Гипотеза Милнора (кривизна Риччи)

В 1968 году Джон Милнор предположил, что ^[1] что фундаментальная группа конечно полного многообразия порождена , если ее кривизна Риччи остается неотрицательной. В упрощенной интерпретации такое многообразие имеет конечное число « дырок ». Версия для почти плоских многообразий справедлива из работ Громова . ^[2]^[3]

В двух измерениях $M^{2}$ имеет конечно порожденную фундаментальную группу, как следствие, что если $\operatorname {Ric} >0$ для некомпактных $M^{2}$ он плоский или диффеоморфен , то $\mathbb {R} ^{2}$ , работа Кон-Фоссена 1935 года. ^[4]^[5]

В трех измерениях гипотеза справедлива ввиду некомпактности $M^{3}$ с $\operatorname {Ric} >0$ будучи диффеоморфным $\mathbb {R} ^{3}$ или иметь универсальную крышку изометрически разделенную . Диффеоморфная часть принадлежит Шёну - Яу (1982). ^[6]^[5] а другая часть написана Лю (2013). ^[7]^[5] Еще одно доказательство полного утверждения было дано Паном (2020). ^[8]^[5]

В 2023 году Брюэ и др. в двух препринтах опроверг гипотезу о шести ^[9] или больше ^[5] измерения путем построения контрпримеров , которые они описали как «гладкие фрактальные снежинки». Статус гипотезы о четырех или пяти измерениях остается открытым. ^[3]

Ссылки

^ Милнор, Дж. (1968). «Заметка о кривизне и фундаментальной группе» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 1–7. дои : 10.4310/jdg/1214501132 . ISSN 0022-040X .
^ Громов, М. (1978-01-01). «Почти плоские коллекторы» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2). дои : 10.4310/jdg/1214434488 . ISSN 0022-040X .
^ Перейти обратно: ^а ^б Цепелевич, Джордана (14 мая 2024 г.). «Странно изогнутые формы опровергают геометрическую гипотезу 50-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 15 мая 2024 г.
^ Кон-Воссен, Стефан (1935). «Кратчайшие пути и полная кривизна поверхностей» . Математическая композиция . 2 :69–133. ISSN 1570-5846 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Брюэ, Элия; Набер, Аарон; Семола, Даниэле (2023). «Фундаментальные группы и гипотеза Милнора». arXiv : 2303.15347 [ math.DG ].
^ Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1982-12-31), Яу, Шинг-тунг (ред.), «Полные трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи и скалярной кривизной» , Семинар по дифференциальной геометрии. (AM-102) , Princeton University Press, стр. 209–228, doi : 10.1515/9781400881918-013 , ISBN 978-1-4008-8191-8 , получено 24 мая 2024 г.
^ Лю, Банда (август 2013 г.). «3-многообразия с неотрицательной кривизной Риччи» . Математические открытия . 193 (2): 367–375. arXiv : 1108.1888 . Бибкод : 2013InMat.193..367L . дои : 10.1007/s00222-012-0428-x . ISSN 0020-9910 .
^ Пан, Цзяинь (2020). «Доказательство гипотезы Милнора в размерности 3». Журнал чистой и прикладной математики . 2020 (758): 253-260. arXiv : 1703.08143 . doi : 10.1515/crelle-2017-0057 . ISSN 1435-5345 .
^ Брюэ, Элия; Набер, Аарон; Семола, Даниэле (2023). «Шестимерный контрпример к гипотезе Милнора». arXiv : 2311.12155 [ math.DG ].

Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Milnor_1968-1] Милнор, Дж. (1968). «Заметка о кривизне и фундаментальной группе» . Журнал дифференциальной геометрии . 2 (1): 1–7. дои : 10.4310/jdg/1214501132 . ISSN 0022-040X .

[2] Громов, М. (1978-01-01). «Почти плоские коллекторы» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2). дои : 10.4310/jdg/1214434488 . ISSN 0022-040X .

[Cepelewicz_2024-3] Перейти обратно: ^а ^б Цепелевич, Джордана (14 мая 2024 г.). «Странно изогнутые формы опровергают геометрическую гипотезу 50-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 15 мая 2024 г.

[4] Кон-Воссен, Стефан (1935). «Кратчайшие пути и полная кривизна поверхностей» . Математическая композиция . 2 :69–133. ISSN 1570-5846 .

[2303.15347-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Брюэ, Элия; Набер, Аарон; Семола, Даниэле (2023). «Фундаментальные группы и гипотеза Милнора». arXiv : 2303.15347 [ math.DG ].

[6] Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1982-12-31), Яу, Шинг-тунг (ред.), «Полные трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи и скалярной кривизной» , Семинар по дифференциальной геометрии. (AM-102) , Princeton University Press, стр. 209–228, doi : 10.1515/9781400881918-013 , ISBN 978-1-4008-8191-8 , получено 24 мая 2024 г.

[7] Лю, Банда (август 2013 г.). «3-многообразия с неотрицательной кривизной Риччи» . Математические открытия . 193 (2): 367–375. arXiv : 1108.1888 . Бибкод : 2013InMat.193..367L . дои : 10.1007/s00222-012-0428-x . ISSN 0020-9910 .

[8] Пан, Цзяинь (2020). «Доказательство гипотезы Милнора в размерности 3». Журнал чистой и прикладной математики . 2020 (758): 253-260. arXiv : 1703.08143 . doi : 10.1515/crelle-2017-0057 . ISSN 1435-5345 .

[2311.12155-9] Брюэ, Элия; Набер, Аарон; Семола, Даниэле (2023). «Шестимерный контрпример к гипотезе Милнора». arXiv : 2311.12155 [ math.DG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]