Поверхность с нулевой скоростью

Константа Якоби, поверхность и кривая нулевой скорости (также кривая Хилла)

Поверхность с нулевой скоростью — это концепция, относящаяся к N задаче гравитации тел . Он представляет собой поверхность, которую тело данной энергии не может пересечь, поскольку на этой поверхности оно будет иметь нулевую скорость. Впервые его представил Джордж Уильям Хилл . Поверхность нулевой скорости особенно важна при работе со слабыми гравитационными взаимодействиями между орбитальными телами.

Задача трёх тел

Траектория (красная) в плоской круговой ограниченной задаче трех тел, которая совершает оборот вокруг более тяжелого тела несколько раз, прежде чем выйти на орбиту вокруг более легкого тела. Контуры обозначают значения интеграла Якоби. Предполагается, что темно-синяя область — это исключенная область для траектории, окруженная поверхностью с нулевой скоростью, которую невозможно пересечь. Однако эта цифра неверна, поскольку везде, где траектория касается поверхности нулевой скорости, она должна быть перпендикулярна ей.

В круговой ограниченной задаче трех тел две тяжелые массы вращаются вокруг друг друга на постоянном радиальном расстоянии и с постоянной угловой скоростью, а на частицу незначительной массы действует их гравитация. При переходе во вращающуюся систему координат , где массы неподвижны, возникает центробежная сила. Энергия и импульс не сохраняются по отдельности в этой системе координат, но интеграл Якоби остается постоянным:

$C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

где $\omega$ это скорость вращения, $x,y$ положение частицы во вращающейся системе координат, $r_{1},r_{2}$ расстояния до тел и $\mu _{1},\mu _{2}$ их массы, умноженные на гравитационную постоянную.

Для заданного значения $C$, точки на поверхности

$C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)$

требуют, чтобы ${\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=0$. То есть частица не сможет пересечь эту поверхность (поскольку квадрат скорости должен был бы стать отрицательным). Это поверхность задачи с нулевой скоростью.

Обратите внимание, что это означает нулевую скорость во вращающейся системе отсчета: в невращающейся системе отсчета частица рассматривается как вращающаяся вместе с другими телами. Поверхность также предсказывает только то, в какие области нельзя войти, а не форму траектории внутри поверхности.

Обобщения

Эту концепцию можно обобщить на более сложные проблемы, например, с массами на эллиптических орбитах. общая плоская задача трех тел, задача четырех тел с сопротивлением солнечного ветра, или в кольцах.

Точки Лагранжа

Поверхность нулевой скорости также является важным параметром при поиске точек Лагранжа . Эти точки соответствуют местам, где кажущийся потенциал во вращающейся системе координат является экстремальным. Это соответствует местам, где поверхности с нулевой скоростью сжимаются и образуют дыры как $C$ изменено. Поскольку траектории ограничены поверхностями, траектория, которая стремится покинуть (или войти) в область с минимальной энергией, обычно проходит близко к точке Лагранжа, которая используется при передачи низкой энергии планировании траектории .

Скопления галактик

Учитывая группу галактик, которые гравитационно взаимодействуют, поверхность с нулевой скоростью используется для определения того, какие объекты гравитационно связаны (т.е. не преодолеваются расширением Хаббла ) и, следовательно, являются частью скопления галактик , такого как Местная группа .

См. также

• Сфера холма
• Низкоэнергетическая передача
• Орбитальная механика