Теорема вложения Скорохода

В математике и вероятностей теории теорема вложения Скорохода представляет собой одну или обе из двух теорем , которые позволяют рассматривать любой подходящий набор случайных величин как винеровский процесс ( броуновское движение ), оцениваемый при наборе моментов остановки . Оба результата названы по имени украинского математика А. В. Скорохода .

Первая теорема вложения Скорохода

Пусть X — вещественная случайная величина с ожидаемым значением 0 и конечной дисперсией ; пусть W обозначает канонический вещественный винеровский процесс. Тогда существует момент остановки (относительно естественной фильтрации W и ), τ , такой, что W _τ имеет то же распределение, что X ,

$\operatorname {E} [\tau ]=\operatorname {E} [X^{2}]$

и

$\operatorname {E} [\tau ^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X^{4}].$

Вторая теорема вложения Скорохода

Пусть X ₁ , X ₂ , ... будет последовательностью независимых и одинаково распределенных случайных величин , каждая из которых имеет ожидаемое значение 0 и конечную дисперсию, и пусть

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$

Тогда существует последовательность моментов остановки τ ₁ ≤ τ ₂ ≤ ... такая, что $W_{\tau _{n}}$ имеют те же совместные распределения, что и частичные суммы S _n и τ ₁ , τ ₂ − τ ₁ , τ ₃ − τ ₂ , ... являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, удовлетворяющими

$\operatorname {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\operatorname {E} [X_{1}^{2}]$

и

$\operatorname {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X_{1}^{4}].$

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-471-00710-2 . (Теоремы 37.6, 37.7)