Остаточное пересечение

В алгебраической геометрии проблема пересечения остатков задает следующее:

Учитывая подмножество Z на пересечении $\bigcap _{i=1}^{r}X_{i}$ из разновидностей понимать дополнение Z в пересечении; т. е. остаток установлен на Z .

Пересечение определяет класс $(X_{1}\cdots X_{r})$, продукт пересечения , в группе Чоу объемлющего пространства, и в этой ситуации проблема состоит в том, чтобы понять класс, остаточный класс для Z :

$(X_{1}\cdots X_{r})-(X_{1}\cdots X_{r})^{Z}$

где $-^{Z}$ означает часть, поддерживаемую Z ; классически степень части, опирающейся на Z называется эквивалентностью Z , .

Двумя основными приложениями являются решения задач перечислительной геометрии (например, коническая задача Штейнера ) и вывод формулы нескольких точек , формулы, позволяющей подсчитывать или перечислять точки в слое, даже если они бесконечно близки .

Проблема остаточного пересечения восходит к 19 веку. Современная формулировка проблем и решений принадлежит Фултону и Макферсону. Точнее, они развивают теорию пересечений путем решения проблем остаточных пересечений (а именно, путем использования класса Сегре нормального конуса пересечения). Обобщение на ситуацию, когда предположение о регулярном вложении имеет вид ослабление связано с Клейманом (1981) .

Определение

Следующее определение принадлежит ( Kleiman 1981 ).

Позволять

$Z\subset W\subset A$

— замкнутые вложения, где A — алгебраическое многообразие, а Z , W — замкнутые подсхемы. Тогда по определению остаточная схема к Z есть

$R(Z,W)=\mathbf {P} (I(Z,W)^{*})$.

где $\mathbf {P}$ – проективизация (в классическом смысле) и ${\mathcal {I}}(Z,W)\subset {\mathcal {O}}_{W}$ — идеальный пучок, определяющий $Z\hookrightarrow W$.

Примечание: если $B(Z,W)$ это взрыв $W$ вдоль $Z$, тогда для ${\mathcal {I}}={\mathcal {I}}(Z,W)$, сюръекция ${\textstyle \operatorname {Sym} ({\mathcal {I}})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$ дает закрытое вложение:

$B(Z,W)\hookrightarrow R(Z,W)$,

что является изоморфизмом, если включение $Z\hookrightarrow W$ является обычным вложением.

Формула остаточного пересечения — Пусть $N_{i}=N_{X_{i}}Y|_{Z}$.

$(X_{1}\cdots X_{r}\cdot V)_{Z}=c(N_{1})\cdots c(N_{r})s(C_{Z}V)$

где s ( C _Z X ) обозначает класс Сегре нормального конуса к Z в X , а индекс Z обозначает часть, поддерживаемую Z. на

Если $Z_{i}$ являются теоретико-схемными связными компонентами $\bigcap _{i}X_{i}$, затем

$(X_{1}\cdots X_{r})=\sum _{i}(X_{1}\cdots X_{r})^{Z_{i}}$

Например, если Y — проективное пространство , то теорема Безу говорит, что степень $\bigcap _{i}X_{i}$ является $\prod _{i}\deg(X_{i})$ и поэтому вышеизложенное представляет собой другой способ подсчета вкладов в степень пересечения. Фактически в приложениях объединяют теорему Безу.

Позволять $X_{i}\hookrightarrow Y$ — регулярные вложения схем, разделенных и конечного типа над основным полем; например, это имеет место, если X _i — эффективные дивизоры Картье (например, гиперповерхности). Продукт пересечения ​ $X_{i}$

$(X_{1}\cdots X_{r})$

является элементом группы Чоу Y и его можно записать как

$(X_{1}\cdots X_{r})=\sum _{i}m_{i}\alpha _{i}$

где $m_{i}$ являются положительными целыми числами.

Учитывая набор S , положим

$(X_{1}\cdots X_{r})^{S}=\sum _{\operatorname {Supp} (\alpha _{i})\subset S}m_{i}\alpha _{i}.$

Формулы

Формула избыточного пересечения Квиллена

Формула в топологическом контексте принадлежит Квиллену (1971) .

Теперь предположим, что нам дано Y″ → Y ' и предположим, что i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' регулярно коразмерности d ', так что можно определить i ' ^! как раньше. Пусть F — избыточный расслоение i и i ^' ; то есть это возврат к X″ фактора N по нормальному расслоению i ' . Пусть e ( F ) — класс Эйлера (верхний класс Чженя ) группы F , который мы рассматриваем как гомоморфизм из A _{k − d '} ( X″ ) в A _{k − d} ( X″ ). Затем

Формула избыточного пересечения — $i^{!}=e(F){i'}^{!}$

где я ^! определяется морфизмом Y″ → Y ' → Y .

Наконец, можно обобщить приведенную выше конструкцию и формулу для завершения морфизмов пересечений ; это расширение обсуждается в § 6.6. а также Ч. 17 лок. цит.

Доказательство . Формулу пересечения можно вывести из довольно явной формы гомоморфизма Гайзина. Пусть E — векторное расслоение на X ранга r и q : P ( E ⊕ 1) → X — проективное расслоение (здесь 1 означает тривиальное линейное расслоение). Как обычно, мы отождествляем P ( E непересекающееся объединение P ( E ) и E. ⊕ 1) как Тогда существует тавтологическая точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}(-1)\to q^{*}E\oplus 1\to \xi \to 0$

на P ( E ⊕ 1). Мы утверждаем, что гомоморфизм Гайзина задается как

$A_{k}(E)\to A_{k-r}(X),\,x\mapsto q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})$

где e ( ξ ) = c _r ( ξ ) — класс Эйлера ξ и ${\overline {x}}$ — элемент A _k ( P ( E ⊕ 1)), который ограничивается x . Поскольку инъекция q ^* : A _{k − r} ( X ) → A _k ( P ( E ⊕ 1)) распадается, мы можем записать

${\overline {x}}=q^{*}y+z$

где z — класс цикла с носителем на P ( E ). По формуле суммы Уитни имеем: c ( q ^* E ) знак равно (1 - c ₁ ( O (1))) c ( ξ ) и поэтому

$e(\xi )=\sum _{0}^{r}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}c_{r-i}(q^{*}E).$

Тогда мы получаем:

$q_{*}(e(\xi )q^{*}y)=\sum _{i=0}^{r}s_{i-r}(E\oplus 1)c_{r-i}(E)y$

где s _I ( E ⊕ 1) — i -й класс Сегре . Поскольку нулевой член класса Сегре является единицей, а его отрицательные члены равны нулю, приведенное выше выражение равно y . Далее, поскольку ограничение ξ на P ( E ) имеет никуда не исчезающее сечение и z является классом цикла, носителем которого является P ( E ), отсюда следует, что e (ξ) z = 0 . Следовательно, записывая π для отображения проекции E и j для включения E в P ( E ⊕1), мы получаем:

$\pi ^{*}q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})=\pi ^{*}(y)=j^{*}q^{*}y=j^{*}({\overline {x}}-z)=j^{*}({\overline {x}})=x$

где предпоследнее равенство обусловлено причиной поддержки, как и раньше. Это завершает доказательство явного вида гомоморфизма Гайзина.

Остальное формально и понятно. Мы используем точную последовательность

$0\to \xi '\to \xi \to r^{*}F\to 0$

где r — карта проекции для . Записывая P для замыкания специализации V по формуле суммы Уитни и формуле проекции, мы имеем:

$i^{!}(V)=r_{*}(e(\xi )P)=r_{*}(e(r^{*}F)e(\xi ')P)=e(F)r_{*}(e(\xi ')P)=e(F){i'}^{!}(V).$

$\square$

Одним из частных случаев формулы является формула самопересечения , которая гласит: учитывая регулярное вложение i : X → Y с нормальным расслоением N ,

$i^{*}i_{*}=e(N).$

(Чтобы это получить, возьмем Y ' = Y″ = X. ) Например, из этого и формулы проекции , когда X , Y гладкие, можно вывести формулу:

$i_{*}(x)i_{*}(y)=i_{*}(e(N)xy).$

в ринге Y. Чоу

Позволять $f:{\widetilde {Y}}\to Y$ — раздутие по замкнутой подсхеме X , ${\widetilde {X}}$ исключительный делитель и $g:{\widetilde {g}}:{\widetilde {X}}\to X$ ограничение f . Предположим, что f можно записать как замкнутое погружение, за которым следует гладкий морфизм (например, Y квазипроективен). Затем из $f^{*}i_{*}=i^{!}g^{*}$, получается:

Ключевая формула Жуанолу — $f^{*}i_{*}={i'}_{*}e(F)g^{*}$.

Примеры

На протяжении всего раздела примеров основное поле алгебраически замкнуто и имеет нулевую характеристику. Все приведенные ниже примеры (кроме первого) взяты из работы Фултона (1998) .

Пример: пересечение двух плоских кривых, содержащих один и тот же компонент.

Позволять $C_{1}=Z(x_{0}x_{1})$ и $C_{2}=Z(x_{0}x_{2})$ две плоские кривые в $\mathbb {P} ^{2}$. Теоретически установить их пересечение

${\begin{aligned}C_{1}\cap C_{2}&=Z(x_{1},x_{2})\cup Z(x_{0})\\&=[1:0:0]\cup \{[0:a:b]\in \mathbb {P} ^{2}\}\\&=Z_{1}\cup Z_{2}\end{aligned}}$

это объединение точки и вложенного $\mathbb {P} ^{1}$. По теореме Безу ожидается, что это пересечение должно содержать $4$ точек, поскольку это пересечение двух коник, поэтому для интерпретации этого пересечения требуется остаточное пересечение. Затем

$(C_{1}\cap C_{2})^{Z_{1}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{0}\in A_{0}(Z_{1})$ $(C_{1}\cap C_{2})^{Z_{2}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{1}\in A_{1}(Z_{2})$

С $C_{1},C_{2}$ обе степени $2$ гиперповерхностей, их нормальное расслоение — это обратный образ ${\mathcal {O}}(2)$, следовательно, числитель двух остаточных компонентов равен

${\begin{aligned}c({\mathcal {O}}(2))c({\mathcal {O}}(2))&=(1+2[H])(1+2[H])\\&=1+4[H]+4[H]^{2}\end{aligned}}$

Потому что $Z_{1}$ задается исчезающим локусом $Z(x_{1},x_{2})$ его обычный пакет ${\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1)$, следовательно

${\begin{aligned}c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})&=c({\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1))\\&=(1+[H])(1+[H])\\&=1+2[H]+[H]^{2}\\&=1\end{aligned}}$

с $Z_{1}$ это измерение $0$. Аналогично, числитель также $1$, следовательно, остаточное пересечение имеет степень $1$, как и ожидалось, поскольку $Z_{1}$ - полное пересечение, заданное исчезающим множеством $Z(x_{1},x_{2})$. Кроме того, обычный комплект $Z_{2}$ является ${\mathcal {O}}(1)$ поскольку оно задается исчезающим локусом $Z(x_{0})$, так

$c(N_{Z_{2}}/X)=1+[H]$

Инвертирование $c(N_{Z_{2}}/X)$ дает серию

${\frac {1}{1+[H]}}=1-[H]+[H]^{2}$

следовательно

${\begin{aligned}{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}=&(1+4[H]+4[H]^{2})(1-[H]+[H]^{2})\\=&(1-[H]+[H]^{2})+(4[H]-4[H]^{2})+4[H]^{2}\\=&1+3[H]+[H]^{2}\\=&1+3[H]\end{aligned}}$

давая остаточное пересечение $3[H]$ для $Z_{2}$. Продвижение этих двух классов дает $4[H]^{2}$ в $A^{*}(\mathbb {P} ^{2})$, по желанию.

Пример: степень кривизны трех поверхностей.

Позволять $X_{1},X_{2},X_{3}\subset \mathbb {P} ^{3}$ быть три поверхности. Предположим, что теоретико-схемное пересечение $\bigcap X_{i}$ есть непересекающееся объединение гладкой кривой C и нульмерной схемы S . Можно спросить: какова степень S ? На этот вопрос можно ответить с помощью #formula .

Пример: коники, касательные к заданным пяти прямым.

Плоские коники параметризуются $\mathbb {P} ^{{\binom {2+2}{2}}-1}=\mathbb {P} ^{5}$. Учитывая пять общих линий $\ell _{1},\ldots ,\ell _{5}\subset \mathbb {P} ^{2}$, позволять $H_{\ell _{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}$ — гиперповерхности коник, касающихся $\ell _{i}$; можно показать, что эти гиперповерхности имеют степень два.

Пересечение ​ $\bigcap _{i}H_{\ell _{i}}$ содержит поверхность Веронезе $Z\simeq \mathbb {P} ^{2}$ состоящая из двойных линий; это теоретико-схемная связная компонента $\bigcap _{i}H_{\ell _{i}}$. Позволять $h=c_{1}({\mathcal {O}}_{Z}(1))$ — класс гиперплоскости = первый класс Чженя группы O (1) в кольце Чжоу группы Z . Сейчас, $Z=\mathbb {P} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}$ такой, что ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)$ откатывается назад к ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(2)$ а так нормальная связка $H_{\ell _{i}}$ ограничено Z ​

$N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(H_{\ell _{i}})|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(2)|_{Z}={\mathcal {O}}_{Z}(4).$

полный класс Черна Итак, его равен

$c(N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})=1+4h.$

Аналогично, используя это нормальное расслоение на обычное $X\hookrightarrow Y$ является $T_{Y}|_{X}/T_{X}$ а также последовательность Эйлера , мы получаем, что полный класс Чженя нормального расслоения на $Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}$ является

$c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})=c(T_{\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})/c(T_{Z})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)^{\oplus 6}|_{Z})/c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(1)^{\oplus 3})=(1+2h)^{6}/(1+h)^{3}.$

Таким образом, Сегре класс $Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}$ является

$s(Z,\mathbb {P} ^{5})=c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})^{-1}=1-9h+51h^{2}.$

Следовательно, эквивалентность Z равна

$\deg((1+4h)^{5}(1-9h+51h^{2}))=160-180+51=31.$

По теореме Безу степень $\bigcap _{i}H_{\ell _{i}}$ является $2^{5}=32$ и, следовательно, остаточное множество состоит из единственной точки, соответствующей единственной касательной конике к данным всем пяти прямым.

Альтернативно, эквивалентность Z можно вычислить с помощью #formula? ; с $\deg(c_{1}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=\deg(c_{2}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=3$ и $\deg(Z)=4$, это:

$3+4(3)+(40-10(6)+21)\deg(Z)=31.$

Пример: коники, касательные к заданным пяти коникам.

Смотрите также: коническая проблема Штейнера

Предположим, нам даны пять плоских коник. $C_{1},\ldots ,C_{5}\subset \mathbb {P} ^{2}$ на общих должностях. Можно действовать точно так же, как в предыдущем примере. Таким образом, пусть $H_{C_{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}$ — гиперповерхность коник, касающихся $C_{i}$; можно показать, что оно имеет степень 6. Пересечение $\bigcap _{i}H_{C_{i}}$ содержит поверхность Веронезе Z двойных прямых.

Пример: функториальность построения уточненного гомоморфизма Гайзина

Фукуриальность — это название раздела, к которому относится: учитывая два регулярных вложения $X{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y{\overset {j}{\hookrightarrow }}Z$,

$(j\circ i)^{!}=j^{!}\circ i^{!}$

где равенство имеет следующий смысл:

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998). «Глава 9, а также раздел 17.6». Теория пересечений . Результаты математики и ее пограничные области . 3-й эпизод. Том 2 (2-е изд.). Берлин: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-62046-4 . МР   1644323 .
• Клейман, Стивен Л. (1981). «Многоточечные формулы I: Итерация» . Акта Математика . 147 (1): 13–49. дои : 10.1007/BF02392866 . ISSN   0001-5962 . OCLC   5655914077 .
• Куиллен, Дэниел (1971). «Элементарные доказательства некоторых результатов теории кобордизмов с помощью операций Стинрода» . Достижения в математике . 7 (1): 29–56. дои : 10.1016/0001-8708(71)90041-7 . ISSN   0001-8708 . OCLC   4922300265 .
• Зив Ран, «Криволинейная перечислительная геометрия», Препринт, Чикагский университет, 1983.

Дальнейшее чтение

• Теория пересечений с приложениями к инвариантам Громова-Виттена