Тонкая пластина шлица

Тонкие пластинчатые сплайны ( TPS ) — это основанный на сплайнах метод интерполяции и сглаживания данных . «Сплайн — это функция, определяемая полиномами кусочно». их познакомил С геометрическим дизайном Дюшон. Они представляют собой важный частный случай полигармонического сплайна . Робастное сопоставление точек (RPM) — это распространенное расширение, вскоре известное как алгоритм TPS-RPM.

Физическая аналогия

Название « тонкий пластинчатый сплайн» относится к физической аналогии, связанной с изгибом пластины или тонкого листа металла. Так же, как металл обладает жесткостью, посадка TPS также сопротивляется изгибу, что подразумевает ухудшение гладкости подогнанной поверхности. В физической ситуации отклонение находится в $z$ направлении, ортогональном плоскости. Чтобы применить эту идею к проблеме преобразования координат, подъем пластины интерпретируется как смещение $x$ или $y$ координаты внутри плоскости. В 2D случаях, учитывая набор $K$ соответствующие контрольные точки (узлы), деформация ДПС описывается выражением $2(K+3)$ параметры, которые включают в себя 6 глобальных параметров аффинного движения и $2K$ коэффициенты соответствия контрольных точек. Эти параметры вычисляются путем решения линейной системы, другими словами, TPS имеет решение в замкнутой форме .

Мера гладкости

ДПС возникает из рассмотрения интеграла от квадрата второй производной — это формирует его меру гладкости. В случае, когда $x$ является двумерным, для интерполяции TPS соответствует функции отображения $f(x)$ между соответствующими наборами точек $\{y_{i}\}$ и $\{x_{i}\}$ что минимизирует следующую энергетическую функцию:

$E_{\mathrm {tps} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}$

Вариант сглаживания, соответственно, использует параметр настройки $\lambda$ контролировать жесткость деформации, балансируя вышеупомянутый критерий с мерой точности прилегания, сводя таким образом к минимуму:

$E_{\mathrm {tps} ,\mathrm {smooth} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}+\lambda \iint \left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}\right]{\textrm {d}}x_{1}\,{\textrm {d}}x_{2}$

Для этой вариационной задачи можно показать, что существует единственный минимизатор $f$ . Дискретизация методом конечных элементов этой вариационной задачи, метод упругих карт , используется для интеллектуального анализа данных и нелинейного уменьшения размерности . Проще говоря, «первый член определяется как член измерения ошибки, а второй член регуляризации — это штраф за гладкость $f$." В общем случае необходимо сделать отображение уникальным.

Радиальная базисная функция

Основная статья: Радиальная базисная функция

Сплайн тонкой пластины имеет естественное представление в терминах радиальных базисных функций. Учитывая набор контрольных точек $\{c_{i},i=1,2,\ldots ,K\}$, радиальная базисная функция определяет пространственное отображение, которое отображает любое местоположение $x$ в космосе в новое место $f(x)$, представленный

$f(x)=\sum _{i=1}^{K}w_{i}\varphi (\left\|x-c_{i}\right\|)$

где $\left\|\cdot \right\|$ обозначает обычную евклидову норму и $\{w_{i}\}$ представляет собой набор коэффициентов отображения. TPS соответствует ядру радиального базиса $\varphi (r)=r^{2}\log r$.

Сплайн

Предположим, что точки находятся в двух измерениях ( $D=2$). Можно использовать однородные координаты для набора точек, где точка $y_{i}$ представляется в виде вектора $(1,y_{ix},y_{iy})$. Уникальный минимайзер $f$ параметризуется $\alpha$ который состоит из двух матриц $d$ и $c$ ( $\alpha =\{d,c\}$).

$f_{tps}(z,\alpha )=f_{tps}(z,d,c)=z\cdot d+\phi (z)\cdot c=z\cdot d+\sum _{i=1}^{K}\phi _{i}(z)c_{i}$

где d - это $(D+1)\times (D+1)$ матрица, представляющая аффинное преобразование (следовательно, $z$ это $1\times (D+1)$ вектор) и c представляет собой $K\times (D+1)$ Матрица коэффициентов деформации, представляющая неаффинную деформацию. Функция ядра $\phi (z)$ это $1\times K$ вектор для каждой точки $z$, где каждая запись $\phi _{i}(z)=\|z-x_{i}\|^{2}\log \|z-x_{i}\|$. Обратите внимание, что для TPS контрольные точки $\{c_{i}\}$ выбираются такими же, как набор точек, подлежащих деформации. $\{x_{i}\}$, поэтому мы уже используем $\{x_{i}\}$ на месте контрольных точек.

Если заменить решение на $f$, $E_{tps}$ становится:

$E_{tps}(d,c)=\|Y-Xd-\Phi c\|^{2}+\lambda c^{T}\Phi c$

где $Y$ и $X$ это просто объединенные версии координат точки $y_{i}$ и $x_{i}$, и $\Phi$ это $(K\times K)$ матрица, сформированная из $\phi (\|x_{i}-x_{j}\|)$. Каждая строка каждой вновь сформированной матрицы происходит от одного из исходных векторов. Матрица $\Phi$ представляет ядро ​​TPS. Грубо говоря, ядро ​​TPS содержит информацию о внутренних структурных отношениях набора точек. Когда он сочетается с коэффициентами деформации $c$, создается нежесткая деформация.

Хорошим свойством TPS является то, что его всегда можно разложить на глобальный аффинный и локальный неаффинный компонент. Следовательно, член гладкости TPS зависит исключительно от неаффинных компонентов. Это желательное свойство, особенно по сравнению с другими сплайнами, поскольку глобальные параметры позы, включенные в аффинное преобразование, не наказываются.

Приложения

TPS широко используется в качестве модели нежесткой трансформации изображений.выравнивание и соответствие формы. Дополнительное приложение — анализ и сравнение археологических находок в 3D. и был реализован для треугольных сеток в GigaMesh Software Framework .

Тонкая пластинчатая шлица обладает рядом свойств, которые способствовали ее популярности:

1. Он создает гладкие поверхности, которые бесконечно дифференцируемы.
2. Нет свободных параметров, требующих ручной настройки.
3. Он имеет решения в закрытой форме как для деформации, так и для оценки параметров.
4. Существует физическое объяснение его энергетической функции.

Однако обратите внимание, что сплайны, уже находящиеся в одном измерении, могут вызвать серьезные «выходы за пределы». В 2D такие эффекты могут быть гораздо более критичными, поскольку TPS не объективны.

См. также

• Эластичная карта (дискретная версия приближения тонкой пластины для обучения многообразию )
• Обратное взвешивание расстояния
• Полигармонический сплайн (тонкий пластинчатый сплайн является частным случаем полигармонического сплайна)
• Радиальная базисная функция
• Сглаживающий сплайн
• Сплайн
• Поверхность подразделения (новая альтернатива сплайновым поверхностям)

Внешние ссылки

• Объяснение упрощенной вариационной задачи
• TPS в MathWorld
• TPS на C++
• TPS в шаблонном C++
• Демонстрация интерактивного морфинга TPS
• ТПС в R
• TPS в JS