тот же доминирующий шум имеет форму одного и того же коэффициента μ, смещение можно определить как

$B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.$

Функция смещения становится после анализа

$B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.$

Преобразование между значениями

Чтобы преобразовать один набор измерений в другой, B ₁ , B ₂ можно собрать функции смещения и τ. Сначала функция B ₁ преобразует значение ( N ₁ , T ₁ , τ ₁ ) в (2, T ₁ , τ ₁ ), из которого функция B ₂ преобразуется в значение (2, τ ₁ , τ ₁ ), таким образом дисперсия Аллана при τ ₁ . Меру дисперсии Аллана можно преобразовать с помощью функции смещения τ из τ ₁ в τ ₂ , из которой затем (2, T ₂ , τ ₂ ) с использованием B ₂ и затем, наконец, с использованием B ₁ в ( N ₂ , T ₂ , τ ₂ ) дисперсия. Полное преобразование становится

$\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,$

где

$r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},$

$r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.$

Аналогично, для объединенных измерений с использованием секций M логическое расширение становится

$\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .$

Проблемы измерения

При выполнении измерений для расчета дисперсии Аллана или отклонения Аллана ряд проблем может привести к ухудшению результатов измерений. Здесь описаны эффекты, характерные для дисперсии Аллана, результаты которых могут быть необъективными.

Ограничения полосы пропускания измерений

Ожидается, что измерительная система будет иметь полосу пропускания, равную или меньшую, чем у скорости Найквиста , как описано в теореме Шеннона-Хартли . Как видно из формул степенного шума, модуляция белого и мерцающего шума зависит от верхней угловой частоты. $f_{H}$ (предполагается, что эти системы имеют только фильтр нижних частот). Учитывая свойство частотного фильтра, хорошо видно, что низкочастотный шум оказывает большее влияние на результат. Для относительно плоских типов шума с фазовой модуляцией (например, WPM и FPM) фильтрация имеет значение, тогда как для типов шума с большей крутизной верхний предел частоты становится менее важным, если предположить, что полоса пропускания измерительной системы широка относительно $\tau$ как указано

$\tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.$

Если это предположение не выполняется, эффективная полоса пропускания $f_{H}$ необходимо записать рядом с измерением. Заинтересованным следует обратиться к NBS TN394.

Однако если настроить полосу пропускания средства оценки, используя целочисленные кратные шага расчета $n\tau _{0}$, то влияние на пропускную способность системы можно свести до незначительного уровня. Для нужд телекоммуникаций такие методы были необходимы, чтобы обеспечить сопоставимость измерений и предоставить поставщикам некоторую свободу в реализации различных реализаций. Рек. МСЭ-Т. Г.813 для измерения TDEV.

Можно рекомендовать в первую очередь $\tau _{0}$ кратные значения не следует игнорировать, так что большая часть обнаруженного шума находится в пределах полосы пропускания полосы пропускания измерительной системы.

Дальнейшие разработки дисперсии Аллана были выполнены, чтобы позволить уменьшить пропускную способность оборудования программными средствами. Такое развитие программного обеспечения полосы пропускания позволило устранить оставшийся шум, и теперь этот метод называется модифицированной дисперсией Аллана . Этот метод уменьшения полосы пропускания не следует путать с расширенным вариантом модифицированной дисперсии Аллана , который также изменяет полосу пропускания сглаживающего фильтра.

Мертвое время в измерениях

Многие инструменты измерения времени и частоты имеют этапы времени постановки на охрану, времени временной развертки, времени обработки, а затем могут повторно запустить постановку на охрану. Время постановки на охрану рассчитывается с момента включения постановки на охрану до момента возникновения стартового события на пусковом канале. Затем временная база гарантирует, что до принятия события на стоп-канале в качестве стоп-события пройдет минимальное количество времени. Количество событий и время, прошедшее между событием запуска и событием остановки, записывается и отображается во время обработки. Когда происходит обработка (также известная как время задержки), прибор обычно не может выполнить еще одно измерение. После завершения обработки прибор в непрерывном режиме снова запускает цепь рычага. Время между событием остановки и следующим событием запуска становится мертвым временем , в течение которого сигнал не наблюдается. Такое «мертвое время» приводит к систематическим погрешностям измерений, которые необходимо компенсировать для получения правильных результатов. Для таких систем измерения время T обозначает время между соседними стартовыми событиями (и, следовательно, измерениями), а $\tau$ обозначают длину временной развертки, т.е. номинальную длину между началом и окончанием любого измерения.

Эффекты «мертвого времени» при измерениях оказывают такое влияние на получаемый результат, что было проведено много исследований поля для правильной количественной оценки его свойств. Внедрение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило необходимость в этом анализе. Счетчик с нулевым мертвым временем обладает тем свойством, что событие остановки одного измерения также используется как событие начала следующего события. Такие счетчики создают серию пар событий и временных меток, по одной для каждого канала, разделенных временной базой. Такие измерения также оказались полезными в упорядоченных формах анализа временных рядов.

Измерения, выполняемые с мертвым временем, могут быть скорректированы с помощью функции смещения B ₁ , B ₂ и B ₃ . Таким образом, мертвое время как таковое не запрещает доступ к дисперсии Аллана, но делает его более проблематичным. время между выборками T. Мертвое время должно быть известно, чтобы можно было установить

Длина измерения и эффективное использование образцов

Изучая влияние на доверительные интервалы длины N серии выборок и влияние переменного τ параметра n, доверительные интервалы могут стать очень большими, поскольку эффективная степень свободы может стать малой для некоторой комбинации N и n для доминирующая форма шума (для этого τ ).

В результате оценочная стоимость может оказаться намного меньше или намного больше реальной стоимости, что может привести к ошибочным выводам о результате.

Рекомендуется:

• Доверительный интервал должен быть нанесен на график вместе с данными, чтобы читатель графика знал о статистической неопределенности значений.
• Длина последовательности выборок (т.е. количество выборок N ) должна поддерживаться как можно большей, чтобы гарантировать, что доверительный интервал будет небольшим в τ . интересующем диапазоне
• Оценщики, обеспечивающие более высокие значения степеней свободы, могут использоваться вместо оценок дисперсии Аллана или в качестве дополнения к ним, если они превосходят оценки дисперсии Аллана. Среди них общей дисперсии и дисперсии Тео . следует учитывать оценки
• Диапазон τ , охваченный множителем 0 _n τ , ограничен верхним пределом относительного N , так что читатель графика не может быть сбит с толку крайне нестабильными значениями оценщика.

Доминирующий тип шума

Большое количество констант преобразования, поправок к смещению и доверительных интервалов зависит от доминирующего типа шума. Для правильной интерпретации доминирующий тип шума для конкретного τ интересующего должен быть идентифицирован посредством идентификации шума. Неспособность определить доминирующий тип шума приведет к получению смещенных значений. Некоторые из этих отклонений могут иметь величину нескольких порядков, поэтому они могут иметь большое значение.

Линейный дрейф

Систематическое воздействие на сигнал компенсируется лишь частично. Смещение фазы и частоты аннулируется, но линейный дрейф или другие формы полиномиальных фазовых кривых высокой степени не будут отменены и, таким образом, образуют ограничение измерения. Можно использовать аппроксимацию кривой и удаление систематического смещения. Часто бывает достаточно устранения линейного дрейфа. методы оценки линейного дрейфа, такие как дисперсия Адамара Также можно использовать . Устранение линейного дрейфа может быть использовано с использованием оценки на основе момента.

Смещение оценки измерительного прибора

Традиционные инструменты обеспечивали измерение только отдельных событий или пар событий. Внедрение улучшенного статистического инструмента перекрывающихся измерений Дж. Дж. Снайдера. позволил значительно улучшить разрешение при считывании частоты, нарушив традиционный баланс цифр и временной развертки. Хотя такие методы полезны по назначению, использование таких сглаженных измерений для расчетов дисперсии Аллана могло бы создать ложное впечатление о высоком разрешении. но при более длинных τ эффект постепенно исчезает, и с более низким τ область измерения имеет смещенные значения. Это смещение обеспечивает более низкие значения, чем должно, поэтому это чрезмерно оптимистичное (при условии, что низкие цифры — это то, что нужно) смещение, снижающее удобство использования измерения, а не улучшающее его. Такие интеллектуальные алгоритмы обычно можно отключить или иным образом обойти, используя режим метки времени, который гораздо предпочтительнее, если он доступен.

Практические измерения

Хотя можно разработать несколько подходов к измерению дисперсии Аллана, простой пример может проиллюстрировать, как можно выполнять измерения.

Измерение

Все измерения дисперсии Аллана по сути будут представлять собой сравнение двух разных часов. Рассмотрим эталонный тактовый сигнал и тестируемое устройство (DUT), оба имеют общую номинальную частоту 10 МГц. Счетчик временных интервалов используется для измерения времени между нарастающим фронтом опорного сигнала (канал А) и нарастающим фронтом тестируемого устройства.

Чтобы обеспечить равномерные измерения, опорная тактовая частота будет разделена на меньшую, чтобы сформировать скорость измерения, запуская счетчик временных интервалов (вход ARM). Эта частота может составлять 1 Гц (при использовании 1 PPS выходного сигнала эталонного тактового сигнала ), но также можно использовать и другие частоты, например 10 Гц и 100 Гц. Скорость, с которой счетчик временных интервалов может завершить измерение, вывести результат и подготовиться к следующему плечу, будет ограничивать частоту запуска.

В этом случае может быть полезен компьютер для записи серии наблюдаемых различий во времени.

Постобработка

Записанные временные ряды требуют постобработки для развертывания обернутой фазы, поэтому обеспечивается непрерывная фазовая ошибка. При необходимости также следует исправить ошибки регистрации и измерения. Необходимо выполнить оценку и устранение дрейфа, необходимо определить и понять механизм дрейфа источников. Ограничения по дрейфу в измерениях могут быть серьезными, поэтому необходимо обеспечить стабилизацию генераторов за счет достаточно длительного времени включения.

Затем дисперсию Аллана можно рассчитать с использованием приведенных оценок, и для практических целей следует использовать перекрывающуюся оценку из-за ее более эффективного использования данных по сравнению с неперекрывающейся оценкой. Другие оценки, такие как оценки общей дисперсии или дисперсии Тео, также могут использоваться, если применяются поправки к смещению, так что они обеспечивают результаты, совместимые с дисперсией Аллана.

Для формирования классических графиков отклонение Аллана (квадратный корень из дисперсии Аллана) отображается в логарифмическом формате в зависимости от интервала наблюдения τ .

Оборудование и программное обеспечение

Счетчик временных интервалов обычно представляет собой серийный счетчик, доступный в продаже. Ограничивающими факторами являются однократное разрешение, джиттер запуска, скорость измерений и стабильность эталонной тактовой частоты. Компьютерный сбор и последующая обработка могут выполняться с использованием существующего коммерческого или общедоступного программного обеспечения. Существуют высокотехнологичные решения, которые обеспечат измерения и вычисления в одном устройстве.

История исследований

Область стабильности частоты изучается уже давно. Однако в 1960-е годы было обнаружено, что последовательных определений не хватает. Симпозиум НАСА-IEEE по краткосрочной стабильности в ноябре 1964 г. Результатом стал специальный выпуск IEEE Proceedings on Frequency Stability в феврале 1966 года.

Симпозиум НАСА-IEEE объединил многие области и способы использования краткосрочной и долгосрочной стабильности, и были представлены статьи от разных участников. Статьи и групповые дискуссии сходятся во мнении о существовании частотного фликкер-шума и желании достичь общего определения как краткосрочной, так и долгосрочной стабильности.

Важные документы, в том числе документы Дэвида Аллана, Джеймс А. Барнс, Л.С. Катлер и К.Л. Сирл и Д.Б. Лисон, появился в материалах IEEE по стабильности частоты и помог сформировать эту область.

В статье Дэвида Аллана анализируется классическое отклонение частоты M -выборки, решая проблему паузы между измерениями наряду с начальной функцией смещения. Хотя первоначальная функция смещения Аллана не предполагает мертвого времени, его формулы включают расчеты мертвого времени. В его статье анализируется случай M частотных выборок (называемых в статье N) и оценок дисперсии. Он обеспечивает теперь стандартное отображение α–μ, явно основанное на работе Джеймса Барнса. в том же выпуске.

Случай двухвыборочной дисперсии является частным случаем M -выборочной дисперсии, который дает среднее значение производной частоты. Аллан неявно использует дисперсию с двумя выборками в качестве базового случая, поскольку для произвольно выбранного M значения могут быть перенесены через дисперсию с двумя выборками в дисперсию с M -выборкой. Никакое предпочтение не было четко указано в отношении дисперсии с двумя выборками, даже если инструменты были предоставлены. Однако эта статья заложила основу для использования двухвыборочной дисперсии как способа сравнения других M -выборочных дисперсий.

Джеймс Барнс значительно расширил работу над функциями смещения. введение современных функций смещения B ₁ и B ₂ . Любопытно, что дисперсия M -выборки называется «дисперсией Аллана», при этом ссылаясь на статью Аллана «Статистика атомных стандартов частоты». С помощью этих современных функций смещения можно выполнить полное преобразование между мерами дисперсии M -выборки различных значений M , T и τ путем преобразования через дисперсию для двух выборок.

Джеймс Барнс и Дэвид Аллан дополнительно расширили функции смещения с помощью B3 _. функции для обработки смещения оценщика объединенных выборок. Это было необходимо для того, чтобы справиться с новым использованием наблюдений объединенных выборок с мертвым временем между ними.

В 1970 году Технический комитет IEEE по частоте и времени в составе группы IEEE по приборам и измерениям представил краткое описание этой области, опубликованное как Техническое уведомление NBS 394. Эта статья была первой в череде образовательных и практических статей, помогающих коллегам-инженерам разобраться в этой области. В этой статье рекомендуется использовать двухвыборочную дисперсию с T = τ , называя ее дисперсией Аллана (теперь без кавычек). Выбор такой параметризации позволяет хорошо обрабатывать некоторые формы шума и получать сопоставимые измерения; по существу, это наименьший общий знаменатель с помощью функций смещения B ₁ и B ₂ .

Дж. Дж. Снайдер предложил улучшенный метод оценки частоты или дисперсии, используя выборочную статистику для частотомеров. Чтобы получить более эффективные степени свободы из доступного набора данных, нужно использовать перекрывающиеся периоды наблюдения. Это обеспечивает улучшение на √ n и было включено в перекрывающуюся систему оценки дисперсии Аллана . Также была включена программная обработка с переменным τ. Эта разработка улучшила классические оценки дисперсии Аллана, а также послужила прямым источником вдохновения для работы над модифицированной дисперсией Аллана .

Хоу, Аллан и Барнс представили анализ доверительных интервалов, степеней свободы и установленных оценок.

Образовательные и практические ресурсы

Область времени и частоты, а также использование дисперсии Аллана, отклонения Аллана и им подобных — это область, включающая множество аспектов, для которых как понимание концепций, так и практические измерения и постобработка требуют внимательности и понимания. Таким образом, существует целый ряд учебных материалов, доступных уже около 40 лет. Поскольку они отражают развитие исследований своего времени, они фокусируются на преподавании различных аспектов с течением времени, и в этом случае обзор доступных ресурсов может быть подходящим способом найти правильный ресурс.

Первым содержательным резюме является Техническое примечание NBS 394 «Характеристика стабильности частоты». Это продукт Технического комитета по частоте и времени группы IEEE по приборостроению и измерениям. В нем дается первый обзор области, излагаются проблемы, определяются основные вспомогательные определения и рассматривается дисперсия Аллана, функции смещения B ₁ и B ₂ , преобразование показателей во временной области. Это полезно, поскольку это одна из первых ссылок на таблицу дисперсии Аллана для пяти основных типов шума.

Классическим справочником является Монография NBS 140. от 1974 года, в главе 8 которого есть «Статистика анализа временных и частотных данных». Это расширенный вариант Технического примечания NBS 394, который существенно дополняет методы измерения и практическую обработку значений.

Важным дополнением станут Свойства источников сигналов и методы измерения . Он охватывает эффективное использование данных, доверительные интервалы, эффективную степень свободы, а также вводит перекрывающуюся систему оценки дисперсии Аллана. Настоятельно рекомендуется прочитать эту книгу по этим темам.

Стандарт IEEE 1139. Стандартные определения физических величин для фундаментальной метрологии частоты и времени. выходит за рамки стандарта и является всеобъемлющим справочным и образовательным ресурсом.

Современной книгой, посвященной телекоммуникациям, является Стефано Бреньи «Синхронизация цифровых телекоммуникационных сетей». Это суммирует не только эту область, но и большую часть его исследований в этой области до этого момента. Его цель – включить как классические меры, так и меры, специфичные для электросвязи, такие как MTIE. Это удобный помощник при изучении измерений, связанных со стандартами электросвязи.

Специальная публикация NIST 1065 «Справочник по анализу стабильности частоты» У. Дж. Райли. рекомендуется к прочтению всем, кто хочет продолжить работу в этой области. Он богат ссылками, а также охватывает широкий спектр показателей, предубеждений и связанных с ними функций, которыми должен обладать современный аналитик. Далее описывается общая обработка, необходимая для современного инструмента.

Использование

Дисперсия Аллана используется как мера стабильности частоты в различных прецизионных генераторах, таких как кварцевые генераторы , атомные часы со стабилизацией частоты, и лазеры в течение секунды или более. Кратковременная стабильность (менее секунды) обычно выражается как фазовый шум . Дисперсия Аллана также используется для характеристики стабильности смещения гироскопов , включая оптоволоконные гироскопы , гироскопы с полусферическим резонатором , а также МЭМС- гироскопы и акселерометры.

50 лет

В 2016 году IEEE-UFFC собирается опубликовать «Специальный выпуск, посвященный 50-летию Allan Variance (1966–2016)». Приглашенным редактором этого номера станет бывший коллега Дэвида в НИСТ Джуда Левин, который является последним лауреатом II премии Раби .

См. также

• Дисперсия
• Полувариантность
• Вариограмма
• Метрология
• Протокол сетевого времени
• Протокол точного времени
• Синхронизация

Внешние ссылки

• Учебные ресурсы по управлению частотой UFFC
• Инструмент поиска публикаций NIST
• Обзор дисперсии Аллана Дэвида В. Аллана
• Официальный веб-сайт Дэвида В. Аллана
• Публикации JPL – Анализ шума и статистика
• Публикации Уильяма Райли
• Stable32 , Программное обеспечение для анализа стабильности частоты, Уильям Райли
• Публикации Стефано Бреньи
• Публикации Энрико Рубиолы
• Allanvar: пакет R для определения характеристик ошибок датчиков с использованием дисперсии Аллана.
• Программное обеспечение Alavar для Windows со средствами отчетности; Бесплатное ПО
• Библиотека Python с открытым исходным кодом AllanTools для вариации Аллана
• MATLAB AVAR приложение MATLAB с открытым исходным кодом