Спектральная утечка

Преобразование Фурье функции времени s(t) представляет собой комплексную функцию частоты S(f), часто называемую частотным спектром . Любая линейная независимая от времени операция над s(t) создает новый спектр формы H(f)•S(f), который изменяет относительные величины и/или углы ( фазу ) ненулевых значений S(f ). Любой другой тип операции создает новые частотные составляющие, которые можно назвать утечкой спектра в самом широком смысле. выборка Например, приводит к утечке, которую мы называем псевдонимами исходного спектрального компонента. Для преобразования Фурье целей выборка моделируется как произведение s(t) и гребенчатой функции Дирака . Спектр произведения представляет собой свертку между S(f) и другой функцией, которая неизбежно создает новые частотные компоненты. Но термин «утечка» обычно относится к эффекту оконной обработки , который является произведением s(t) с функцией другого типа — оконной функцией . Оконные функции имеют конечную продолжительность, но это не обязательно для возникновения утечки. Достаточно умножения на функцию, меняющуюся во времени.

Спектральный анализ

Преобразование Фурье функции $cos(ωt)$ равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и сигналы не имеют удобных преобразований в замкнутой форме. Альтернативно, их спектральный состав может быть интересен только в течение определенного периода времени. В любом случае преобразование Фурье (или подобное преобразование) может быть применено к одному или нескольким конечным интервалам формы сигнала. Обычно преобразование применяется к произведению формы сигнала и оконной функции. Любое окно (в том числе прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисляемую этим методом.

Эффекты легче всего охарактеризовать по их влиянию на синусоидальную функцию s(t), чье неоконное преобразование Фурье равно нулю для всех частот, кроме одной. Обычно выбираемая частота составляет 0 Гц, поскольку оконное преобразование Фурье — это просто преобразование Фурье самой оконной функции (см. § Примеры оконных функций ) :

{\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.

Когда к s(t) применяются как дискретизация, так и обработка окна в любом порядке, утечка, вызванная оконной обработкой, представляет собой относительно локализованное расплывание частотных составляющих, часто с эффектом размытия, тогда как наложение спектров, вызванное выборкой, представляет собой периодическое повторение всей размытый спектр.

Выбор функции окна

Окно простого сигнала, такого как $cos(ωt),$ приводит к тому, что его преобразование Фурье принимает ненулевые значения (обычно называемые спектральной утечкой) на частотах, отличных от ω . Утечка имеет тенденцию быть наибольшей (наивысшей) вблизи ω и наименьшей на частотах, наиболее удаленных от ω .

Если анализируемый сигнал содержит две синусоиды разных частот, утечка может помешать нашей способности различать их спектрально. Возможные типы помех часто разбиваются на два противоположных класса следующим образом: Если частоты компонентов различны и один компонент слабее, то утечка от более сильного компонента может скрыть присутствие более слабого компонента. Но если частоты слишком похожи, утечка может сделать их неразрешимыми, даже если синусоиды имеют одинаковую силу. Окна, которые эффективны против первого типа помех, а именно там, где компоненты имеют разные частоты и амплитуды, называются расширенным динамическим диапазоном . И наоборот, окна, которые могут различать компоненты с одинаковыми частотами и амплитудами, называются окнами высокого разрешения .

Прямоугольное окно является примером окна с высоким разрешением , но с низким динамическим диапазоном . Это означает, что оно хорошо различает компоненты одинаковой амплитуды, даже если частоты также близки, но плохо различает компоненты разной амплитуды, даже если частоты расположены далеко. прочь. Окна с высоким разрешением и низким динамическим диапазоном, такие как прямоугольное окно, также обладают свойством высокой чувствительности , то есть способностью выявлять относительно слабые синусоиды в присутствии аддитивного случайного шума. Это связано с тем, что шум вызывает более сильный отклик в окнах с расширенным динамическим диапазоном, чем в окнах с высоким разрешением.

На другом конце диапазона типов окон находятся окна с высоким динамическим диапазоном, но с низким разрешением и чувствительностью. Окна с расширенным динамическим диапазоном чаще всего оправданы в широкополосных приложениях , где анализируемый спектр должен содержать множество различных компонент различной амплитуды.

Между крайностями находятся умеренные окна, такие как Ханн и Хэмминг . Они обычно используются в узкополосных приложениях , таких как спектр телефонного канала.

Таким образом, спектральный анализ предполагает компромисс между разрешением сопоставимых компонентов прочности с одинаковыми частотами ( высокое разрешение / чувствительность ) и разрешением несопоставимых компонентов прочности с разными частотами ( высокий динамический диапазон ). Этот компромисс возникает при выборе оконной функции. ^[1]^{: стр.90}

Сигналы дискретного времени

Когда входной сигнал имеет временную дискретизацию, а не непрерывный, анализ обычно выполняется путем применения оконной функции, а затем дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Но ДПФ обеспечивает лишь разреженную выборку реального спектра дискретного преобразования Фурье (ДПФ). На рисунке 2, строка 3 показано DTFT для синусоиды с прямоугольным окном. Фактическая частота синусоиды обозначена цифрой «13» на горизонтальной оси. Все остальное — утечка, преувеличенная использованием логарифмического представления. Единица частоты — «бины ДПФ»; то есть целочисленные значения на оси частот соответствуют частотам, выбранным с помощью ДПФ. ^[2]^{: стр. 56 уравнение (16)} Таким образом, на рисунке изображен случай, когда фактическая частота синусоиды совпадает с выборкой ДПФ, и максимальное значение спектра точно измеряется этой выборкой. В строке 4 он пропускает максимальное значение на 1 ⁄ бин , и результирующая ошибка измерения называется волнистыми потерями (в зависимости от формы пика). Для известной частоты, такой как музыкальная нота или синусоидальный тестовый сигнал, согласование частоты с элементом дискретизации ДПФ может быть заранее организовано путем выбора частоты дискретизации и длины окна, что приводит к целому числу циклов внутри окна.

Шумовая полоса пропускания

Понятия разрешения и динамического диапазона, как правило, несколько субъективны и зависят от того, что на самом деле пытается сделать пользователь. Но они также имеют тенденцию сильно коррелировать с общей утечкой, которая поддается количественной оценке. Обычно ее выражают как эквивалентную ширину полосы B. Ее можно рассматривать как перераспределение DTFT в прямоугольную форму с высотой, равной спектральному максимуму, и шириной B. ^[А]^[3] Чем больше утечка, тем больше пропускная способность. Иногда ее называют эквивалентной шумовой полосой или эквивалентной шумовой полосой , поскольку она пропорциональна средней мощности, которая будет зарегистрирована каждым элементом ДПФ, когда входной сигнал содержит компонент случайного шума (или является просто случайным шумом). График спектра мощности , усредненный по времени, обычно показывает плоский уровень шума , вызванный этим эффектом. Высота минимального уровня шума пропорциональна B. Таким образом, две разные оконные функции могут создавать разные уровни шума, как показано на рисунках 1 и 3.

Обработка прибылей и убытков

При обработке сигналов операции выбираются для улучшения некоторых аспектов качества сигнала за счет использования различий между сигналом и искажающими воздействиями. Когда сигнал представляет собой синусоиду, искаженную аддитивным случайным шумом, спектральный анализ распределяет компоненты сигнала и шума по-разному, что часто упрощает обнаружение присутствия сигнала или измерение определенных характеристик, таких как амплитуда и частота. По сути, отношение сигнал/шум (SNR) улучшается за счет равномерного распределения шума и концентрации большей части энергии синусоиды вокруг одной частоты. Выигрыш от обработки — это термин, часто используемый для описания улучшения отношения сигнал/шум. Выигрыш при обработке спектрального анализа зависит от оконной функции, как от ее шумовой полосы пропускания (B), так и от потенциальных потерь из-за волнистости. Эти эффекты частично компенсируются, поскольку окна с наименьшими зубцами, естественно, имеют наибольшую утечку.

На рисунке 3 показано влияние трех разных оконных функций на один и тот же набор данных, содержащий две синусоиды одинаковой силы в аддитивном шуме. Частоты синусоиды выбираются так, чтобы одна из них не имела волнистости, а другая имела максимальную волнистость. Обе синусоиды страдают от меньших потерь отношения сигнал/шум в окне Ханна, чем в окне Блэкмана-Харриса . В целом (как упоминалось ранее), это является сдерживающим фактором для использования окон с высоким динамическим диапазоном в приложениях с низким динамическим диапазоном.

Симметрия

Формулы, приведенные в § Примеры оконных функций, создают дискретные последовательности, как если бы была «выборка» непрерывной оконной функции. (См. пример в окне Кайзера .) Последовательности окон для спектрального анализа либо симметричны , либо несимметричны (называемые периодическими ). ^[4]^[5] ДПФ-четный или ДПФ-симметричный ^[2]^{: стр.52}). Например, истинная симметричная последовательность с максимумом в одной центральной точке генерируется функцией . MATLAB hann(9,'symmetric'). Удаление последней выборки дает последовательность, идентичную hann(8,'periodic'). Аналогично, последовательность hann(8,'symmetric') имеет две равные центральные точки. ^[6]

Некоторые функции имеют одну или две конечные точки с нулевым значением, которые не нужны в большинстве приложений. Удаление конечной точки с нулевым значением не влияет на ее DTFT (утечку спектра). Но функция, разработанная для $выборок N$ + 1 или $N$ + 2, в ожидании удаления одной или обеих конечных точек, обычно имеет немного более узкий главный лепесток, немного более высокие боковые лепестки и немного меньшую полосу пропускания шума. ^[7]

DFT-симметрия

Предшественником ДПФ является конечное преобразование Фурье , а оконные функции «всегда имели нечетное количество точек и проявляли четную симметрию относительно начала координат». ^[2]^{: стр.52} В этом случае DTFT полностью действителен. Когда та же самая последовательность перемещается в окно данных ДПФ , $[0\leq n\leq N],$ DTFT становится комплексным, за исключением частот, расположенных через равные интервалы $1/N.$ ^[а] Таким образом, при выборке $N$ -длина DFT, выборки (называемые коэффициентами DFT ) по-прежнему имеют действительные значения. Приближение состоит в усечении $последовательности длиной N$ +1 (фактически $w[N]=0$ ) и вычислить $N$ -длина ДПФ. DTFT (спектральная утечка) изменяется незначительно, но выборки остаются действительными. ^[8]^[Б] Термины ДПФ-четный и периодический относятся к идее, что если бы усеченная последовательность повторялась периодически, она была бы четно-симметричной относительно $n=0,$ и его DTFT будет полностью действительным. Но фактическое DTFT обычно является комплексным, за исключением $N$ Коэффициенты ДПФ. Спектральные графики, подобные приведенным в § Примеры оконных функций , создаются путем выборки DTFT с гораздо меньшими интервалами, чем $1/N$ и отображение только компонента величины комплексных чисел.

Периодическое суммирование

Точный метод выборки DTFT последовательности $длиной N$ +1 с интервалами $1/N$ описано в DTFT § L=N+1 . По сути, $w[N]$ сочетается с $w[0]$ (путем добавления) и $N$ -точечное ДПФ выполняется на усеченной последовательности. Аналогично, спектральный анализ может быть выполнен путем объединения $n=0$ и $n=N$ выборки данных перед применением усеченного симметричного окна. Это не распространенная практика, хотя усеченные окна очень популярны. ^[2]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[б]

Свертка

Привлекательность симметричных ДПФ окон объясняется популярностью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) для реализации ДПФ, поскольку усечение последовательности нечетной длины приводит к получению последовательности четной длины. Их действительные коэффициенты ДПФ также являются преимуществом в некоторых эзотерических приложениях. ^[С] где оконная обработка достигается посредством свертки между коэффициентами ДПФ и неоконным ДПФ данных. ^[14]^[2]^{: стр.62}^[1]^{: стр.85} симметричные по ДПФ окна (четной или нечетной длины) из семейства косинус-суммы , поскольку большинство их коэффициентов ДПФ имеют нулевые значения, что делает свертку очень эффективной. В этих приложениях предпочтительны ^[Д]^[1]^{: стр.85}

Некоторые показатели окна

Этот сравнительный график может оказаться полезным при выборе подходящей оконной функции для приложения. Ось частоты имеет единицы «элементов» БПФ, когда к данным применяется окно длины N преобразование длины N. и вычисляется Например, значение на частоте ⁠ 1/2 «бин» — это отклик , k ⁠ который будет измеряться в интервалах и k + 1 на синусоидальный сигнал на частоте k + ⁠ 1/2 ⁠ . Это относительно максимально возможного ответа, который возникает, когда частота сигнала представляет собой целое число элементов разрешения. Значение на частоте ⁠ 1/2 . ⁠ окон называется максимальной потерей окна при скалпинге и является одним из показателей, используемых для сравнения Прямоугольное окно заметно хуже остальных по этому показателю.

Другими метриками, которые можно увидеть, являются ширина основного лепестка и пиковый уровень боковых лепестков, которые соответственно определяют способность разрешать сигналы сопоставимой мощности и сигналы разной мощности. Прямоугольное окно (например) — лучший выбор для первого и худший выбор для второго. Из графиков не видно, что прямоугольное окно имеет наилучшую полосу шума, что делает его хорошим кандидатом для обнаружения синусоид низкого уровня в среде белого шума . методы интерполяции, такие как заполнение нулями и сдвиг частоты, чтобы уменьшить потенциальные потери из-за скаллопинга. Доступны

См. также

§ Выборка DTFT
Эффект ножа , пространственный аналог усечения
Феномен Гиббса

Примечания

^ Математически эквивалентная шуму полоса пропускания передаточной функции H представляет собой полосу пропускания идеального прямоугольного фильтра с тем же пиковым коэффициентом усиления, что и H , который пропускал бы ту же мощность с белым шумом входным . В единицах частоты f (например, герцах ) это определяется как :
$B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.$
^ Примером влияния усечения на утечку спектра является рисунок гауссовых окон . График, помеченный как DTFT period8, представляет собой DTFT усеченного окна, помеченного как периодическое DFT-четное (оба синие). Зеленый график с надписью DTFT symmetric9 соответствует тому же окну с восстановленной симметрией. Выборки DTFT, помеченные как периодическое суммирование DFT8 , являются примером использования периодического суммирования для выборки на тех же частотах, что и синий график.
^ Иногда необходимы как оконное, так и безоконное (прямоугольное) ДПФ.
^ Например, см. рисунки Окно Ханна с четным ДПФ и Окно Ханна с нечетной длиной и четным ДПФ , которые показывают, что $N$ -длина ДПФ последовательности, сгенерированной Hann( $N$ ,' periodic') имеет только три ненулевых значения. Все остальные выборки совпадают с пересечениями нуля DTFT.

Цитаты страниц

^ Харрис 1978 , стр.52, где $\Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.$
^ Наттолл 1981 , стр.85 (15а).

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков» . Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. дои : 10.1109/ТАССП.1981.1163506 . Расширяет статью Харриса, охватывая все оконные функции, известные на тот момент, а также сравнение ключевых показателей.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Бибкод : 1978IEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 . Фундаментальная статья Харриса 1978 года об окнах БПФ, в которой указано множество окон и представлены ключевые показатели, используемые для их сравнения.
^ Карлсон, А. Брюс (1986). Системы связи: введение в сигналы и шум в электрической связи . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-009960-9 .
^ «Окно Ханна (Хеннинга) — MATLAB Hann» . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.
^ «Оконная функция» . www.mathworks.com . Проверено 14 апреля 2019 г.
^ Робертсон, Нил (18 декабря 2018 г.). «Оценка оконных функций для дискретного преобразования Фурье» . DSPRelated.com . Группа связанных СМИ . Проверено 9 августа 2020 г. Пересмотрено 22 февраля 2020 г.
^ «Matlab для окна Ханна» . ccrma.stanford.edu . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ Ролинг, Х.; Шуерманн, Дж. (март 1983 г.). «Функции дискретного временного окна с произвольно низким уровнем боковых лепестков» . Обработка сигналов . 5 (2). Форшунгсинститут Ульма, Седанстр, Германия: AEG-Telefunken: 127–138. Бибкод : 1983СигПр...5..127Р . дои : 10.1016/0165-1684(83)90019-1 . Проверено 8 августа 2020 г. Можно показать, что метод равномерной выборки ДПФ, предложенный Харрисом, не является самым подходящим.
^ Хайнцель, Г.; Рюдигер, А.; Шиллинг, Р. (2002). Оценка спектра и спектральной плотности с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ), включая полный список оконных функций и некоторые новые окна с плоской вершиной (технический отчет). Институт Макса Планка (MPI) по гравитационной физике / лазерной интерферометрии и гравитационно-волновой астрономии. 395068.0 . Проверено 10 февраля 2013 г. Также доступно по адресу https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/comComponent/file_152163/content.
^ Лайонс, Ричард (1 июня 1998 г.). «Оконные функции улучшают результаты БПФ» . ЭДН . Саннивейл, Калифорния: TRW . Проверено 8 августа 2020 г.
^ Фултон, Тревор (4 марта 2008 г.). «Панель инструментов численного преобразования DP» . Herschel.esac.esa.int . Обработка данных Гершеля . Проверено 8 августа 2020 г.
^ Пуларикас, AD (1999). «7.3.1». В Пуларикасе, Александр Д. (ред.). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (PDF) . Бока-Ратон: ООО «CRC Press». ISBN 0849385792 . Проверено 8 августа 2020 г. Окна — это четные (относительно начала координат) последовательности с нечетным числом точек. Самая правая точка окна будет отброшена.
^ Пакетт, Миллер (30 декабря 2006 г.). «Фурье-анализ непериодических сигналов» . msp.ucsd.edu . Калифорнийский университет в Сан-Диего . Проверено 9 августа 2020 г.
^ патент США 6898235 , Карлин, Джо; Коллинз, Терри и Хейс, Питер и др., «Устройство перехвата широкополосной связи и пеленгации с использованием гиперканализации», опубликовано 10 декабря 1999 г., выпущено 24 мая 2005 г. также доступно по адресу https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf .

[noise_bandwidth-3] Математически эквивалентная шуму полоса пропускания передаточной функции H представляет собой полосу пропускания идеального прямоугольного фильтра с тем же пиковым коэффициентом усиления, что и H , который пропускал бы ту же мощность с белым шумом входным . В единицах частоты f (например, герцах ) это определяется как :
$B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.$

[11] Примером влияния усечения на утечку спектра является рисунок гауссовых окон . График, помеченный как DTFT period8, представляет собой DTFT усеченного окна, помеченного как периодическое DFT-четное (оба синие). Зеленый график с надписью DTFT symmetric9 соответствует тому же окну с восстановленной симметрией. Выборки DTFT, помеченные как периодическое суммирование DFT8 , являются примером использования периодического суммирования для выборки на тех же частотах, что и синий график.

[18] Иногда необходимы как оконное, так и безоконное (прямоугольное) ДПФ.

[20] Например, см. рисунки Окно Ханна с четным ДПФ и Окно Ханна с нечетной длиной и четным ДПФ , которые показывают, что $N$ -длина ДПФ последовательности, сгенерированной Hann( $N$ ,' periodic') имеет только три ненулевых значения. Все остальные выборки совпадают с пересечениями нуля DTFT.

[9] Харрис 1978 , стр.52, где $\Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.$

[17] Наттолл 1981 , стр.85 (15а).

[Nuttall-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков» . Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. дои : 10.1109/ТАССП.1981.1163506 . Расширяет статью Харриса, охватывая все оконные функции, известные на тот момент, а также сравнение ключевых показателей.

[Harris-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Бибкод : 1978IEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . дои : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 . Фундаментальная статья Харриса 1978 года об окнах БПФ, в которой указано множество окон и представлены ключевые показатели, используемые для их сравнения.

[Carlson-4] Карлсон, А. Брюс (1986). Системы связи: введение в сигналы и шум в электрической связи . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-009960-9 .

[MWhann-5] «Окно Ханна (Хеннинга) — MATLAB Hann» . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.

[MWwindow-6] «Оконная функция» . www.mathworks.com . Проверено 14 апреля 2019 г.

[Robertson-7] Робертсон, Нил (18 декабря 2018 г.). «Оценка оконных функций для дискретного преобразования Фурье» . DSPRelated.com . Группа связанных СМИ . Проверено 9 августа 2020 г. Пересмотрено 22 февраля 2020 г.

[JOShann2-8] «Matlab для окна Ханна» . ccrma.stanford.edu . Проверено 1 сентября 2020 г.

[Rohling-10] Ролинг, Х.; Шуерманн, Дж. (март 1983 г.). «Функции дискретного временного окна с произвольно низким уровнем боковых лепестков» . Обработка сигналов . 5 (2). Форшунгсинститут Ульма, Седанстр, Германия: AEG-Telefunken: 127–138. Бибкод : 1983СигПр...5..127Р . дои : 10.1016/0165-1684(83)90019-1 . Проверено 8 августа 2020 г. Можно показать, что метод равномерной выборки ДПФ, предложенный Харрисом, не является самым подходящим.

[Heinzel2002-12] Хайнцель, Г.; Рюдигер, А.; Шиллинг, Р. (2002). Оценка спектра и спектральной плотности с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ), включая полный список оконных функций и некоторые новые окна с плоской вершиной (технический отчет). Институт Макса Планка (MPI) по гравитационной физике / лазерной интерферометрии и гравитационно-волновой астрономии. 395068.0 . Проверено 10 февраля 2013 г. Также доступно по адресу https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/comComponent/file_152163/content.

[Lyons-13] Лайонс, Ричард (1 июня 1998 г.). «Оконные функции улучшают результаты БПФ» . ЭДН . Саннивейл, Калифорния: TRW . Проверено 8 августа 2020 г.

[Fulton-14] Фултон, Тревор (4 марта 2008 г.). «Панель инструментов численного преобразования DP» . Herschel.esac.esa.int . Обработка данных Гершеля . Проверено 8 августа 2020 г.

[Poularikas-15] Пуларикас, AD (1999). «7.3.1». В Пуларикасе, Александр Д. (ред.). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (PDF) . Бока-Ратон: ООО «CRC Press». ISBN 0849385792 . Проверено 8 августа 2020 г. Окна — это четные (относительно начала координат) последовательности с нечетным числом точек. Самая правая точка окна будет отброшена.

[Puckette-16] Пакетт, Миллер (30 декабря 2006 г.). «Фурье-анализ непериодических сигналов» . msp.ucsd.edu . Калифорнийский университет в Сан-Диего . Проверено 9 августа 2020 г.

[Carlin-19] патент США 6898235 , Карлин, Джо; Коллинз, Терри и Хейс, Питер и др., «Устройство перехвата широкополосной связи и пеленгации с использованием гиперканализации», опубликовано 10 декабря 1999 г., выпущено 24 мая 2005 г. также доступно по адресу https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf .

[1]

[2]

[А]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[а]

[8]

[Б]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[б]

[С]

[14]

[Д]