Сокращение фазы

Сокращение фазы — это метод, используемый для сведения многомерного динамического уравнения, описывающего нелинейный предельного цикла, генератор к одномерному фазовому уравнению. Многие явления в нашем мире, такие как химические реакции, электрические цепи, механические вибрации, сердечные клетки и импульсные нейроны, являются примерами ритмических явлений и могут рассматриваться как нелинейные генераторы предельного цикла.

История

Теория метода фазовой редукции была впервые представлена ​​в 1950-х годах, существование периодических решений нелинейных осцилляторов при возмущении обсуждалось Малкиным в: в 1960-х годах Уинфри проиллюстрировал важность понятия фазы и сформулировал фазовую модель для совокупности нелинейных осцилляторов в своих исследованиях биологической синхронизации. С тех пор многие исследователи открыли различные ритмические явления, связанные с теорией редукции фазы.

Фазовая модель восстановления

Рассмотрим динамическую систему вида

${\frac {dx}{dt}}=f(x),$

где $x\in \mathbb {R} ^{N}$ — переменная состояния осциллятора, $f(x)$ — базовое векторное поле. Позволять $\varphi :\mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{N}$ — поток , индуцируемый системой, т.е. $\varphi (x_{0},t)$ – решение системы для начального условия $x(0)=x_{0}$. Эта система дифференциальных уравнений может описать модель нейрона для проводимости с $x=(V,n)\in \mathbb {R} ^{N}$, где $V$ представляет собой разницу напряжений на мембране и $n$ представляет собой $(N-1)$-мерный вектор, определяющий стробирующие переменные . Когда нейрон возмущается током стимула, динамика возмущенной системы больше не будет такой же, как динамика базового нейронного осциллятора.

Изохроны и устойчивый предельный цикл планарной системы. ${\dot {x}}=x-y-x(x^{2}+y^{2});{\dot {y}}=x+y-y(x^{2}+y^{2})$. Система имеет единственный устойчивый предельный цикл (сплошной кружок). Только изохроны, соответствующие фазам $nT/5,n=1,2,3,4,5$, где $T=2\pi$ – период орбиты, показаны (пунктирными линиями). Соседние траектории (синие пунктирные кривые) с разными начальными условиями притягиваются к циклу (кроме начала координат).

Целью здесь является сокращение системы путем определения фазы для каждой точки в некоторой окрестности предельного цикла. Учет достаточно малых возмущений (например, внешнего воздействия или воздействия на систему) может вызвать большое отклонение фазы, но амплитуда слегка возмущается из-за притяжения предельного цикла. Следовательно, нам необходимо распространить определение фазы на точки, находящиеся в окрестности цикла, введя определение асимптотической фазы (или латентной фазы). Это помогает нам присвоить фазу каждой точке в зоне притяжения периодической орбиты. Совокупность точек в бассейне притяжения $\gamma$ которые имеют одну и ту же асимптотическую фазу $\Phi (x)$ называется изохроной (см., например, рисунок 1 ), которая была впервые введена Уинфри. Можно показать, что изохроны существуют для такого устойчивого гиперболического предельного цикла. $\gamma$. Итак, по всем пунктам $x$ в некоторой окрестности цикла эволюция фазы $\varphi =\Phi (x)$ может быть задано соотношением ${\frac {d\varphi }{dt}}=\omega$, где $\omega ={\frac {2\pi }{T_{0}}}$ – собственная частота колебаний. Затем по цепному правилу мы получаем уравнение, которое управляет эволюцией фазы модели нейрона, заданной фазовой моделью:

${\frac {d\varphi }{dt}}=\nabla \Phi (x)\cdot f(x)=\omega ,$

где $\nabla \Phi (x)$ - градиент фазовой функции $\Phi (x)$ относительно вектора вектора состояния нейрона $x$, о выводе этого результата см. Это означает, что $N$-мерная система, описывающая колебательную динамику нейрона, затем сводится к простому одномерному фазовому уравнению. Можно заметить, что невозможно получить полную информацию о генераторе. $x$ из фазы $\Phi$ потому что $\Phi (x)$ не является взаимно-однозначным отображением.

Фазовая модель с внешним воздействием

Рассмотрим теперь слабовозмущенную систему вида

${\frac {dx(t)}{dt}}=f(x)+\varepsilon g(t),$

где $f(x)$ — базовое векторное поле, $\varepsilon g(t)$ представляет собой слабое периодическое внешнее воздействие (или стимулирующее воздействие) периода $T$, который может отличаться от $T_{0}$ (в целом) и частота $\Omega =2\pi /T$, что может зависеть от состояния осциллятора $x$. Предполагая, что базовый нейронный осциллятор (т. е. когда $\varepsilon =0$) имеет экспоненциально устойчивый предельный цикл $\gamma$ с периодом $T_{0}$ (пример см. рисунок 1 ) $\gamma$ это обычно гиперболично , можно показать, что $\gamma$ сохраняется при небольших возмущениях. Это означает, что при малом возмущении возмущенная система останется близкой к предельному циклу. Поэтому мы предполагаем, что такой предельный цикл всегда существует для каждого нейрона.

Эволюция возмущенной системы по изохронам имеет вид

${\frac {d\varphi }{dt}}=\omega +\varepsilon \,\nabla \Phi (x)\cdot g(t),$

где $\nabla \Phi (x)$ градиент фазы $\Phi (x)$ относительно вектора вектора состояния нейрона $x$, и $g(t)$ это эффект стимула, вызывающий срабатывание нейрона, как функция времени $t$. Это фазовое уравнение представляет собой уравнение в частных производных (УЧП).

Для достаточно малого $\varepsilon >0$, приведенная фазовая модель, оцененная на предельном цикле $\gamma$ невозмущенной системы может быть выражена с точностью до первого порядка $\varepsilon$,

${\frac {d\varphi }{dt}}=\omega +\varepsilon \,Z(\varphi )\cdot g(t),$

где функция $Z(\varphi ):=\nabla \Phi (\gamma (t))$ измеряет нормированный фазовый сдвиг из-за небольшого возмущения, возникающего в любой точке $x$ на предельном цикле $\gamma$, и называется функцией фазовой чувствительности или бесконечно малой кривой фазового отклика .

Чтобы проанализировать приведенное фазовое уравнение, соответствующее возмущенной нелинейной системе, нам необходимо решить УЧП, который не является тривиальным. Поэтому нам нужно упростить его до автономного фазового уравнения для $\varphi$, который легче анализировать. Предполагая, что частоты $\omega$ и $\Omega$ достаточно малы, так что $\omega -\Omega =\varepsilon \delta$, где $\delta$ является $O(1)$, мы можем ввести новую фазовую функцию $\psi (t)=\varphi (t)-\Omega t$.

По методу усреднения , предполагая, что $\psi (t)$ не меняется в пределах $T$, получим приближенное фазовое уравнение

${\frac {d\psi (t)}{dt}}=\Delta _{\varepsilon }+\varepsilon \Gamma (\psi ),$

где $\Delta _{\varepsilon }=\varepsilon \delta$, и $\Gamma (\psi )$ это $2\pi$-периодическая функция, представляющая влияние периодического внешнего воздействия на фазу генератора, определяется

$\Gamma (\psi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Z(\psi +\eta )\cdot g\left({\frac {\eta }{\Omega }}\right)\,d\eta .$

График этой функции $\Gamma (\psi )$ Можно показать, что демонстрирует динамику аппроксимированной фазовой модели, дополнительные иллюстрации см.

Примеры снижения фазы

Для достаточно малого возмущения некоторого нелинейного осциллятора или сети связанных осцилляторов мы можем вычислить соответствующую функцию фазовой чувствительности или бесконечно малую ФПР $Z(\varphi )$.