Формула Шилдса

Оригинальная схема Шилдса, 1936 год.

Формула Шилдса — это формула для расчета устойчивости сыпучего материала ( песка , гравия ) в проточной воде.

Устойчивость сыпучего материала в потоке можно определить по формуле Шилдса или формуле Избаша . Первый больше подходит для мелкозернистого материала (например, песка и гравия ), а формула Избаша больше подходит для более крупного камня. Формула Шилдса была разработана Альбертом Ф. Шилдсом (1908–1974). Фактически, метод Шилдса определяет, будет ли двигаться почвенный материал. Параметр Shields таким образом определяет, есть ли начало движения.

Вывод

Движение (рыхлозернистого) почвенного материала происходит, когда сдвиговое давление, оказываемое водой на почву, превышает сопротивление, оказываемое почвой. Это безразмерное соотношение ( параметр Шилдса ) было впервые описано Альбертом Шилдсом и гласит:

$\Psi _{c}*={\frac {load}{strength}}={\frac {\tau _{c}d^{2}}{(\rho _{s}-\rho _{w})gd^{3}}}$,

где:

• $\tau _{c}$ – критическое донное напряжение сдвига ;
• $\rho _{s}$ – плотность осадка;
• $\rho _{w}$ – плотность воды;
• $g$ – ускорение свободного падения ;
• $d$ - диаметр осадка.

Касательное напряжение, действующее на дно (при нормальном равномерном течении вдоль уклона), равно:

$\tau =\rho _{w}ghI$,

где:

• $\tau$ – сдвиговое напряжение, оказываемое потоком на слой;
• $h$ – глубина воды;
• $I$ — градиент (= наклон тока).

Важно осознавать, что $\tau$ - напряжение сдвига, оказываемое потоком (т.е. свойство потока), и $\tau _{c}$ – напряжение сдвига, при котором зерна движутся (т.е. свойство зерен).

Вместо напряжения сдвига часто используется скорость касательного напряжения:

$u_{*}={\sqrt {\tau /\rho _{w}}}$

Скорость напряжения сдвига имеет размерность скорости (м/с), но на самом деле является представлением напряжения сдвига. Таким образом, скорость напряжения сдвига никогда не может быть измерена с помощью измерителя скорости.

Используя скорость напряжения сдвига, параметр Шилдса также можно записать как:

$\Psi _{c*}={\frac {load}{strength}}={\frac {u_{*c}^{2}}{\Delta gd}}$

где:

• $\Delta$ безразмерный размер зерна ${\frac {(\rho _{s}-\rho _{w})}{\rho _{w}}}$

Шилдс обнаружил, что параметр $\Psi _{c*}$ является функцией ${\frac {u_{*c}d}{\nu }}$, в котором $\nu$ – кинематическая вязкость . Этот параметр также называется гранулярным числом Рейнольдса :

$Re_{*}={\frac {u_{*c}d}{\nu }}$

Шилдс провел испытания с зернами разной плотности и нашел значение $\Psi _{c*}$ построенный как функция $Re_{*}$. Это привело к приведенному выше графику.

Ван Рейн обнаружил, что вместо гранулированного числа Рейнольдса можно использовать безразмерный размер зерна:

${d_{*}}=d{\left({\frac {\Delta g}{\nu ^{2}}}\right)}^{1/3}$

Поскольку обычно значения $\Delta ,g,\nu$ достаточно постоянны, истинный размер зерна также можно установить по горизонтальной оси (см. рисунок b справа). Это означает, что значение $\Psi _{c*}$ является функцией только диаметра зерна и может быть считан напрямую.

.

Отсюда следует, что для зерен более 5 мм параметр Шилдса приобретает постоянное значение 0,055.

Уклон реки ( I ) можно определить по формуле Шези :

$u=C{\sqrt {hI}}$

в котором $C$ = коэффициент Шези ( ⁠ m ^1/2 / с ⁠ ); Часто это порядка 50 ( ⁠ m ^1/2 / с ⁠ ). Для плоского слоя (т.е. без ряби) C можно аппроксимировать следующим образом:

$C=18\log _{10}{\frac {12h}{2d}}$

Введя это в формулу стабильности, можно найти формулу критического размера зерна при заданной скорости потока:

$d_{c}={\frac {u^{2}}{\Psi _{c}\Delta C^{2}}}$

В такой форме соотношение устойчивости обычно называют «формулой Шилдса».

Определение «начинающегося движения»

Линия Шилдса (и Ван Рейна) на графике представляет собой границу между «движением» и «отсутствием движения». Шилдс определил «движение», при котором почти все зерна движутся по дну. Это полезное определение для определения начала переноса песка потоком. Однако если кто-то хочет защитить гряду от эрозии, необходимо, чтобы зерна почти не двигались. Чтобы воплотить это в жизнь, Брейзерс в 1969 году определил 7 фаз движения:

1. Время от времени движущийся камень
2. Частое движение в некоторых местах
3. Частое перемещение в нескольких местах
4. Частое движение во многих местах
5. Постоянное движение во всех точках
6. Транспортировка всех зерен снизу

Эти этапы показаны на рисунке ниже:

Визуально эти этапы также показаны в серии коротких видеороликов. В этих видеофрагментах «нет» используется параметр Shields.

На практике это означает, что для защиты слоя (где зерно всегда больше 5 мм) необходимо использовать расчетное значение Ψ=0,03.

Пример расчета

Вопрос: С какой скоростью течения движется песок размером 0,2 см на глубине воды 1 м?

Тогда значение Шези становится C = 62 (это высокое значение, поэтому почва гладкая; это потому, что мы предполагаем отсутствие гребней). Заполнение этого значения дает скорость 0,83 м/с.

Вопрос: Какой размер камня необходим, чтобы защитить этот грунт от течения скоростью 2 м/с?

Это не может быть решено напрямую, сначала необходимо сделать предположение для d . Возьмите камень размером 5см. Это дает значение Шези, равное 37. Когда оно вводится в формулу Шилдса, получается размер камня 5,7 см. 5 см оказалось мало. Путем попыток наконец-то найден камень размером 6,5см. (В данном случае формула Избаша дает 6,3см)

Ограничения

Подход Шилдса основан на равномерном, постоянном потоке с турбулентностью, создаваемой неровностями дна (т.е. без дополнительной турбулентности, например, со стороны пропеллерного потока). Поэтому в случае неровного дна на мелководье и в случае необычной турбулентности формулу Избаша . более рекомендуется использовать